周期性对称性奇偶性综合应用

周期性、奇偶性、对称性综合应用

知识梳理

1、函数性 2、奇偶性 3、对称性

典例精讲

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例1、（★★）已知f(x)是定义在R上的函数，f(10x)f(10x)且f(20x)f(20x)，则f(x)是（ ）

A. 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数 C. 周期为40的奇函数 D. 周期为40的偶函数

例2、（★★）定义域为R的函数fx满足f4xfx8，且yfx8为偶函数，则f(x)（ ） （A）是周期为4的周期函数 （B）是周期为8的周期函数 （C）是周期为12的周期函数 （D）不是周期函数

例3、（★★★）定义在R上的函数f(x)，给出下列四个命题： （1）若f(x)是偶函数，则f(x3)的图象关于直线x3对称 （2）若f(x3)f(3x),则f(x)的图象关于点(3,0)对称

（3）若f(x3)=f(3x)，且f(x4)f(4x)，则f(x)的一个周期为2。 （4）yf(x3)与yf(3x)的图象关于直线x3对称。 其中正确命题的序号为 。

例4、 定义在R上的函数f(x)满足f(x3)f(x)0，且函数fx为奇函数．给出以下3个命题：

23①函数f(x)的周期是6；

3②函数f(x)的图象关于点，0对称；

2③函数f(x)的图象关于y轴对称，其中，真命题的个数是（ ）． A．3

B．2

C．1

D．0

例5、 设函数f(x)在(,)上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间［0，7］上，只有

f(1)f(3)0．

（Ⅰ）试判断函数yf(x)的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程f(x)=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．

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例6 、若函数f(x)在R上是奇函数，且在1，0上是增函数，且f(x2)f(x).

①求f(x)的周期；

②证明f(x)的图象关于点(2k,0)中心对称;关于直线x2k1轴对称, (kZ); ③讨论f(x)在(1,2)上的单调性；

f(例7、已知函数f(x)对任意实数x,y均有f(x)f(y)2xyxyf)(),f(0)，且存在非零常数022c,使f(c)0.

（1）求f(0)的值；

（2）判断f(x)的奇偶性并证明；

（3）求证f(x)是周期函数，并求出f(x)的一个周期.

课堂检测

1、设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x4)－f(x)且f(3)5，则f(－21)______________，

f(2005)______________

175.)______________ ，当0≤x≤1，f(x)2x，则f(f(x)3、设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x2)f(x2)， f(1)2，则f(2)f(7)______________

2、设f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x2)

4、设fx是定义域为R的函数，且fx21fx1fx，又f222，则f2006=

1＋x

5、设f(x)＝，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f[fk(x)]，k＝1,2，…，则f2009(x)＝( )

1－x

x－11＋x1

A．－ B．x C. D. xx＋11－x【本题属于迭代周期型，也是常出现的题】

6、已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝______.

7、已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．

(1)求证：f(x)是周期函数；

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(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2009]上的所有x的个数．

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