蠡县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ） A．20种 B．24种 C．26种 D．30种
2． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF∥平面ABCD.EF与平面1丈，问它的体积是（ ） A．4立方丈
B．5立方丈
C．6立方丈 D．8立方丈
3． 设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x﹣3x+4
2
有如下的问题：问积几何？”意底面宽AD＝3ABCD的距离为
与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（ ） A．（﹣，﹣2]
B．[﹣1，0]
C．（﹣∞，﹣2]
D．（﹣，+∞）
4． 如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
5． 已知命题p：∃x∈R，cosx≥a，下列a的取值能使“￢p”是真命题的是（ ） A．﹣1 B．0 A．3﹣4i
C．1
D．2
6． 已知复数z满足（3+4i）z=25，则=（ ）
B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i
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7． 已知函数f（x）满足f（x）=f（π﹣x），且当x∈（﹣A．
D．
﹣
B．
，
x
）时，f（x）=e+sinx，则（ ）
C．
8． 如图，已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上一点，
直线PF2交y轴于点A，△AF1P的内切圆切边PF1于点Q，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x
9． 已知f（x）为偶函数，且f（x+2）=﹣f（x），当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x；若n∈N*，an=f（n），则a2017等于（ ）
A．2017 B．﹣8 C．
222D．
2y210．圆(x-2)+y=r（r>0）与双曲线x-=1的渐近线相切，则r的值为（ ） 3A．2 B．2 C．3 D．22 【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力．
(2i)211．复数z（i为虚数单位），则z的共轭复数为（ ）
i A．-4+3i B．4+3i C．3+4i D．3-4i
【命题意图】本题考查复数的运算和复数的概念等基础知识，意在考查基本运算能力． 12．“x≠0”是“x＞0”是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．若函数y=ln（
﹣2x）为奇函数，则a= ．
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14．函数f（x）=x2ex在区间（a，a+1）上存在极值点，则实数a的取值范围为 ．
15．已知平面上两点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中：
①y=x+1 ②y=2 ③y=x ④y=2x+1 是“单曲型直线”的是 ．
16．若函数f（x）=3sinx﹣4cosx，则f′（
）= ．
17．当下社会热议中国人口政策，下表是中国人民大学人口预测课题组根据我过2000年第五次人口普查预测的15﹣64岁劳动人口所占比例：
2030 2035 年份 年份代号t 所占比例y 1 68 2 65 2040 3 62 2045 4 62 2050 5 61 根据上表，y关于t的线性回归方程为 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， =﹣．
18．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为 ．
三、解答题
19．已知函数f（x）=loga（1+x）﹣loga（1﹣x）（a＞0，a≠1）． （Ⅰ）判断f（x）奇偶性，并证明；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0．
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20．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值； （Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．
21．设{an}是公比小于4的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知a1=1，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=lna3n+1，n=12…求数列{bn}的前n项和Tn．
22．已知数列{an}满足a1=3，an+1=an+p•3n（n∈N*，p为常数），a1，a2+6，a3成等差数列． （1）求p的值及数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}满足bn=
，证明bn≤．
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23．函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）=﹣1． （1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数； （2）求函数f（x）的解析式．
24．【南京市2018届高三数学上学期期初学情调研】已知函数f（x）＝2x3－3（a+1）x2＋6ax，a∈R． （Ⅰ）曲线y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；
（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）＋f（－x）≥12lnx恒成立，求a的取值范围； （Ⅲ）若a＞1，设函数f（x）在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M（a）、m（a）， 记h（a）＝M（a）－m（a），求h（a）的最小值．
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蠡县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：甲班级分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有1+6+3=10种不同的分配方案；
甲班级分配3个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3+3=6种不同的分配方案； 甲班级分配4个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3种不同的分配方案； 甲班级分配5个名额，有1种不同的分配方案． 故共有10+6+3+1=20种不同的分配方案， 故选：A．
【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，是一个中档题，解题时容易出错，本题应用分类讨论思想．
2． 【答案】 【解析】解析：
选B.如图，设E、F在平面ABCD上的射影分别为P，Q，过P，Q分别作GH∥MN∥AD交AB于G，M，交DC于H，N，连接EH、GH、FN、MN，则平面EGH与平面FMN将原多面体分成四棱锥E-AGHD与四棱锥F-MBCN与直三棱柱EGH-FMN.
由题意得GH＝MN＝AD＝3，GM＝EF＝2，
EP＝FQ＝1，AG＋MB＝AB－GM＝2，
111
所求的体积为V＝（S矩形AGHD＋S矩形MBCN）·EP＋S△EGH·EF＝×（2×3）×1＋×3×1×2＝5立方丈，故选B.
