注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
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评卷人 得分 𝜋2
一、选择题
1.如果𝑥
∈(0,)时总有sin𝑥>𝑘𝑥成立，则实数𝑘的取值范围是（ ）.
𝜋
𝜋
2
2
A. (−∞,] B. (−∞,) C. (−∞,] D. (−∞,)
22𝜋𝜋2.已知函数y
=𝑓(𝑥)有反函数 y=𝑓−1(𝑥).将y=𝑓(𝑥)的图像绕(1,−1) 逆时针旋转
90° ，所求曲线的方程是（ ）.
A. 𝑦C. 𝑦
=𝑓−1(−𝑥)−2 B. 𝑦=−𝑓−1(−𝑥)−2 =𝑓−1(−𝑥+1)−1 D. 𝑦=𝑓−1(−𝑥−1)+1
=(1+)𝑛,𝑦=(1+)𝑛+1. 则（ ）.
𝑛
𝑛
1
1
3.设𝑛为正整数，且𝑥A. 𝑥𝑦
>𝑦𝑥 B. 𝑥𝑦=𝑦𝑥 C. 𝑥𝑦<𝑦𝑥 D. 以上都有可能
=𝑥−3 与曲线𝑦=𝑒𝑥+𝑎 相切，则实数𝑎 的值是（ ）.
4.若直线𝑦
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
5.在半径为1的⊙𝑂 上取一定点𝐴 和一定点𝐵 .设点𝑃 满足𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =1. 则点𝑃 的轨迹是（ ）. 𝐴𝐵
A. 椭圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 以上都有可能
6.将(𝑎+𝑏+𝑐+𝑑) 展开之后再合并同类项，所得的多项式的项数是（ ）. A. 𝐶9 B. 𝐶9 C. 𝐶12 D. 𝐶12
4
3
4
39
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅∥𝑂𝐵 ，且⃑𝐴𝑃
第II卷（非选择题）
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评卷人 得分 二、解答题
7.在四面体𝐴𝐵𝐶𝐷 中。𝐴𝐷⊥ 面𝐵𝐶𝐷 ，∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐵𝐷𝐶=𝜃<45°. 已知𝐸 是
𝐵𝐷 上一点，满足𝐶𝐸⊥𝐵𝐷 ，且𝐵𝐸=𝐴𝐷=1.
（1）证明：∠𝐵𝐴𝐶
=𝜃 ；
4
（2）若点𝐷 到平面𝐴𝐵𝐶 的距离为13 ，求cos𝜃 的值.
8.设𝑎 、𝑏、𝑐、𝑑、𝑒、𝑓为实数，且𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐≥|𝑑𝑥2+𝑒𝑥+𝑓| 对任意的实数
𝑥 成立.证明：4𝑎𝑐−𝑏2≥|4𝑑𝑓−𝑒2|.
9..设数列{𝑎𝑛} 定义为𝑎1（1）当𝑛（2）𝑎1
1
=1,𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛+√3𝑎2𝑛+1(𝑛≥1). 证明：
>1 时，𝑎𝑛+1+𝑎𝑛−1=4𝑎𝑛 ；
√
2
𝑛
113+𝑎+⋅⋅⋅+𝑎<1+. 2评卷人 得分 三、填空题
10.九个正实数a1,a2⋅⋅⋅,a9构成等比数列，且a1+a2则a7+a8+a9= ______. 11.已知𝑂
=3 ，a3+a4+a5+a6=15.
4−𝐴𝐵𝐶𝐷 是正四棱锥，其中，𝑂𝐴=√3 ，𝐵𝐶=2. 以𝑂 为球心、1为半
=log3tan𝛼=−log3tan𝛽，且𝛼−𝛽= ，则𝑥的值是
6𝜋
径作一个球.则这个球与正四棱锥相交部分的体积是______. 12.若实数𝑥 、𝛼、𝛽满足𝑥______.
13.设A,B是双曲线的两个焦点， C在双曲线上。已知ABC的三边长成等差数列，且
ACB120，则该双曲线的离心率为
14.函数𝑓(𝑥)的定义域为(0,∞) ，且满足𝑓(𝑥)−2𝑥𝑓(值是______.
15.复数𝑧满足|𝑧|(3𝑧+2𝑖)=2(𝑖𝑧−6). 则|𝑧| 等于 ______.
