摘要：排列与组合在教学和实验中与概率、统计联系的比较紧密，在计算某些个事物在某种情况下出现的做法（或者概率）往往和排列组合是分不开的，因为它们的运用大大简化了计算的过程，为得出结果大大的缩短了时间，所以排列和组合的运用为我们在教学、实验中起到了不可或缺的作用。
关键字：排列、组合、实验、概率、统计
第一章 偶遇的错位排列组合问题
排列组合不仅仅出现在教科书里，在我们日常生活中也会常常的偶遇到需要排列组合来进行解决的问题，下面一则故事就是我亲身经历的：
明朗的一个星期天的早晨，心情舒畅的我，与几位同学一起到公园里漫步，一路上有音乐般旋律的鸟语和五彩斑斓的鲜花的陪伴，不仅如此，还有那让人沉醉的花香也一直伴随着我们。或许是恰巧，它们也在散步。
我们漫过了一座“音乐厅”，步过了一个“花海”，踏过了一片森林，走过了一间健身房，景随我心，永往直前。
我们漫呀漫！步呀步！突然间我的右侧出现了一片海一样大、湖一样绿的草坪，边用很高的铁丝网拦住。看了许久才方知，那是高尔夫球场，浩大宽广的绿色地毯，犹如自己身处蒙古大草原一般，真让人心旷神怡。但自己毕竟是在铁丝网外的小马路上漫步。
回过神来的我，不经得问旁边的一位同学：哎，你知不知那高尔夫球场上有几个“鼠”洞。“不知哦，大概、或许、可能，就约等于跟外国的那些大的高尔夫球场的差不多吧！”“嗯，依我看也许就那个样子吧，假如、倘若、如果，也就差不多吧！”旁边的一位同学的身边的一位同学说。我又问：“由于我没到过国外，但我又想知道它到底有几个洞，而你们又不能确切地告诉me答案，所以我宣告它假设有n个洞，并将它们按顺序标上阿拉伯数码（1、2、3„、n-1、
n），假设一位高尔夫球球手(其实也不用假设了，你们看那个瘦矮的小家伙，拿着长勺子正立
在场地上)，他要将n个高尔夫球(也编了序号的：1、2、3„、r-1、r、„n-1、n)打进n个洞里，问题来了：假如他打n个球当中的r（0≦r≦n）个不能对号入洞，请问他有几种法？”“哎兄弟，我的实验室不在这儿，我待会儿再告知你答案”。
1
之后，我们又尽情地去漫步，犹如蝴蝶一样，尽情飞舞！
虽然上面那则故事讲的有点像童话故事，但从其意思来分析，不难看出：在我们日常生活中，我们随时随地的在与数学知识打交道，而且不仅仅是1+1等于几的问题，而是趋向于更为复杂的数学问题。
第二章 探索解决问题的答案以及对答案进行分析
为了解决上述问题，我反复的翻阅了高二的数学书以及一些练习册，在两天的时间里，我没有看到一道是有关于错位排列组合的问题，有全错位的，但是答案有没有涉及到排列组合的内容的，于是我就拿着粉笔来到学校的操场了做实验，最后在两个星期六天的时间里，我得出了在四种情况下的四种答案： (1)、当r=0时，Tn =1 (2)、当r=1时，Tn 是不存在的 (3)、当r=n时，Tn =Cn An－Cn A(4)、当2≦r﹤n时 方法一: Tn = C
0
0
n1
n-12n-2nn0
n-1+Cn An-2－„(-1)Cn A0
n-rnn
(C0r Ar－Cr A
r1
r-12r-2rr0
+CA－„(-1)Cr A0r-1r r-2
)
方法二: Tn=Cn An－CC
n-r-2
n (Cr+2 A
nn
0
n-r+1r-1n-r-1r+1rr-1r+1r+10120
n Ar-1－Cn (Cr+1 Ar+1－Cr+1 Ar+Cr+1 Ar-1－„(-1)Cr+1 A0)－
r+2r+1rr+2r+2n1n-12n-212000
(Cn An－CnAn-1+Cn An-2r+2－Cr+2 Ar+1+Cr+2 Ar－„(-1)Cr+2 A0)－„－Cn
0
－„(-1)Cn A0)
参考函数：“Cn = A0=1”――C是组合的一个符号，A是排列的一个符号；∑(r,i=0)中的r为
0
0
∑的上标，i=0为∑的下标，∑是一个求和符号；(-1)^r=(-1)。
说明：(-1)和(-1)分别表示的是：(-1)的n次方和(-1)的r次方。
