中学数学教学参考 Ｉ ｆ ．ｚｈｏｎｇｓｈｕｃａ，Ｊ ＣＯｌ／Ｉ 迹问 题与 百■ 张祖寅（江苏省无锡市第一中学） 问题的类型仍集中在：①轨迹问题：满足某限制条件 的动点轨迹，动点在某定曲线上；②定值问题：定比 值、定面积、定周长等；③定点问题：曲线恒过定点，探 求出点再加以证明。 ｌ 专题综述 在历年的高考解析几何解答题中，轨迹问题与定 值、定点问题可以说是永恒的话题，经久不衰，常考常 新。因为在解答这类问题过程中，既有探索性的历 程，又有严密的逻辑推理及复杂的运算，成为考查学 生逻辑思维能力、知识迁移能力和运算求解能力的一 道亮丽的风景线，真正体现了考试大纲中“重知识，更 重能力”的指导思想。 ２例题教学 （１）精选例题，举一反三。选题一定要明白选此 题的目的是为了解决本专题的重点或难点内容，题目 的创新点在哪里，等等，从而更好地发挥题目的示范 作用和潜在的功能。 重点：会用几何法、定义法、转移法、参数法、交轨 法等求动点轨迹；会用特殊探索法（特殊值、特殊位 置、特殊图形等）先确定出（定点）定值，将问题转化为 有方向、有目标的一般性证明题；会用设值法（设出定 （２）分析例题。为提高讲解的针对性与实效性， 宜采用下列教学策略：学生先行（思考、尝试），交流在 中（暴露疑点、难点），教师断后（点拨、归纳）。具体设 值为 ），将问题转化为恒成立问题求解。 难点：轨迹问题中方法的选取及消参方法，定点、 定值问题中的特殊探索法的应用及转化恒等式的 技巧。 计可采用“段落法”，这里的每一“段落”与高考阅卷的 “踩分点”基本一致，目的是让学生养成规范作答的习 惯，有利于在高考阅卷中争取更多的分数。每一段落 应包括下列项目：思路（人口）、难点（关键点）、对策、 操作（简要的解答步骤）、小结等。 易错点：①忽视求出轨迹后－ｚ或 的范围；②根 据轨迹的纯粹性和完备性进行“去”和“留”的确认；③ （３）归纳提升，触类旁通。即通过题目的练习与 讲评，将蕴涵其中的重要思想方法进行总结与升华， 做到讲一例而通一类。 ２．１ 轨迹问题 消参的方法不当；④定点、定值转化为恒成立问题；⑤ 缺少策略性知识，如利用特殊值或特殊图形探寻 方向。 对策：①重视对几何图形的分析，数形结合，以 “形”引导思维，认识问题的本质，寻找解题的途径，制 定解题的策略；②加强学生的推理能力，严谨、合理的 例１ 已知圆Ｃ：ｚ －４－ －４－６ｘ一９１—０及圆内一 点Ｐ（３，０），求过点Ｐ且与已知圆内切的圆的圆心Ｍ 的轨迹方程。 数学表述能力的培养；③重视数学思想方法的渗透， 如函数思想、化归与转化思想、分类与整合思想；培养 优化思维、优化运算的意识；④面对试题的创新点，能 大胆猜测、合情推理。 思路：两圆内（外）切，圆心距等于两半径之差绝 对值（两半径之和），而这里两半径之差为定值，联想 到椭圆的定义。圆心距与两圆半径和、半径差的大小 关系是判定两圆位置的重要依据。 解析：圆Ｃ的半径与圆心坐标可定，由两圆内切 笔者综合对近三年的“轨迹问题与定值、定点问 题”试题的研究，可大胆预测：对内容的考查和问题类 型会更加稳定，试题难度会基本持平，甚至略有下降。 可得：外圆半径一内圆半径＋圆心距。动点Ｍ满足的 等量关系：｛ＭＣＩ＋ｌＭＰｌ＝＝＝１０＞｛ＰＣＩ，从而由定义 ＷＷＷ．ｚｈｏｎｇｓｈｕｃａｎ ｃｏＦｉｌ 可确定动点Ｍ的轨迹为以Ｐ、Ｃ为焦点的椭圆。 思考：若Ｐ的坐标为（１３，Ｏ），情况又是如何？ 