导数及其应用

一.导数的概念和几何意义

1. 函数的平均变化率：函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为：

f(x2)f(x1)。

x2x12. 导数的定义：设函数yf(x)在区间(a,b)上有定义，x0(a,b)，若x无限趋近

于0时，比值

yf(x0x)f(x0)无限趋近于一个常数A，则称函数f(x)在xxxx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)。函数

f(x)在xx0处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

3. 求函数导数的基本步骤：

（1）求函数的增量yf(x0x)f(x0)； （2）求平均变化率：

f(x0x)f(x0)；

xf(x0x)f(x0)无限趋近与一个常数A，

x（3）取极限，当x无限趋近与0时，

则f(x0)A. 4. 导数的几何意义：

函数f(x)在xx0处的导数就是曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：

（1）求出yf(x)在x0处的导数，即为曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率；

(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为

yy0f(x0)(xx0)。

注意：当点P(x0,y0)不在yf(x)上时，求经过点P的yf(x)的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为xx0。 5. 导数的物理意义：

质点做直线运动的位移S是时间t的函数S(t)，则VS(t)表示瞬时速度，

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av(t)表示瞬时加速度。

二.导数的运算

1. 常见函数的导数：

（1）(kxb)k(k, b为常数)； （3）(x)1； （5）(x3)3x2；

2x（2）C0(C为常数)； （4）(x2)2x； （6）(1)12；

xx

（7）(x)1；

（8）(xα)αxα1（α为常数）；

（10）(logax)1logae1(a0,a1)；

xxlna（9）(ax)axlna(a0,a1)； （11）(ex)ex；

（12）(lnx)1；

x（13）(sinx)cosx； （14）(cosx)sinx。

2. 函数的和、差、积、商的导数： （1）[f(x)g(x)]f(x)g(x)； （2）[Cf(x)]Cf(x)（C为常数）； （3）[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)； （4）[

f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)](g(x)0)。 g(x)g2(x)3. 简单复合函数的导数：

yuux，即yxyua。 若yf(u),uaxb，则yx三.导数的应用

1. 求函数的单调性：

Ⅰ.利用导数求函数单调性的基本方法：设函数yf(x)在区间(a,b)内可导， （1）如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数； （2）如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数； （3）如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数。

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Ⅱ.利用导数求函数单调性的基本步骤： ①求函数yf(x)的定义域； ②求导数f(x)；

③解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为增区间； ④解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。

Ⅲ.反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：

设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，

(1)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数,则f(x)0(其中使f(x)0的

x值不构成区间)；

(2) 如果函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数,则f(x)0(其中使f(x)0的

x值不构成区间)；

(3) 如果函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数,则f(x)0恒成立。 2. 求函数的极值：

设函数yf(x)在x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有，则称f(x0)是函数f(x)的极小值（或极大值）。 f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)）

可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：

（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求导数f(x)；（3）求方程f(x)0的全部实根，x1x2顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，f(x)xn，

和f(x)值的变化情况：

x f(x) f(x) (,x1) x1 (x1,x2) … xn (xn,) 正负 单调性 0 正负 单调性 0 正负 单调性 （4）检查f(x)的符号并由表格判断极值。

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3. 求函数的最大值与最小值：

如果函数f(x)在定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。

求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值的步骤： （1）求f(x)在区间(a,b)上的极值；

（2）将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较，得到f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值。

4. 解决不等式的有关问题：

（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。 ①f(x)(xA)的值域是[a,b]时，

不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)max0，即b0；

不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)min0，即a0。 ②f(x)(xA)的值域是(a,b)时，

不等式f(x)0恒成立的充要条件是b0； 不等式f(x)0恒成立的充要条件是a0。

（2）证明不等式f(x)0可转化为证明f(x)max0，或利用函数f(x)的单调性，转化为证明f(x)f(x0)0。 5. 导数在实际生活中的应用：

实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。

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