中考数学真题汇编:二次函数
一、选择题
1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（ ）
A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数
（ ）
和
( 是常数,且
)在同一平面直角坐标系的图象可能是
2
A. B. C.
D.
【答案】B 3.关于二次函数
A. 图像与 轴的交点坐标为
，下列说法正确的是（ ）
B. 图像
的对称轴在 轴的右侧 C. 当 【答案】D 4.二次函数
的图像如图所示，下列结论正确是( )
时， 的值随 值的增大而减小 D.
的最小值为-3
A.
【答案】C 5.若抛物线 称轴为直线 A.
B.
有两个不相等的实数根
C. D.
与 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对
，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) B.
C. D. 【答案】B
6.若抛物线y=x+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（ ） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1） 【答案】B
7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（ ）
A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面
C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D
8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（ ）
2
2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B 9.如图是二次函数 和
之间，对称轴是
（ ， ， 是常数， .对于下列说法：①
时，
；②
）图象的一部分，与 轴的交点 在点
；③
；④
（ 为实数）；⑤当 ，其中正确的是（ ）
A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A
10.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为-1，则一次函数y=
（a-b）x+b的图象大致是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
11.四位同学在研究函数 是方程
（b，c是常数）时，甲发现当
时，函数有最小值；乙发现 时，
．已知这四位同学中
的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当
只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B
12.如图所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A. （
B.
C.
D. （
【答案】B 二、填空题 13.已知二次函数 【答案】增大
14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。
，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）
【答案】4 三、解答题
-4
15.学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1 ， P2 ， P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形。若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式。请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式。
①P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）。 ②P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）。 【答案】①∵P1（4，0），P2（0，0），4-0=4＞0， ∴绘制线段P1P2 ， P1P2=4.
②∵P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6），0-0=0， ∴绘制抛物线，
设y=ax（x-4），把点（6，6）坐标代入得a= ， ∴
，即
。
（a≠0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左
16.如图，抛物线
边），点C ， D在抛物线上．设A（t ， 0），当t=2时，AD=4．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ， H ， 且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 【答案】（1）设抛物线的函数表达式为y=ax（x-10） ∵当t=2时，AD=4 ∴点D的坐标是（2，4） ∴4=a×2×（2-10），解得a= ∴抛物线的函数表达式为
（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t ∴AB=10-2t 当x=t时，AD=
∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）= ∵
<0
∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值是多少 （3）如图，
当t=2时，点A，B，C，D的坐标分别为（2，0），（8，0），（8，4），（2，4） ∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2）
当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分。 当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分。 ∴当G，H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形面积平分。 当点G，H分别落在线段AB，DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积。 ∵AB∥CD
∴线段OD平移后得到线段GH
∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P 在△OBD中，PQ是中位线 ∴PQ= OB=4
所以，抛物线向右平移的距离是4个单位。
17.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【答案】（1）解：当y=15时， 15=﹣5x+20x， 解得，x1=1，x2=3，
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s （2）解：当y=0时， 0═﹣5x2+20x， 解得，x3=0，x2=4， ∵4﹣0=4，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s （3）解：y=﹣5x2+20x=﹣5（x﹣2）2+20， ∴当x=2时，y取得最大值，此时，y=20，
答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m 18.在平面直角坐标系中，点
，点
.已知抛物线
（ 是常数），定点为 .
2
2
（1）当抛物线经过点 时，求定点 的坐标；
（2）若点 在 轴下方，当
（3）无论 取何值，该抛物线都经过定点 【答案】（1）解：∵抛物线 ∴
，解得
. . ，
.
时，求抛物线的解析式； .当 经过点
，
时，求抛物线的解析式.
∴抛物线的解析式为 ∵
∴顶点 的坐标为 （2）解：如图
1，
抛物线 由点 过点 作 可知 当 ∴
的顶点 的坐标为
在 轴正半轴上，点 在 轴下方，
轴于点 ，则 ，即
，解得
，
.
，知点 在第四象限. .
.
时，点 不在第四象限，舍去.
.
.
∴抛物线解析式为 （3）解： 如图
2：
由 可知，
当 时，无论 取何值， 都等于4. 得点
的坐标为
. 过点 作
，交射线
于点 ，分别过点 ，
作 轴的垂线，垂足分别为 ，.