n
r
r
以下将对四种情况下的四种答案进行层层分析：
(1)、当r=0时，即所有的球都对号入洞了，所以他只有1种打法，即Tn =1。
(2)、当r=1时，Tn 是不存在的，假如只有一个球(任意的一个球)不对号入洞，那么其他的球((n-1)个球)就应该是对号入洞的，但事实上是不存在的，因为当那一个球落入了与它本身的号不同的同时，另一个球就自然而然的落入了那一个球所对的那一个号上了，故当r=1时，Tn 是不存在的。
2
(3)、当r=n时，Tn =Cn An－Cn A
0
n1
n-12n-2nn0
+CA －„(-1)Cn A0 n-1n n-2
0
首先在n个球当中,选手在不知道n个球的序号的情况下,把n个球打入n个洞内,即有CnA种打法,现在他就在击球的位置猜想:
nn
①、假如在我打入洞的n个球当中，只有一个球（C1n）对号入洞(具体是哪号球对号入洞，在此暂且不提，下同)，那么其余的（n－1）个球有几种入洞的方法呢？显然就有A所以就要在Cn An 的基础上减去C1n A
0
n-1
n-1 种打法，
n
n-1n-1
；
②、那么在第①种的猜想中，其余的（n－1）个入洞的球当中可能还有一个对号入洞的球，再加上第①种的猜想中打入的那一个对号入洞的球，一共就有两个对号入洞的球(不分具体的顺序对号入洞)，因为那过程是一次的而并非分两次进行的，即在打入n个球当中，可能有两个球对号入洞，其余的（n-2）个球的打法A
n-2
n-2 ，但在第①种的猜想当中，只考虑的是只有一个球
对号入洞，而并不考虑会有两个球对号入洞，但事实上是有两个球对号入洞的可能性(因为第①种猜想打法选择的是AA
n-2
n-2 ）
n-1
n-1），即在减去
2
n-2n-2
Cn A
1
n-12
n-1 的基础上多减了两个球对号入洞的打法（Cn
，所以要加上Cn A
；
3
③、在第②种的猜想中，有可能有三个球对号入洞，即Cn ，那其余的（n-3）个球的打法
为A
n-3
n-3 ，但在第②种的猜想当中，只考虑到只有两个球对号入洞的情况下的打法，而并不考
2
n-2n-2
虑有三个球对号入洞的情况，但事实上是会有三个球对号入洞的可能性，即在加上Cn A基础上，多加了三个对号入洞的球的打法（Cn A
3
n-3
n-3 ），所以要减去
的
Cn A
3
n-3
n-3；
依此类推，第n种猜想，在第（n-1）种猜想中，有可能有n个球对号入洞，即为Cnn ，那其余的打法为A00 ，但在第（n-1）种猜想当中，只考虑到只有（n-1）个球对号入洞的情况下的打法，而并没考虑会有n个球对号入洞的情况(以上已作解释，在此并不多讲，下同)，即在加上或减去C
n-11n-11
A1(（-1）Cn A1)的情况下，多加或多减了n
nn
n个球对号入洞的打法(即(-1)Cn A0)
nn
0
所以要减去或加上n个球对号入洞的可能性(即(-1)Cn A0)。 综上所述可知：当r=n时，Tn =Cn An－Cn A
0
0
n1
n-12n-2nn0
n-1+Cn An-2 －„(-1)Cn A0
3
(4)、当2≦r﹤n时， 方法一: Tn = C
n-rn
(C0r Ar－CrA
r1r-1
2r-2rr0
r-1+Cr Ar-2－„(-1)Cr A0
)
首先在n个球当中，选手选出（n-r）个球(即C
n-r
将其恰好能对号地打入(n-r)个洞n个球)，
n-rr1r-12r-2rr0
n(Cr Ar－Cr Ar-1+Cr Ar-2－„(-1)Cr
中，而其余的r个球都为错号入洞，则打法有Tn = C
0
A0)种，期中括号里边的为除开（n-r)个球而其余的球错号入洞的打法(错号入洞的打法已在第
(3)个解析已作详细说明了，在此就不再重复做解析，下同)，因为那一整个过程是连在一起的，
所以需两者要相乘。 方法二: Tn=Cn An－CC
n-r-2
n (Cr+2 A