归纳：圆锥曲线很多性质相通，特别是椭圆与双 曲线若从对偶的角度来类比研究，则可达到事半功倍 的效果。 变式１ 已知动圆与圆Ｃ ：（ｚ＋５） ＋ｙ 一４９和 圆ｃ ：（ｚ一５） ＋ 一１都外切，求动圆圆心Ｐ的轨迹 方程。 分析：从已知条件可以确定圆Ｃ 、圆Ｃ。的圆心 与半径。由两圆外切可得：两圆半径和一圆心距。 答案：双曲线右支。 引伸：（１）若动圆Ｐ与圆Ｃ 内切，与圆Ｃ 外切， 则动圆圆心Ｐ的轨迹是什么？（双曲线右支） （２）若动圆Ｐ与圆Ｃ 内切，与圆Ｃ 外切，则动圆 圆心Ｐ的轨迹是什么？（双曲线左支） （３）若把圆ｃ 的半径改为１，那么动圆Ｐ的轨迹 又是什么？（两定圆连心线的垂直平分线） 思考：上述的结论是否具有一般性？也就是与两 个外离的定圆都外切或与其中一个内切，另一个外切 的圆的圆心轨迹都是双曲线的一支？（当两个定圆不 相等时，结论是肯定的，当两定圆相等时，轨迹为两定 圆连心线的中垂线） 小结：（１）依条件列出等量关系式；（２）由等式的 几何意义，结合圆锥曲线的定义确定轨迹的形状；（３） 写出方程。 例２ 如图１，椭圆ｚ ＋ ‘ ９ｙ。＝＝＝９的两个顶点为 Ａ 。 — Ａ１（一３，Ｏ）、Ａ（３，０）。与ｙ轴 Ｄ 一 平行的直线交椭圆于点Ｅ、Ｆ， 求ＡＥ和Ａ Ｆ交点Ｐ的轨迹 图１ 方程。 说明：在求动点轨迹时，有时会出现要求两条动 曲线交点（交轨法）的轨迹问题，这类问题常常通过解 方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求出所 求轨迹方程，该方法经常与参数法并用。 思路：直线ＡＥ和Ａ Ｆ交于点Ｐ，而两条直线分 别过定点Ａ与Ａ ，因此设出直线方程是我们解题的 目标。这里点Ｅ、Ｆ关于Ｘ轴对称是解决问题的突 破口。 难点：如何选取参数和消去参数是解题的关键， 在直线过已知点的条件下是用“点斜式”还是“两点 式”？ 中学数学教学参考 解析：设Ｅ（３ｃｏｓ ０，ｓｉｎ ），Ｆ（３ｃｏｓ ０，一ｓｉｎ ），于 是直线ＡＥ、Ａ Ｆ的方程分别为 一 ｌｚ＋３ ３（１＋ＣＯＳ ）、（ｚ≠－ －３），’ ① 上一 （ ≠３）， ② ３５＇一３ ３（１一ＣＯＳ ）、 ～’ 由①×②得ｚ 一９ｙ。一９。 ③ 又当ｚ一±３时，点Ｐ与点Ａ或Ａ 重合，此时满 足③式，即方程ｚ。一９ｙ 一９为所求方程。 思考：如图２，双曲线ｚ 一 ‘ ９ｙ 一９的两个顶点为Ａ （一３， Ｏ）、Ａ（３，０）。与ｙ轴平行的直 Ａ 线交双曲线于点Ｅ、Ｆ，求ＡＥ和 ／ ｒ． Ａ Ｆ交点Ｐ的轨迹方程。 归纳：求两条动曲线交点的轨迹方程，其通法是 选择合适的参数（变量），根据参数表示出相关未知 量，选择的参数可以是一元、二元、多元，通过消元的 方法消去参数，得出动点坐标ｚ、Ｙ之间的关系式，整 理化简可得动点的轨迹方程。 例３ 舰Ａ在舰Ｂ的正东６ ｋｍ处，舰Ｃ在舰Ｂ 的北偏西３０。且与Ｂ相距４ ｋｍ，它们准备捕海洋动 物，某时刻Ａ发现动物信号，４ Ｓ后Ｂ、ｃ同时发现这 种信号，Ａ发射麻醉炮弹，设舰与动物均为静止的，动 物信号的传播速度为１ ｋｍ／ｓ，炮弹的速度是 ＾Ｖ ／ 丝ｋＪ ｍ／ ，其中ｇ为重力加速度，若不计空气阻 力与舰高，问舰Ａ发射炮弹的方位角和仰角应是 多少？ 说明：建立适当坐标系（若题中给定则可省），设 出动点坐标，利用题中所给“限制”条件列出代数关系 式，化简整理，但要注意轨迹上点的“挖”与“补”。简 称：建设“限”代化。 思路：在建立平面直角坐标系表示地理位置的时 候，通常以东西方向为横轴，以南北方向为纵轴，建立 平面直角坐标系。