立体几何中探索性问题的向量解法

立体几何中探索性问题的向量解法

高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.

本节课主要研究：立体几何中的存在判断型和位置探究型问题等探索性问题。

一、存在判断型

1、已知空间三点A（-2，0，2），B（-2，1，2），C（-3，0，3）.设a=AB，b=AC，是否存在存在实数k，使向量ka+b与ka-2b互相垂直，若存在，求k的值；若不存在，说明理由。

解∵ka+b=k（0，1，0）+（-1，0，1）＝（-1，k，1），ka-2b=（2，k，-2）， 且(ka+b)⊥（ka-2b）， ∴（-1，k，1）·（2，k，-2）=k2 -4=0. 则k=-2或k=2.

点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做. (ka+b)(ka-2b)=k2a2-ka·b-2b2= k2 -4=0，解得k=-2或k=2.

2、 如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，∠PDA为，能否确定，使直线MN是直线AB与PC的公垂线?若能确定，求出的值；若不能确定，说明理由.

解：以点A为原点建立空间直角坐标系A－xyz.设|AD|=2a，|AB|=2b，∠PDA=.则A(0，0，0)、B(0，2b，0)、C(2a，2b，0)、D(2a，0，0)、P(0，0，2atan)、M(0，b，0)、N(a，b，atan).

∴AB=(0，2b，0)，PC=(2a，2b，-2atan)，MN=(a，0，atan). MN=(0，2b，0)·∵AB·(a，0，atan)=0，

存在实∴AB⊥MN.即AB⊥MN.

若MN⊥PC，

PC=(a，0，atan)·则MN·(2a，2b，-2atan)

=2a2-2a2tan2=0.

∴tan2=1，而是锐角. ∴tan=1，＝45°. 即当=45°时，直线MN是直线AB与PC的公垂线.

【方法归纳】对于存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在。这是一种最常用也是最基本的方法.

二、位置探究型

3．如图所示。PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E是PB的中点，DP与AE角的余弦值为

夹

3。 3P

（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标。

（2）在平面PAD内是否存在一点F，使EF⊥平面PCB？

解析：⑴以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设P（0,0,2m）.

则A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、E(1,1,m)，

从而AE=(-1,1,m),DP=(0,0,2m).

A

E

D

C

B

1

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cosDP,AEDPAEDPAE=2m22m2m23，得m=1. 3P 所以E点的坐标为（1,1,1）.

（2）由于点F在平面PAD内，故可设F(x,0,z)， 由EF⊥平面PCB得：

EFCB0且EFPC0，

即(x1,1.z1)(2,0,0)0x1 (x1,1.z1)(0,2,2)0z0。

所以点F的坐标为（1,0,0）,即点F是DA的中点时，可使EF⊥平面PCB.

【方法归纳】点F在平面PAD上一般可设DFt1DAt2DP、计算出t1,t2后，D点是已知的，即可求出F点。

4、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CD上的点，且BE＝CF．

（1）当E、F在何位置时，B1F⊥D1E；

（2）是否存在点E、F，使A1C⊥面C1EF？

（3）当E、F在何位置时三棱锥C1－CEF的体积取得最大值，并求此时二面角C1－EF－C的大小．

解：（1）以A为原点，以AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设BE=x，则有

E D C A B B B1(a,0,a),D1(0,a,a),E(a,x,0),F(ax,a,0)

B1F(x,a,a),D1Eaxa(xa)(a,xa,a)

(a)(a)0 因此，无论E、F在何位置均有B1FD1E

（2）AC1B1FD1E(a,a,a),EC1a(aaxa2(0,ax)a20x,a),FC10得a(x,0,a), 0矛盾，故不

若A1C⊥面C1EF，则

存在点E、F，使A1C⊥面C1EF

（3）VC1当xCEFa6(xa2)2a2 4a时，三棱锥C1—CEF的体积最大，这时，E、F分别为BC、2CD的中点。

连接AC交EF于G，则AC⊥EF，由三垂线定理知：C1G⊥EF

C1GC是二面角C1EFC的平面角.，

12ACa,CC1a,tanC1GC44即二面角C1EFC的大小为arctan22. GCCC1GC22,

【方法归纳】 立体几何中的点的位置的探求经常借助于空间向量，引入参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 这是立体几何中的点的位置的探求的常用方法.

