一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个
（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
参考答案：
A
【考点】LB：平面图形的直观图． 【分析】由图形和A′O′=通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边BC=B'C'，AO⊥BC，
且AO=
，故三角形为正三角形．
【解答】解：由图形知，在原△ABC中，AO⊥BC， ∵A′O′=
∴AO=
∵B′O′=C′O′=1∴BC=2 ∴AB=AC=2
∴△ABC为正三角形． 故选A
2. 以下结论正确的一项
是 （ ）
A．若0,则y=kx+b是R上减函数 B.,则y=是(0,+) 上减函数
C.若,则y=ax是R上增函数 D.,y=x +是(0,+) 上增函数
参考答案：
B
3. 已知，，c=，则（ ） A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．a＞c＞b
D．c＞a＞b
参考答案：
C
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解． 【解答】解：∵
，
，c=
=
，
，
y=5x是增函数，
∴a＞c＞b． 故选：C． 4. （5分）把边长为
的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥A﹣BCD的正视图与俯视图
（正视图与俯视图是全等的等腰直角三角形）如图所示，则其俯视图的面积为（）
A．
B． 1 C． 2 D．
参考答案：
A
考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 结合直观图，根据正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，可得平面BCD⊥平面ABD，分别求得△BDC和△ABD的高，即为侧视图直角三角形的两直角边长，代入面积公式计算． 解答： 解：如图：∵正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，
∴平面BCD⊥平面ABD，
又O为BD的中点，∴CO⊥平面ABD，OA⊥平面BCD， ∴侧视图为直角三角形，且三角形的两直角边长为1，
∴侧视图的面积S==．
故选：A．
点评： 本题考查了由正视图、俯视图求几何体的侧视图的面积，判断几何体的特征及相关几何量的数据是关键．
5. 一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）： 第1行 1 第2行 2 3 第3行 4 5 6 7 … … 则第9行中的第4个数是（ ）
A．132 B．255 C．259 D．260 参考答案： C
6. 在下列区间中，函数的零点所在的一个区间为（ ）
A. (－2,－1)
B. (－1,0)
C. (0,1) D.(1,2)
参考答案：
B
【分析】
根据零点存在定理得到结果即可. 【详解】函数
是单调递增的，根据函数零点存在定理得到：
,
,所以
函数零点在
之间.
故答案为：B.
【点睛】这个题目考查了函数零点存在定理，即在区间（a,b）上，若f(a)f(b)<0,则在此区间上函数一定存在零点，但是零点个数不确定；如果判断出函数是单调的，再判断出f(a)f(b)<0，即可得到函数存在唯一的零点.
7. 关于x的方程在内有相异两实根，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
C 【分析】
将问题转化为与有两个不同的交点；根据可得，对
照
的图象可构造出不等式求得结果.
【详解】方程有两个相异实根等价于与有两个不同交点
当
时，
由图象可知：
，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查正弦型函数的图象应用，主要是根据方程根的个数确定参数范围，关键是能够将问题转化为交点个数问题，利用数形结合来进行求解. 8. 下列说法中正确的是( ) ．棱柱的侧面可以是三角形
．正方体和长方体都是特殊的四棱柱
．棱柱的各条棱都相等
．所有的几何体的表面都展成平面图形
参考答案：
B
9. 要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需将曲线y=sin2x上所有的点（ ） A．向左平移单位长度 B．向右平移单位长度 C．向左平移
单位长度
D．向右平移
单位长度
参考答案：
B
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可求得答案．
【解答】解：∵y=sin2xy=sin（2（x﹣））=sin（2x﹣）．
故选B．
【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，掌握图象变换规律是关键，属于中档题． 10. 在以下四组函数中，表示同一个函数的是( ) A．f(x)＝x＋1，g(x)＝ B．f(x)＝1，g(x)＝
C．y＝5x＋，y＝5t＋ D．f(x)＝x2
＋1，g(x)＝x2
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设i为虚数单位，复数z满足|z|﹣=2+4i（为z的共轭复数），则z= ．
参考答案：
3+4i．
【考点】复数求模．
【分析】设z=a+bi，a，b∈R，复数的模和共轭复数的概念，结合复数相等的条件，解方程可得a，b，进而得到所求复数．
【解答】解：设z=a+bi，a，b∈R， 复数z满足|z|﹣=2+4i，
即为﹣（a﹣bi）=2+4i，
可得b=4且
﹣a=2，
解得a=3，b=4． 即有z=3+4i， 故答案为：3+4i．
12. 已知，则______．
参考答案：
【分析】
直接利用诱导公式化简求解即可．
【详解】因为
，则．
【点睛】本题主要考查应用诱导公式对三角函数式化简求值。
13. 在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，已知所取的2瓶全在保质期内的概率为
，则至少取到1瓶已过保质期的概率为 ．
参考答案：
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是从30个饮料中取2瓶，共有C2
30种结果，满足条件的事件是至少取到一瓶已过保质期的，它的对立事件是没有过期的，共有C227种结果，计算可得其概率；根据对立事件的概率得到结果． 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生所包含的事件是从30个饮料中取2瓶，共有C230=435种结果， 满足条件的事件是至少取到一瓶已过保质期的， 它的对立事件是没有过期的，共有C227=351种结果， 根据对立事件和古典概型的概率公式得到P=1﹣=
．
故答案为：
．
14. 不等式的解集是
参考答案：
略
15. 圆台的上下底面半径分别为1、2，母线与底面的夹角为60°，则圆台的侧面积为 参考答案： 6π 略
16. 等比数列
中，
，前三项和
，则公比的值为 ．
参考答案：
或1
17. 已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(2)=3，则f(-1)= .