又Ａ、Ｂ两舰发现海洋动物信号的 时间差为４秒，知ｌ ＰＢ ｌ—Ｉ ＰＡ １—４，联想双曲线定义 可知原点为线段ＡＢ的中点。 难点：舰Ａ在舰Ｂ的正东６ ｋｍ处，因此点Ａ、Ｂ 在ｚ轴上，那原点在何处？ 解析：取ＡＢ所在直线为ｚ轴，以ＡＢ的中点为 原点，建立如图３所示的直角坐标系。由题意可知， 舰Ａ（３，０），Ｂ（一３，Ｏ），Ｃ（一５，２√３）。由于Ｂ、Ｃ同时 中学数学教学参考 发现海洋动物信号，记海洋动物 ｙ Ｐ 所在位置为Ｐ，则Ｉ ＰＢ Ｉ—Ｉ ＰＣＩ。 于是Ｐ在线段ＢＣ的中垂线上， 易求得线段ＢＣ的中垂线方程为 Ｂ ０ 一３ ＋７√ ：０，又由Ａ、Ｂ两 舰发现海洋动物信号的时间差为４秒，知ｌ ＰＢ Ｉ— ｉＰＡｌ一４，故知点Ｐ在双曲线 一牛一１的右支上， 直线与双曲线的交点为（８，５√３），此即为海洋动物Ｐ 的位置，利用两点问的距离公式，可得ｌ ＰＡ ｌ一１Ｏ。据 已知两点的斜率公式得是 一√３，所以直线ＰＡ的倾 斜角为６Ｏ。，于是舰Ａ发射炮弹的方位角应是北偏东 ３０。。设发射炮弹的仰角是 ，初速度Ｖｏ一 ／２ｏ￣ｇ， 则 一 ，于是ｓｉｎ ２ 一譬，则仰角 一３０。。 归纳：相同的图形在不同的坐标系中，其点的坐 标虽然不同，但实质不变。也就是说：把相同的图形 放在不同的坐标系下解决问题，不影Ⅱ向结论的一致 性，有的仅是数据的大小不同、过程的繁简不同而已。 而建立适当的直角坐标系，就能很好地解决解题时数 据过大、过程烦琐的情况。怎样建立合适的坐标系 呢？一般有三种考虑：一是建立的坐标系有利于求出 题目的结果；二是尽可能多地使图形上的点（或已知 点）落在坐标轴上；三是充分利用图形本身的对称性。 例４ 如图４所示，已知 Ｐ（４，０）是圆 。＋ 一３６内的一 点，Ａ、Ｂ是圆上两动点，且满足 一 ＡＰＢ一９０。，求矩形ＡＰＢＱ的 顶点Ｑ的轨迹方程。 说明：根据某个已知元素的 ４ 性质，以及该元素与未知元素的关系求出未知元素的 一些性质。转移法的关键是抓住元素间的关系，故又 称“关联法”。转移法作为一种常用的数学思想方法， 在高中数学各章节都有极其广泛的应用。 思路：主动点是Ａ、Ｂ，点Ｑ的产生有两种方法， 一是过点Ａ与ＢＰ平行的直线ｚ 和过点Ｂ与ＡＰ平 行的直线￡ 的交点；二是取弦ＡＢ中点Ｒ，延长ＰＲ 至Ｑ，使ＰＲ—ＲＱ。若用方法一求解，则分别设出直 线ｚ 、ｚ 的方程，再用交轨法；若用方法二求解，则用 点Ｒ的坐标来表示点Ｑ，实现点的转移。对某些较复 ｗ矾 ｗ ｚｈｏｎｇｓｈＩ１（ ａｎ （ 《）ｊ１１ 杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得 的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹 上的点为相关点，求得轨迹方程。 难点：矩形对角线性质的发现。（几何图形性质 是求轨迹的重要途径） 解析：没ＡＢ的中点为Ｒ（ｚ ， ），则在Ｒｔ△ＡＢＰ 中，ｌ ＡＲ ｌ—Ｉ ＰＲ ｊ。 又因为Ｒ是弦ＡＢ的中点，根据垂径定理，在 Ｒｔ△ＯＡＲ中．『ＡＲ ｌ 一ｌ Ａ（）ｌ ～ｆ ＯＲ Ｉ一３６一（ｚ ＋ ；）。 又ｌ ＡＲ ｌ—ｊ ＰＲ ｌ一￣／（ 一４） ＋ ， 所以有（ 一４） ＋ 一３６一（ ；＋ ；）， 即 十 一４ｘ 一１０—０。 因此点Ｒ在一个圆上，而当Ｒ在此圆上运动时， 点Ｑ即在所求的轨迹上运动。 设Ｑ（．