nn
0
0
n
n-r+1r-1n-r-1r+1rr-1r+1r+10120
A－C(CA－CA+CA－„(-1)Cr+1 A0)－n r-1n r+1 r+1r+1 rr+1 r-1
r+2r+1rr+2r+2n1n-12n-212000
(Cn An－CnAn-1+Cn An-2r+2－Cr+2 Ar+1+Cr+2 Ar－„(-1)Cr+2 A0)－„－Cn
0
－„(-1)Cn A0)
首先在n个球当中，选手在不知其序号的情况下，将n个球打入洞n个洞中，既有Cn A
0
0
nn
种打法，而Cn则说明的是在n个球当中不先选定任何一个对号入洞。现在他就开始发愁了“我的将n个球中的r个球打入不同号的r个洞中”，于是他就开始猜想了：
（a）、假如我打的n个球当中，有可能有(n-r+1)个球对号入洞而其它的球都为错号入洞(这
种可能说明的是至少有(n-r+1)个球能对号入洞,也就从反面说明了至多有(r-1)个球错位入洞)，则打法有C
n-r+1
n A
r-1
r-1种，这种可能性得从
Cn An减除掉，即Cn An－C
0
n
0
n
n-r+1r-1
An r-1；
（b）、假如在我打的n个球当中，有（n-r-1）个球对号入洞而其余的球都为错号入洞(这说
明的是只有（n-r-1）个球对号入洞，从反面说明了有（r+1）个球没有对号入洞即（r+1）个球全部错号入洞，下同)，则打法有C
0
n-r-1
n (Cr+1 A
0
r+1
rr-1r+1r+1120
r+1－Cr+1 Ar+Cr+1 Ar-1－„(-1)Cr+1 A0)种，而
0
这种可能性也需在Cn An－Cn A0的基础上减掉，即Cn An－CAr+Cr+1 A
r
2
nn
0
n
n-r+1r-1n-r-1r+101
A－C(CAn r-1n r+1 r+1－Cr+1
r-1r+1r+10
r-1－„(-1)Cr+1 A0)；
n-r-2
n
（c）、假如在我打的n个球当中,有（n-r-2）个球对号入洞而其余的球都为错号入洞,则打法有C
(Cr+2 A
0
r+2r+1rr+2r+2120
－CA+CA－„(-1)Cr+2 A0)种，而这种可能性也需在r+2r+2 r+1r+2 r
Cn An－C
0
n
n-r+1r-1
An r-1
4
－C－C
r
n-r-1r+1rr-1r+1r+10120
(CA－CA+CA－„(-1)Cr+1 A0)的基础上减掉，即n r+1 r+1r+1 rr+1 r-1
Cn An－C
0
n
n-r+1
n A
r-1
r-1
n-r-1r+1rr-1r+1r+1n-r2r2r+10120012
C-n (Cr+2 A+r+2－Cr+2 Ar+1+Cr+2 n (Cr+1 Ar+1－Cr+1 Ar+Cr+1 Ar-1－„(-1)Cr+1 A0)-
r2r+20
r+2 A0)；
0
Ar－„(-1)+C
依此类推可知，他在打n个球当中有r个不能对号入洞的打法为: Tn=Cn An－C
－C
r
n
n-r+1r-1
n Ar-1
n-r-1r+1rr-1r+1r+1n-r-2r+2r+10120012
n (Cr+1 Ar+1－Cr+1 Ar+Cr+1 Ar-1－„(-1)Cr+1 A0)－Cn (Cr+2 Ar+2－Cr+2 Ar+1+Cr+2
r2r+2n1n-12n-2nn0000
r+2 A0)－„－Cn (Cn An－CnAn-1+Cn An-2－„(-1)Cn A0)。
Ar－„(-1)+C
其实，方法一就是从方法二里剔除出来的公式，方法二的最后的结果就是等于方法一的公式，而当r=n时，Tn =Cn An －Cn A
0
n1n-1
n-1+Cn A
2
n-2nn0
－„(-1)Cn A0 则是其的特殊情况，只是为n-2
了简便下面的证明而先证明其的特殊情况。
因为n和r是两个未知数，所以上述的分析只能通过推想来进行说明。
第三章 实例验证