1𝑥
)+3𝑥2=0. 则𝑓(𝑥)的最小
参考答案
1.C
【解析】1.
在同一直角坐标系下作出𝑦设原点为O（0，0），A(因为𝑥所以𝑘
𝜋2
𝜋2
=sin𝑥和𝑦=𝑘𝑥的图像，
22
,1),所以𝑘𝑂𝐴=1𝜋=𝜋, ∈(0,)时总有sin𝑥>𝑘𝑥成立， ≤𝑘𝑂𝐴=.
𝜋2
故答案为：C 2.A
【解析】2.
点(t,𝑓(𝑡)) 绕(1,−1) 逆时针旋转90° ，得到(−𝑓(𝑡),𝑡−2). 令𝑥
=−𝑓(𝑡). 则𝑦=𝑡−2=𝑓−1(−𝑥)−2.
故答案为：A 3.B
【解析】3. 由𝑥
(𝑛+1)𝑛𝑛𝑛(𝑛+1)𝑛+1𝑛𝑛+1=
,𝑦=
𝑛+1𝑛
，
(𝑛+1)𝑛+1𝑛𝑛+1
所以lg𝑥所以lg𝑦
=𝑛lg
,∴𝑦lg𝑥=
𝑛+1𝑛
𝑛lg
𝑛𝑛𝑛+1𝑛
=
(𝑛+1)𝑛+1
𝑛𝑛
𝑛
lg
𝑛+1𝑛
，
=(𝑛+1)lg
,∴𝑥lgy=
(𝑛+1)𝑛
⋅(𝑛+1)lg
𝑛+1
=
(𝑛+1)𝑛+1
𝑛𝑛lg
𝑛+1𝑛
，
所以𝑥lg𝑦
=𝑦lg𝑥,∴lg𝑦𝑥=lg𝑥𝑦,∴𝑦𝑥=𝑥𝑦.
故答案为：B 4.A
【解析】4.
设切点的横坐标为𝑥0 .在𝑥因为直线𝑦故𝑒𝑥0+𝑎
=𝑥0 处曲线𝑦=𝑒𝑥+𝑎 的斜率为𝑒𝑥0+𝑎 ，
=𝑥−3 的斜率为1.
=1−3⇒1=−𝑎−3⇒a=−4.
=1⇒𝑥0=−𝑎.
因此，切点的纵坐标为𝑒𝑥0+𝑎
故答案为：A 5.B
【解析】5.
不妨设𝑂(0,0)、𝐴(1,0)、𝑃(𝑥,𝑦). 由于𝐴𝑃
∥𝑂𝐵，故可设𝐵(𝑘(𝑥−1),𝑘𝑦).
=(
𝑥𝑥−1)2+𝑦2
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =1，得𝑘将这些坐标代入⃑𝐴𝑃𝐴𝐵
.
=(𝑥−1)+𝑦2,∴𝑦2=2𝑥−
2
再利用点𝐵在⊙𝑂上，即可得到(𝑥,𝑦) 满足的方程为𝑥2
1.
从而，点𝑃的轨迹是抛物线. 故答案为：B 6.D
【解析】6.
所得多项式中每一项都形如𝑘𝑎𝑥1𝑏𝑥2𝑐𝑥3𝑑𝑥4(𝑘于是，𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4易知，上式共有𝐶9+4−1
4−1
>0) .
=9(𝑥𝑖≥0) .
3
=𝐶312 组整数解.
所以所得的多项式的项数是𝐶12. 故答案为：D
7.（1）见解析；（2）5
【解析】7. （1）由𝐴𝐵故𝐴𝐶
4
=
1sin𝜃
,𝐵𝐷=𝐶𝐷2cos𝜃sin𝜃
,𝐷𝐸=
1sin𝜃
cos𝜃sin𝜃
−1,𝐶𝐷=)=
2𝐷𝐸cos𝜃1
=
1sin𝜃
−
1cos𝜃
. =
√𝐴𝐷2+=√1+(
−
1cos𝜃
sin𝜃⋅cos𝜃
−1.
设∠𝐵𝐴𝐶=𝛼 .分别在𝛥𝐴𝐵𝐶和𝛥D𝐵𝐶中用余弦定理得
𝐵𝐶2=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2−2𝐴𝐵⋅𝐴𝐶cos𝛼 ， 𝐵𝐶2=𝐵𝐷2+𝐶𝐷2−2𝐵𝐷⋅𝐶𝐷cos𝜃.