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （1）利用函数单调性的定义证明函数上是增函数；
（2）我们可将问题（1）的情况推广到以下一般性的正确结论：已知函数有如下性质：如
果常数
，那么该函数在
上是减函数，在
上是增函数。
若已知函数，，利用上述性质求出函数的单调区间；又已知函数，问是否存在这样的实数，使得对于任意的
，总存在
，使得
成立，若不存在，请说明理由；如存在，请求出这样的实数的值。
参考答案：
（1）设
，
则
=，
应为，
所以，
，因此，函数在给定的区间上单调递增
（2）解：因为,
设
，则
，由已知性质得，
当时，单调递减，所以递减区间为
当时，单调递增，所以递增区间为
由
，得
的值域为
由于
为减函数，故
由题意，的值域为的值域的子集，从而有
所以 ，所以存在满足条件的值。
略
19.
在平面直角坐标系
中，已知圆心在直线
上，半径为
的圆
与直线
相切于坐标原点．
（Ⅰ）求圆的方程;
（Ⅱ）若直线与圆
相交，求实数的取值范围.
参考答案：
Ⅰ）依题设可知圆心C在直线上
于是设圆心，（
） ……………………3分
则
，解得……………………5分 圆C的方程为 ……………………7分
（Ⅱ）若直线与圆相交，
则圆心
到直线的距离
……………………9分
即，得 ……………………12分
即…………………………………………14分
20. 已知函数
. 试求：(Ⅰ)函数
的最小正周期；
(Ⅱ) 函数
的单调递增区间；(Ⅲ) 函数
在区间
上的值域。
参考答案：
（1）；（2）；（3）
21. 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有2+1．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn=（﹣1）
n﹣1
an，求数列{bn}的前n项和Tn；
（3）令cn=，求的最小值．
参考答案：
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式． 【分析】（1）2
+1，可得4Sn=，n≥2时，4Sn﹣1=，相减可得：（an+an﹣
1
）（an﹣an﹣1﹣2）=0．于是∴an﹣an﹣1=2．利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）bn﹣11n=（﹣1）an=（﹣1）n﹣（2n﹣1）．对n分类讨论即可得出．
（3）cn===，
可得
=
×
=
．再利用单调性即可得出．
【解答】解：（1）∵2+1，∴4Sn=，
n≥2时，4Sn﹣1=
，∴4an=
﹣
， 化为：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0． ∵an+an﹣1＞0，∴an﹣an﹣1=2．
n=1时，4a1=，解得a1=1．
∴数列{an}是等差数列，公差为2． ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（2）∵bn=（﹣1）n﹣1an﹣1n=（﹣1）（2n﹣1）． n=2k为偶数时，b2k﹣1+b2k=（4k﹣3）﹣（4k﹣1）=﹣2．
∴数列{bn}的前n项和Tn=﹣2k=﹣n．
n=2k﹣1为奇数时，数列{bn}的前n项和Tn=Tn﹣1+bn=﹣（n﹣1）+（2n﹣1）=n． 综上可得：T﹣1n=（﹣1）nn．
（3）cn=
=
=
，
∴
=
×
=
．
令dn=
＞0，则
=
=
＞1．
可得dn+1＞dn，因此数列{dn}单调递增． ∴dn≥d1=
．
∴
的最小值是
．
22. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）（x∈R）的部分图象如图所示．（Ⅰ）
求函数f（x）的解析式并求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小值并指出函数f（x）取最小值时相应的x的值．
参考答案：
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HW：三角函数的最值． 【分析】（Ⅰ）由图形可确定A，周期T，从而可得ω的值，再由f（）=2，得
2×
+φ=
+2kπ（k∈Z），进一步结合条件可得φ的值，即可解得f（x）的解析式，由2kπ﹣≤2x+
≤2kπ+
，可得函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由正弦函数的图象和性质，由2x+
=2kπ﹣
（k∈Z），即可解得函数f（x）的最小值并
指出函数f（x）取最小值时相应的x的值．
【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
）（x∈R）的部分图
象可得A=2，最小正周期T=2（
）=π，得ω=2，可得函数f（x）的解析式为f（x）=2sin
（2x+φ）， 又f（
）=2，
所以sin（+φ）=1， 由于|φ|＜
，可得φ=
，
所以函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+
）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由于2kπ﹣
≤2x+
≤2kπ+
，可得kπ﹣
≤x≤kπ+
（k∈Z），
所以函数f（x）的单调递增区间为：（k∈Z），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）函数f（x）的最小值为﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 函数f（x）取最小值﹣2时，有2x+
=2kπ﹣
（k∈Z），可得：x=kπ﹣
（k∈Z），
所以函数f（x）取最小值﹣2时相应的x的值是：x=kπ﹣（k∈Z）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
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