ｒ． ），因为Ｒ是ＰＱ的中点，所以 一 ＋４ ｖ＋０ 下， １一 。 代入方程－，ｒ ＋ 一４ｚ。～ｌＯ一０，得（—ｘｑ－ ４ １ ＋ （苦） 一４・ 一１０—０，整理得ｚ ＋ 一５６，这就 是所求顶点Ｑ的轨迹方程。 变式２过点Ａ（～１，０），斜率为尼的直线ｚ与抛 物线Ｃ：ｙ。一４ｘ交于Ｐ、Ｑ两点，若曲线Ｃ的焦点Ｆ 与Ｐ、Ｑ、Ｒ三点构成平行四边形ＰＦＱＲ，求点Ｒ的轨 迹方程。 归纳：转移法的判定主要是看题中是否具备两个 条件：（１）主动点和从动点；（２）主动点在已知曲线上 运动（或主动点轨迹易求）。操作程序为：先设出主动 点坐标为（ｚ 。）．所求点（从动点）坐标为（ ， ）；再 找到主动点坐标ｚ。、 。与从动点坐标 、 之间的关 系式，然后解方程组消去ｚ。、 。，得到３７、 的关系，即 得轨迹方程（注意“挖”“补”）。解题中要注意轨迹与 轨迹方程的区别。 ２．２定值问题 求定值是解析几何中颇有难度的一类问题，由于 它在解题之前不知道定值的结果，因而更增添了题目 的神秘色彩。解决这类问题时，要善于运用辩证的观 点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变” 性。其方法一般有以下两种：第一种，用特殊探索法 （特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开 ｗｗｗ．ｚｈｏｎｇｓｈ￣ｌ《 （ ｔ）Ｈ１誊 神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向 有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破 口。同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够 确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。第二 种，直接推理、计算，将待证为定值的量表示为某参数 的函数，再化简证明其与参数无关，从而证其为定值。 ｌ 椤０ ５ 如图５，椭圆 ＋ ａ／／，一一＝ ～Ｐ 一１经过点ｕ（１， ３），离心 ＼ ２／／ 、 率ｅ一 １图５ ，直线ｚ的方程为 一４。 （Ｉ）求椭圆的方程 （Ⅱ）ＡＢ是经过右焦点Ｆ的任一弦（不经过点 Ｐ），设直线ＡＢ与直线１相交于点Ｍ，记直线ＰＡ、 ＰＢ、ＰＭ的斜率分别为ｋ 、ｋ。、ｋ。。问：是否存在常数 ，使得ｋ 忌 一２ｋ。？若存在，求出 的值；若不存在， 说明理由。 说明：定值问题一直是高考中的热点问题之一， 由于现行教材对这个问题没有做专门的介绍，因此也 成了高中数学的难点之一。 思路：本题是个探索性问题，一般的方法是先假 定结论成立，并以此为条件，往下推导，若能求出 的 值，则结论成立，否则产生矛盾。但本题中因为结论 对一般情况成立，则对特殊情况也必成立，所以反其 道行之，先特殊化处理（令直线ＡＢ与．７６轴重合），求 出 ，再作一般性的证明，因为此时 是个具体的数， 证明的过程中计算必然相对简单。注意到本题中，直 线ｚ的方程为．ｚ一４，则直线ｚ实际上是椭圆的右准 线，可继续探究，这对本题中的结论是必需的，还是纯 属巧合？如果是巧合，那么一般性的结论又是什么？ 解析：设直线ＡＢ的方程为Ｙ—ｋ（ｚ一１），代入椭 圆方程得关于 的方程，然后用根与系数的关系；或 设Ｂ（ｚ。， 。）（ 。≠１），求出点Ｍ的坐标和点Ａ坐标， 表示出三个斜率。