以上两式相减并注意𝐴𝐵2得𝐴𝐷2
=𝐵𝐷2+𝐴𝐷2,𝐴𝐶2=𝐶𝐷2+𝐴𝐷2，
+𝐵𝐷⋅𝐶𝐷cos𝜃=𝐴𝐵⋅𝐴𝐶cos𝛼 .
则cos𝛼=
𝐴𝐷2+𝐵𝐷⋅𝐶𝐷cos𝜃
𝐴𝐵⋅𝐴𝐶
=
1+
cos𝜃11
(−)cos𝜃sin𝜃sin𝜃cos𝜃11(−1)sin𝜃sin𝜃⋅cos𝜃=cos𝜃 .
故∠𝐵𝐴𝐶=𝜃 .
=𝐴𝐷⋅𝐵𝐷⋅𝐶𝐷sin𝜃，𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶=1𝐴𝐵⋅26𝐴𝐷⋅𝐵𝐷⋅𝐶𝐷𝐴𝐵⋅𝐴𝐶1
（2）注意到，四面体𝐴𝐵𝐶𝐷的体积为𝑉
𝐴𝐶sin𝜃.
因此，点𝐷到平面𝐴𝐵𝐶的距离为解得cos𝜃8.见解析
【解析】8. 若𝑎当𝑎
3𝑉𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶
==
cos2𝜃−cos𝜃⋅sin𝜃1−sin𝜃⋅cos𝜃4=13.
= . 5
4
=0 ，则𝑏=0，𝑑=0，𝑒=0，结论成立.
≠0 时，因为𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐≥0 ，所以𝑎>0,𝑏2−4𝑎𝑐≤0.
>0 .
+𝑏𝑥+𝑐≥𝑑𝑥2+𝑒𝑥+𝑓，知𝑎≥𝑑>0 .
进一步，不妨设d则由𝑎𝑥2记𝑔(𝑥)
=𝑑𝑥2+𝑒𝑥+𝑓 .
+𝑏𝑥+𝑐≥|𝑔(𝑥)|，得𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐±(𝑑𝑥2+𝑒𝑥+
2
分两种情形讨论： 若𝑒2−4𝑑𝑓>0 ，由𝑎𝑥2
𝑓)≥0.
故(𝑏+𝑒)
2
−4(𝑎+𝑑)(𝑐+𝑓)≤0 ，(𝑏−𝑒)−4(𝑎−𝑑)(𝑐−𝑓)≤0 .
=
− ，则4𝑎𝑐−𝑏
4𝑎2𝑎
𝑏
2
在已知条件中取𝑥故4𝑎𝑐
≥
𝑏
𝑔(−2𝑎)≥
4𝑑𝑓−𝑒2
. 4𝑑−𝑏2≥4𝑑𝑓−𝑒2⇒4𝑎𝑐−𝑏2≥|4𝑑𝑓−𝑒2| .
0，则g(X)的最小值为4𝑑𝑓−𝑒， 4𝑑2
2
若𝑒2−4𝑑𝑓≤0，则g(x)≥
𝑏4𝑎𝑐−𝑏
在已知条件中取x=-,则得到
2𝑎4𝑎𝑏
≥𝑔(−2𝑎)≥4𝑑𝑓−𝑒，
4𝑑2
则4𝑎𝑐
−𝑏2≥4𝑑𝑓−𝑒2,即4𝑎𝑐−𝑏2≥|4𝑑𝑓−𝑒2|.
9.（1）见解析；（2）见解析
【解析】9.
（1）由条件知{𝑎𝑛}是递增数列，𝑎2=4 .将递推公式移项并平方得(𝑎𝑛+1−2𝑎𝑛)2
=
3𝑎2𝑛+1 ，
2即a2𝑛+1−4𝑎𝑛+1𝑎𝑛+𝑎𝑛2=1 .进而，𝑎2𝑛−4𝑎𝑛𝑎𝑛−1+𝑎𝑛−1=1.
以上两式相减并分解因式得(𝑎𝑛+1−𝑎𝑛−1)(𝑎𝑛+1+𝑎𝑛−1−4𝑎𝑛)=0 由此，𝑎𝑛+1+𝑎𝑛−1=4𝑎𝑛 . （2）由𝑎1其中，𝛼因为𝛼
12√3𝑛
=1,𝑎4=4,𝑎𝑛+1=4𝑎𝑛−𝑎𝑛−1 ，得𝑎𝑛=
(𝛼𝑛−𝛽) ，
=2+√3,𝛽=2−√3 .