3323． 【答案】A
2
【解析】解：∵f（x）=x﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，
2
故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，
故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，
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故选A． 基础题．
4． 【答案】A
【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于
【解析】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆， 则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：
222
∵a=b+c，∴c=
=，
，
∴椭圆的离心率为：e==． 故选：A．
【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．
5． 【答案】D
【解析】解：命题p：∃x∈R，cosx≥a，则a≤1． 下列a的取值能使“￢p”是真命题的是a=2． 故选；D．
6． 【答案】B
解析：∵（3+4i）z=25，z=∴=3+4i．
故选：B．
7． 【答案】D
【解析】解：由f（x）=f（π﹣x）知， ∴f（
）=f（π﹣
，＜
）=f（
）， =
=3﹣4i．
∵当x∈（﹣∵∴f（∴f（故选：D
＜
＜）＜f（
x
）时，f（x）=e+sinx为增函数
， ）＜f（）＜f（
）， ），
）＜f（
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8． 【答案】D
【解析】解：设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N， |PF1|=m，|QF1|=n，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，① 由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1， |MF2|=|NF1|=n， 即有m﹣1=n，② 由①②解得a=1， 由|F1F2|=4，则c=2， b=由双曲线
=﹣
，
=1的渐近线方程为y=±x，
x．
即有渐近线方程为y=故选D．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查切线的性质，运用对称性和双曲线的定义是解题的关键．
9． 【答案】D
【解析】解：∵f（x+2）=﹣f（x）， ∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）， 即f（x+4）=f（x）， 即函数的周期是4．
∴a2017=f（2017）=f（504×4+1）=f（1）， ∵f（x）为偶函数，当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x， ∴f（1）=f（﹣1）=， ∴a2017=f（1）=， 故选：D．
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【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．
10．【答案】C
11．【答案】A
(2i)2【解析】根据复数的运算可知zi(2i)23i4，可知z的共轭复数为z=-4+3i，故选A.
i12．【答案】B
【解析】解：当x=﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立． 当x＞0时，一定有x≠0成立， ∴“x≠0”是“x＞0”是的必要不充分条件． 故选：B．
二、填空题
13．【答案】 4 ．
【解析】解：函数y=ln（可得f（﹣x）=﹣f（x）， ln（ln（
+2x）=﹣ln（+2x）=ln（
﹣2x）．
）=ln（
）．
﹣2x）为奇函数，
22
可得1+ax﹣4x=1，
解得a=4．
故答案为：4．
14．【答案】 （﹣3，﹣2）∪（﹣1，0） ．
2xx2x x
【解析】解：函数f（x）=xe的导数为y′=2xe+xe=xe （x+2）， 令y′=0，则x=0或﹣2，
﹣2＜x＜0上单调递减，（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递增，
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∴0或﹣2是函数的极值点，
2x
∵函数f（x）=xe在区间（a，a+1）上存在极值点，
∴a＜﹣2＜a+1或a＜0＜a+1， ∴﹣3＜a＜﹣2或﹣1＜a＜0．
故答案为：（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．
15．【答案】 ①② ．
【解析】解：∵|PM|﹣|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即对于①，联立
，消y得7x﹣18x﹣153=0，
2
，（x＞0）．
2
∵△=（﹣18）﹣4×7×（﹣153）＞0，∴y=x+1是“单曲型直线”．
对于②，联立2
，消y得x=
，∴y=2是“单曲型直线”．
对于③，联立，整理得144=0，不成立．∴不是“单曲型直线”．
对于④，联立2
，消y得20x+36x+153=0，
2
∵△=36﹣4×20×153＜0∴y=2x+1不是“单曲型直线”．
故符合题意的有①②． 故答案为：①②．
【点评】本题考查“单曲型直线”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．
16．【答案】 4 ．
【解析】解：∵f′（x）=3cosx+4sinx， ∴f′（
）=3cos
+4sin
=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了导数的运算法则，掌握求导公式是关键，属于基础题．
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17．【答案】 y=﹣1.7t+68.7
【解析】解： =
， =
=63.6．
=（﹣2）×4.4+（﹣1）×1.4+0+1×（﹣1.6）+2×（﹣2.6）=﹣17．
=4+1+0+1+2=10．
∴
=﹣
=﹣1.7.