（过程略） ～２ ．２ 例６ 已知椭圆Ｃ ： “ ＋告一１（Ⅱ＞６＞０）的离心 率为 厶 ，右焦点Ｆ关于直线 一２ｙ一０对称的点在圆 ｚ ＋ 。一４上。 （工）求此椭圆的方程； （Ⅱ）设Ｍ是椭圆Ｃ上异于长轴端点的任意一 点，试问在ｚ轴上是否存在两个定点Ａ、Ｂ，使得直线 中学数学教学参考 ＭＡ、ＭＢ的斜率之积为定值？若存在，求出所有符合 条件的两个定点的坐标及定值；若不存在，请说明 理由。 解析：（Ｉ）椭圆Ｃ 的方程 为 ｘｚ ｙＺＴ ＝＝＝１。（过程略） Ｆ）百３ （Ⅱ）设Ｍ（ｚ ， ），寻＋ —＿／ 图６ 一ｌ（Ｙ１≠０，Ｉｚ ∈（～２√２， ２√ ））。 设Ａ（ ，Ｏ），Ｂ（ ，Ｏ），足 ・尼 一 （定值）， 得 ． 一 ， ． 王１ ＨＬ 土１ ｔ 即Ｙ 一 （ｚ１一 ）（ １一 ）。 则４（１一寻）一 （ｚ 一（ ＋，ｚ）ｚ ＋ｍ ）， ～２ 所以４一 ｄ．１＝ｉｘ；一 （ｍ ４－ｎ）ｘｌ－￣－ａｒｎｎ对Ｖ Ｉｚ１∈ （一２√２，２√２）且３Ｃ ≠ｍ， ≠ 均成立， ｆ一 一 ， Ｊ一一专， 则｛０一－－２（ｍ＋ｎ），解之得１ｍ一２ ， ［４＝２ｍｎ， Ｉ 一一２ 。 即Ａ（一２ ，０），Ｂ（２ ，０），定值 一一寺。 例５给出 ，而本题设出定值 ，目的都是将问题 转化为恒成立问题。由此发现所求两定点Ａ（一２ √ ，０）、Ｂ（２√ ，０）实质是长轴的两端点，继而问题又 可延伸为：设点Ｐ为曲线Ｃ 上异于短轴端点的任一 动点，试问在Ｙ轴上是否存在两个定点ｃ、Ｄ，使得直 线ＰＣ、ＰＤ的斜率之积为定值？若存在，求出所有符 合条件的两个定点的坐标及定值；若不存在，请说明 理由。（定值 一一 １） 猜想：椭圆 ｘｚ ｙＺＴ 一１（ｎ＞ｂ＞０）Ｊｃ ４￣Ｎ一点与 某两点的斜率之积为定值？椭圆的这一性质能否推 广到双曲线？ 归纳：定值问题是解析几何中常见的一种问题， 基本的求解思想是：先用变量表示所需证明的不变 量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值， 即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问 题，最后才是定值问题。求定值问题常见的方法有两 种：一种是从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变 中学数学教学参考 量无关。另一种是直接推理、计算，并在计算推理的 过程中消去变量，从而得到定值。 ２．３定点问题 定点问题是解析几何解答题的考查重点。此类 问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题、曲线系 问题等相结合，动直线（或曲线）恒过某一定点的问 题，一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出 来，再分析判断其所过的定点。 例７ 已知动圆过定点Ａ（４，０），且在ｙ轴上截得 的弦ＭＮ的长为８。 （Ｉ）求动圆圆心的轨迹Ｃ的方程； （Ⅱ）已知点Ｂ（一１，０），设不垂直于．７８轴的直线 与轨迹ｃ交于不同的两点Ｐ、Ｑ，若ｚ轴是 ＰＢＱ的 角平分线，证明直线ＰＱ过定点。 思路：定点问题的难点是动直线（或曲线）的表 示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了。