𝑘
𝑘−1
1
𝑘−1
1
𝑘
>1>𝛽>0 ，且𝛼𝛽=1 ，
>𝛼(𝛼k-1−𝛽
)=𝛽(𝛼k-1−𝛽
)(𝑘≥2)⇒𝑎所以，𝛼k−𝛽于是，当𝑛
<𝑎𝛽(𝑘≥2) .
𝑘−1
𝑛
>1 时，有𝑆𝑛=
𝑛
11+∑𝑎1𝑎𝑘
𝑘=2
<
𝑛1𝛽+∑𝑎1𝑘=2𝑎𝑘−1
11
=𝑎+𝛽(𝑆𝑛−𝑎)<
1
1
+𝛽𝑆𝑛 . 𝑎1
则𝑆𝑛
11+3<(1−𝛽= . )𝑎2√
1
10.112
【解析】10.
设公比为𝑞.则由已知条件可得
𝑎1(1+𝑞)=3，
4𝑎1𝑞2(1+𝑞+𝑞2+𝑞3)=15 .
以上两式相比得𝑞2(1+𝑞2)=20 . 从而，𝑞
=2 ，𝑎1=1 . 4=𝑎1𝑞6(1+𝑞+𝑞2)=112 .
故𝑎7+𝑎8+𝑎9故答案为：112 11.9
【解析】11.
2𝜋
考虑棱长为2的正方体.将点𝑂置于正方体的中心，则𝐴𝐵𝐶𝐷 恰好可以与正方体的一个面重合.于是，由于对称性可知，所求体积是球体体积的 ，即故答案为：9 12.2
【解析】12.
1
2𝜋
1
6314
⋅𝜋⋅163= 2𝜋 .
9记tan𝛼=𝑦 .则tan𝛽= ，
𝑦
𝜋6
𝑦−1√3𝑦 . 1+√31
tan𝛽=tan(𝛼−)=
1故𝑦=1+√𝑦3. √3𝑦−1取其正根得𝑦因此，𝑥
=√3 .
12
=log3𝑦= . 12故答案为： 13.
【解析】13.试题由题意，可根据双曲线的定义及题设中三边长度成等差数列把三个边长都用a，c表示出来，再结合余弦定理即可得到结论． 由题，不妨令点C在右支上，则有 AC=2a+x，BC=x，AB=2c；
∵△ABC的三边长成等差数列，且∠ACB=120°， ∴x+2c=2（2a+x）⇒x=2c﹣4a； AC=2a+x=2c﹣2a；
∵AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB；
∴（2c）2=（2c﹣4a）2+（2c﹣2a）2﹣2（2c﹣4a）（2c﹣2a）（﹣∴2c2﹣9ac+7a2=0⇒2e2﹣9e+7=0；
7 21）； 27，e=1（舍）． 27故答案为： ．
2∴e=14.3
【解析】14. 由𝑓(𝑥)−2𝑥𝑓(
1𝑥
)+3𝑥2=0 ，得𝑓()−𝑓(𝑥)+
𝑥
𝑥
123𝑥2=0 .
联立以上两式解得𝑓(𝑥)
=𝑥2+ .
𝑥
2
1
1
1
1132
由平均值不等式得𝑥2+𝑥=𝑥2+𝑥+𝑥≥3(𝑥2⋅𝑥⋅𝑥)当且仅当𝑥
=3 ，
=1 时，上式等号成立.
因此，𝑓(𝑥) 的最小值为3. 故答案为：3 15.2
【解析】15.
直接计算知|3𝑧+2𝑖|2−|𝑖𝑧−6|2由此可见，若|𝑧|>2 ，则
|3𝑧+2𝑖|>|𝑖𝑧−6|⇒||𝑧|(3𝑧+2𝑖)|>|2(𝑖𝑧−6)| ，这与已知条件矛盾； 若|𝑧|<2 ，则
||𝑧|(3𝑧+2𝑖)|<|2(𝑖𝑧−6)|，也矛盾. 因此，|𝑧|=2. 故答案为：2
=8(|𝑧|2−4) .
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