为了证明上述公式的正确性，以下用有限的数据对第三和第四种情况来进行举例说明（第一、二种就无需说明了），先从能用手指都能算出来的例子开始进行剖析。
例如一张桌子上有3只杯子，并按顺序标上阿拉伯数字1、2、3，同时也有3个乒乓球，也标上了序号为1、2、3；假设3个乒乓球全错位放到3只杯子里，当3号球放进1号杯子中，那么1号和2号球就只能分别放进2号和3号杯子中，这是第1种做法；同理，将3号球放进2号杯子中，那么1号和2号球就只能分别放进2号和1号杯子中，这是第2种做法，所以3个乒乓球全错位放到3只杯子里，一共有2种做法；如果用公式来分析的话，那么就用第三种情况Tn =Cn An－Cn AA
0
n1
n-12n-2nn0
n-1+Cn An-2－„(-1)Cn A0
这条公式进行解答，T3= C3 A3-C3 A
0
31
3-123-1+C3
3-233-3
-CA3-23 3-3 =1*3*2*1-3*2*1+3*1-1=2（种）做法；假设
3个乒乓球中有2个是错位放入杯
中，当3号球放进3号杯子中，那么1号和2号球就只能分别放进1号和2号杯子中，这是第1种做法；当2号球放进2号杯子中，那么1号和3号球就只能分别放进1号和3号杯子中，这是第2种做法；当1号球放进1号杯子中，那么2号和3号球就只能分别放进2号和3号杯子中，这是第3种做法，所以假设3个乒乓球中有2个是错位放入杯里就一共3种做法；如果用公式来分析的话，那么就用第四种情况Tn = C
n-r
n
(C0r Ar －Cr A
r1
r-12r-2rr0
r-1+Cr Ar-2－„(-1)Cr A0
)
5
（第四种的方法二就不再进行验证了）这条公式进行解答，T3 = C
A
2-2
2-2)=3*（1*2*1-2*1+1）=3（种）做法。
3-23
(C02 A2 －C2 A
212-1
2-1+C
22
假如将杯中增加到10只，乒乓球也增加到10只，杯子和乒乓球同时标上序号为1-10；假设10个乒乓球全错位放进10个杯子中，利用递推公式t(n)=(n-1) {t(n-1)+t(n-2)}可以求的t(4)=9，t(5)=44，t(6)=265，t(7)=1854，t(8)=14833，t(9)=133496，t(10)=1334961，所以共有1334961种做法，那么用Tn =CT10=C
0
0
n An－C
n1
n A
n-1
n-1+C
2
n A
n-2
n-2－„(-1)C
nn
n A0这条公式进行解答，
0
10110-1210-21010-10
10 A10－C10 A10-1+C10 A10-2－„+C10 A10-10=10*9*8*„*1-10*9*8„
*1+（10*9/2）*8*7„*1-„+1=1334961（种）做法；假设10个乒乓球中有5个是错位放入杯中，同样用递推法t(r,n)= CCA
n-r
n {(r-1)[t(r-1)+t(r-2)]}可以计算出共有
11088种做法，那么用Tn =
10-551n-rr1r-12r-2rr000(CA－CA+CA－„(-1)CA)这条公式进行解答，T= C(CA－C10105 55 nr rn r-1r r-2r 0
5-125-25505-1+C5 A5-2－„(-1)C5A0
)= (10*9*8*7*6)/(5*4*3*2*1)*{1*5*4*3*2*1-5*4*3*2*1+
(5*4/2)*3*2*1-(5*4*3/2*1)*2*1+[5*4*3*2/(4*3*2*1)]-1}=252*44=11088(种) 做法。
以上的两个例子都是通过实例进行长期实验得出的结果与公式算出的结果完全相同，由此可以得出一个结论：公式在四种情况下分别是正确的。
2005年03月15日曾颂编写 2008年04月05日星期六录
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