=63.6+1.7×3=68.7．
∴y关于t的线性回归方程为y=﹣1.7t+68.7． 故答案为y=﹣1.7t+68.7．
【点评】本题考查了线性回归方程的解法，属于基础题．
18．【答案】 平行 ．
【解析】解：∵AB1∥C1D，AD1∥BC1，
AB1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，AB1∩AD1=A C1D⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，C1D∩BC1=C1 由面面平行的判定理我们易得平面AB1D1∥平面BC1D 故答案为：平行．
【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由
，得
，
即﹣1＜x＜1，即定义域为（﹣1，1）， 则f（x）为奇函数．
（Ⅱ）当0＜a＜1时，由f（x）＞0， 即loga（1+x）﹣loga（1﹣x）＞0， 即loga（1+x）＞loga（1﹣x）， 则1+x＜1﹣x，
则f（﹣x）=loga（1﹣x）﹣loga（1+x）=﹣[loga（1+x）﹣loga（1﹣x）]=﹣f（x），
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解得﹣1＜x＜0，
则不等式解集为：（﹣1，0）． 题的关键．
20．【答案】
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及对数不等式的求解，利用定义法以及对数函数的单调性是解决本
【解析】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣，
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴， ∴f′（1）=0，即1﹣（Ⅱ）f′（x）=1﹣
=0，解得a=e． ，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值； ②当a＞0时，令f′（x）=0，得ex=a，x=lna，
x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0； ∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， 故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．
综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值． （Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+
，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+
，
则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点， 等价于方程g（x）=0在R上没有实数解． 假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（
）=﹣1+
＜0，
又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解， 与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1． 又k=1时，g（x）=所以k的最大值为1．
21．【答案】
【解析】解：（1）设等比数列{an}的公比为q＜4，∵a1+3，3a2，a3+4构成等差数列． ∴2×3a2=a1+3+a3+4，∴6q=1+7+q，解得q=2．
2
＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，
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n1
（2）由（1）可得：an=2﹣．
bn=lna3n+1=ln23n=3nln2．
∴数列{bn}的前n项和Tn=3ln2×（1+2+…+n） =
ln2．
22．【答案】
n*
【解析】（1）解：∵数列{an}满足a1=3，an+1=an+p•3（n∈N，p为常数），
∴a2=3+3p，a3=3+12p，
∵a1，a2+6，a3成等差数列．∴2a2+12=a1+a3，即18+6p=6+12p 解得p=2．
n
∵an+1=an+p•3，
2n1
∴a2﹣a1=2•3，a3﹣a2=2•3，…，an﹣an﹣1=2•3﹣，
将这些式子全加起来 得 an﹣a1=3n﹣3，
n
∴an=3．
（2）证明：∵{bn}满足bn=设f（x）=
，则f′（x）=
，∴bn=．
，x∈N，
*
令f′（x）=0，得x=当x∈（0，
∈（1，2）
，+∞）时，f′（x）＜0，
）时，f′（x）＞0；当x∈（
且f（1）=，f（2）=，
*
∴f（x）max=f（2）=，x∈N．
∴bn≤．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．
23．【答案】
【解析】（1）证明：设x2＞x1＞0，∵f（x1）﹣f（x2）=（
﹣1）﹣（
﹣1）=
，
由题设可得x2﹣x1＞0，且x2•x1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）， 故f（x）在（0，+∞）上是减函数． （2）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=
﹣1=﹣f（x），∴f（x）=+1．
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又f（0）=0，故函数f（x）的解析式为f（x）=．
24．【答案】（1）a＝
12（2）（－∞，－1－1e]．（3）827 【解析】
f（x）＋f（－x）＝－6（a＋1）x2≥12lnx对任意x∈（0，+∞）恒成立， 所以－（a＋1）≥
2lnxx2． 令g（x）＝2lnx212lnxx2，x＞0，则g（x）＝x3．
令g（x）＝0，解得x＝e．
当x∈（0，e）时，g（x）＞0，所以g（x）在（0，e）上单调递增； 当x∈（e，＋∞）时，g（x）＜0，所以g（x）在（e，＋∞）上单调递减．
所以g（x）e）＝1max＝g（e， 所以－（a＋1）≥11e，即a≤－1－e，
所以a的取值范围为（－∞，－1－1e]．
（3）因为f（x）＝2x3－3（a＋1）x2＋6ax，
所以f ′（x）＝6x2－6（a＋1）x＋6a＝6（x－1）（x－a），f（1）＝3a－1，f（2）＝4． 令f ′（x）＝0，则x＝1或a． f（1）＝3a－1，f（2）＝4．
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2）
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②当
5＜a＜2时， 3
当x∈（1，a）时，f （x）＜0，所以f（x）在（1，a）上单调递减； 当x∈（a，2）时，f （x）＞0，所以f（x）在（a，2）上单调递增．
又因为f（1）＞f（2），所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（a）＝－a3＋3a2， 所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－（－a3＋3a2）＝a3－3a2＋3a－1． 因为h （a）＝3a2－6a＋3＝3（a－1）2≥0．
5，2）上单调递增， 3558所以当a∈（，2）时，h（a）＞h（）＝．
3327所以h（a）在（③当a≥2时，
当x∈（1，2）时，f （x）＜0，所以f（x）在（1，2）上单调递减， 所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（2）＝4， 所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－4＝3a－5， 所以h（a）在[2，＋∞）上的最小值为h（2）＝1． 综上，h（a）的最小值为
8． 27点睛：已知函数最值求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数最值取法，根据最值
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列等量关系，确定参数值或取值范围；（2）利用最值转化为不等式恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.
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