所 以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要。此题 若设ＰＱ方程为ｙ—ｋｘ＋ｂ，然后代人所求轨迹Ｃ的 …２ 、 方程，运算将十分复杂。若设点Ｐ（、等，Ｌ） ）（因所求轨 ㈨２ 、 迹ｃ的方程为 一８ｘ）与点Ｑ（、警，Ｕ ）（ ≠Ｙｚ），由 ｋ 一一是 解得，这样只有两个参数，使得运算更 简捷。 思考：本题可推广为一般的结论：不垂直于ｚ轴 的直线与抛物线Ｙ ＝＝＝２ｐｘ（ｐ＞Ｏ）交于不同的两点Ｐ、 Ｑ，点Ｍ（ｍ，Ｏ）（ｍ＜Ｏ），则直线ＰＱ过定点（一Ｔｔｌ，Ｏ）的 充要条件是 轴是 ＰＭＱ的角平分线。 在抛物线中，类似的命题还有很多，以下列举几 例，可加以练习： （１）直线ｚ与抛物线ｙ 一２ｐｘ（ ＞０）交于Ａ（ｚ ， ｙ。）、Ｂ（ｘ ， ：）两点，则直线ｚ与 轴交于Ｍ（ ，０）的 充要条件是Ｙ Ｙ 一一２ｐｍ。特别地，直线ｚ过焦点的 充要条件是 一一２ｐ 。 （２）过点Ｍ（ｍ，０）的直线ｚ与抛物线ｙ 一２ｐｘ（Ｐ ＞０）交于Ａ（ｚ ，ｙ ）、Ｂ（ｘ ，ｙ ）两点，则抛物线在Ａ、 Ｂ两点的切线交于点Ｎ（一ｍ，、 厶 ），， 反之也成立。 归纳：这类问题的解答还是有规律可循的，如：证 明动直线过定点的解题步骤可归纳为：一选、二求、三 定点。具体操作程序如下：一选，选择参变量。需要 证明过定点的动直线往往随某一个量的变化而变化， 可选择这个量为参变量（当动直线涉及的量较多时， 也可选取多个参变量）；二求，求出动直线的方程。求 ｗｗｗ．ｚｈｏｎｇｓｈｕｃａｎ．（ Ｉ）ｎｌ 出只含上述参变量的动直线方程，并由其他辅助条件 减少参变量的个数，最终使动直线方程的系数中只含 有一个参变量；三定点，求出定点的坐标。 例８ 如图７，椭圆Ｅ： Ｊ， ｌ ．２ ＋ 一１（“＞６＞ｏ）的左焦点为 一 ／ｊ Ｆ ，右焦点为Ｆ ，离心率ｅ一 图７ 寺。过Ｆ 的直线交椭圆于Ａ、 Ｂ两点，且△ＡＢＦ 的周长为８。 （Ｉ）求椭圆Ｅ的方程； （Ⅱ）设动直线ｚ： —ｋｘ＋ｍ与椭圆Ｅ有且只有 一个公共点Ｐ，且与直线ｚ一４相交于点Ｑ。试探究： 在坐标平面内是否存在定点Ｍ，使得以ＰＱ为直径的 圆恒过点Ｍ？若存在，求出点Ｍ的坐标；若不存在， 说明理由。 解析：（１）椭圆Ｅ的方程为 ＋告一１。 （Ⅱ）由对称性可知，设Ｐ（ ，ｙｏ）（ ＞０），Ｍ（ｘ，Ｏ）。 由等＋等一１Ｊ ，得 一√３Ｖ 一手ｚ２， 一 ３ｘ ， ３ｘｏ ——＝＝＝＝， 一一——。 ４√３一导 ２ ４ｙｏ 由直线ｚ：Ｙ～ 。一一 （ — 。）与直线ｚ一４相 交，可得Ｑ（、 ４， ｙｏ ）。 由 ：声・ 一０可得（ｚ—Ｘｏ）（ｚ一４）＋ｙｏ・ 一０，则Ｘｏ（ｘ－－１）一（．Ｚ＇－１）（Ｘ－－３），（ ） ｙｏ （＊）式对 。∈（一２，２）恒成立，所以５１：一１，从而 Ｍ（１，０）。 分析图形特征，从对称性出发设点Ｍ（ｚ，０），然 后用恒成立求出 是求定点的又一方法。 定点、定值问题的实质是等式恒成立，方法为待 定系数法。定点问题，关键在于寻找题中的已知量、 未知量问的平行、垂直关系或是方程、不等式，然后将 已知量、未知量代人上述关系，通过整理、变形转化为 过定点的直线系、曲线系的问题来解决。定值问题， 关键在于选定一个适合该题设的参变量，用题中已知 量和参变量表示题中所涉及的定义、方程、几何性质， 再用韦达定理等方法导出所求定值关系式需要的表 达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果。