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三、巩固提高

5、 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，所有棱的长度都是2，M是BC边的中点，问：在侧棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？

解：以A点为原点，建立如图9-6-5所示的空间右手直角坐标系A－xyz. 因为所有棱长都等于2，所以

A（0，0，0），C（0，2，0），B（3，1，0）， B1(3，1，2)，M(

33，，0). 2231，，m)， 22点N在侧棱CC1上，可设N（0，2，m）（0≤m≤2）， 则AB1=(3，1，2)，MN=(

2MN=2m-1. 于是|AB1|=22，|MN|=m1，AB1·

如果异面直线AB1和MN所成的角等于45°，那么向量AB1和MN的夹角

AB•MN2m12是45°或135°，而cos=|AB1|•|MN|=22•m1，

2m1322所以22•m1=±2.解得m=-4，这与0≤m≤2矛盾. 即在侧棱CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.

6、(湖南高考·理）如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，

∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=2a,点E在PD上，且PE:ED=2:1. （I）证明PA⊥平面ABCD；

（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；

（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论. （Ⅰ）证明 因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°， 所以AB=AD=AC=a， 在△PAB中， 由PA2+AB2=2a2=PB2 知PA⊥AB. 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD. （Ⅱ）解 作EG//PA交AD于G， 由PA⊥平面ABCD.

知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH， 则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.

又PE : ED=2 : 1，所以EG从而 tan

123a,AGa,GHAGsin60a. 333EG3, 30. GH3（Ⅲ）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD

的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为

3131a,a,0),C(a,a,0). 222221D(0,a,0),P(0,0,a),E(0,a,a).

33A(0,0,0),B(

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所以 AE(0,2131a,a),AC(a,a,0). 332231AP(0,0,a),PC(a,a,a).

2231BP(a,a,a).

2231a,a,a),其中01,则 设点F是棱PC上的点，PFPC(223131BFBPPF(a,a,a)(a,a,a)

222231a(1),a(1),a(1)). 令 BF1AC2AE 得 (2233a(1)a1,11,221241a(1)aa,即12, 121233211a(1)a.12.233

113131,1,2. 即 时，BFACAE. 222222亦即，F是PC的中点时，BF、AC、AE共面.

又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC.

解得 解法二 当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下， 证法一 取PE的中点M，连结FM，则FM//CE. ①

1PEED, 知E是MD的中点. 2连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.

由 EM所以 BM//OE. ②

由①、②知，平面BFM//平面AEC.

又 BF平面BFM，所以BF//平面AEC. 证法二

11因为 BFBCCPAD(CDDP)

221313ADCDDEAD(ADAC)(AEAD)2222

31AEAC.22所以 BF、AE、AC共面.

又 BF平面ABC，从而BF//平面AEC.

【方法归纳】点F是线PC上的点，一般可设PFPC，求出值，P点是已知的，即

可求出F点

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高考复习课：立体几何中探索性问题的向量解法

本节课主要研究：立体几何中的存在判断型和位置探究型问题等探索性问题。 一、存在判断型

1．已知空间三点A（-2，0，2），B（-2，1，2），C（-3，0，3）.设a=AB，b=AC，是否存在存在实数k，使向量ka+b与ka-2b互相垂直，若存在，求k的值；若不存在，说明理由。

2．如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，∠PDA为，能否确定，使直线MN是直线AB与PC的公垂线?若能确定，求出的值；若不能确定，说明理由.

【方法归纳】：

二、位置探究型

3．如图所示。PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E是PB的中点，DP与AE角的余弦值为

夹

3。 3P

（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标。

（2）在平面PAD内是否存在一点F，使EF⊥平面PCB？

E

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4．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CD上的点，且BE＝CF．

（1）当E、F在何位置时，B1F⊥D1E；

（2）是否存在点E、F，使A1C⊥面C1EF？

（3）当E、F在何位置时三棱锥C1－CEF的体积取得最大值，并求此时二面角C1－EF－C的大小．

【方法归纳】

三、巩固提高

5．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，所有棱的长度都是2，M是BC边的中点，问：在侧棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？

6．(湖南高考·理）如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=2a,点E在PD上，且PE:ED=2:1. （I）证明PA⊥平面ABCD；

（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小； （Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.

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