∵ ， ，
∴ .∴
.
∵ ，
∴ . ∴ . ∴
，
. 可得点 的坐标为 或
.
当点 的坐标为 时，可得直线 的解析式为 .
∵点 在直线
上， ∴ .解得
，
. 当
时，点 与点
重合，不符合题意，∴
.
当点 的坐标为 时，
可得直线 的解析式为
.
∵点 在直线
上，
∴
.解得
（舍），
.
∴
.
，则
综上， 或 .
或
的图象经过点
.
，与 轴分别交于点 ，点
.点 是
故抛物线解析式为 19.如图，已知二次函数 直线
上方的抛物线上一动点.
（1）求二次函数 （2）连接
，
，并把
的表达式；
沿 轴翻折，得到四边形
.若四边形
为菱形，请求出
此时点 的坐标；
（3）当点 运动到什么位置时，四边形 面积.
【答案】（1）解：将点B和点C的坐标代入 得
，解得
，
． ．
,
的面积最大？求出此时 点的坐标和四边形
的最大
∴ 该二次函数的表达式为
（2）解：若四边形POP′C是菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上； 如图，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，
∵ C（0，3）， ∴ E（0， ）,
∴ 点P的纵坐标等于 ． ∴
,
解得 ， （不合题意，舍去）， ， ）．
∴ 点P的坐标为（
（3）解：过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，
设P（m， 则
），设直线BC的表达式为
, 解得
. ． ），
，
∴直线BC的表达式为 ∴Q点的坐标为（m， ∴ 当 解得
∴ AO=1，AB=4，
∴ S四边形ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ = = 当
. ， ，
时，四边形ABPC的面积最大．
，四边形ABPC的面积的最大值为 是矩形，点 的坐标为
．
.点 从点 出发，沿
以
此时P点的坐标为 20.如图1，四边形
，点 的坐标为
每秒1个单位长度的速度向点 运动，同时点 从点 出发，沿 以每秒2个单位长度的速度向点 运
动，当点 与点 重合时运动停止.设运动时间为 秒.
（1）当 （2）当 （3）当
时，线段 与 时，抛物线
的中点坐标为________； 相似时，求 的值；
经过 、 两点，与 轴交于点
，抛物线的顶点为 ，如图2
所示.问该抛物线上是否存在点 ，使 若不存在，说明理由. 【答案】（1）（ ，2）
（2）解：如图1，∵四边形OABC是矩形， ∴∠B=∠PAQ=90°
∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况： ①当△PAQ∽△QBC时， ∴
，
，
，若存在，求出所有满足条件的 点坐标；
4t2-15t+9=0， （t-3）（t- ）=0， t1=3（舍），t2= ， ②当△PAQ∽△CBQ时， ∴
t2-9t+9=0， t=
，
＞7， ，
，
∵0≤t≤6， ∴x=
不符合题意，舍去，
综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是 或 （3）解：当t=1时，P（1，0），Q（3，2）， 把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y=x+bx+c中得：
2
，解得：
，
∴抛物线：y=x2
-3x+2=（x- ）2
- ， ∴顶点k（ ，- ）， ∵Q（3，2），M（0，2）， ∴MQ∥x轴，
作抛物线对称轴，交MQ于E， ∴KM=KQ，KE⊥MQ， ∴∠MKE=∠QKE= ∠MKQ，
如图2，∠MQD= ∠MKQ=∠QKE，设DQ交y轴于H，
∵∠HMQ=∠QEK=90°， ∴△KEQ∽△QMH， ∴
，
∴ ，
∴MH=2， ∴H（0，4），
易得HQ的解析式为：y=- x+4，
则 ，
x2-3x+2=- x+4，
解得：x1=3（舍），x2=- ， ∴D（- ，
）；
同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM= ∠MKQ=∠QKE，
由对称性得：H（0，0）， 易得OQ的解析式：y= x，
则 ，
x-3x+2= x，
解得：x1=3（舍），x2= ， ∴D（ ， ）；
综上所述，点D的坐标为：D（- ， 21.平面直角坐标系
中，二次函数
）或（ ， ）
的图象与 轴有两个交点.
2
（1）当 （2）过点
时，求二次函数的图象与 轴交点的坐标；
作直线
轴，二次函数的图象的顶点 在直线 与 轴之间(不包含点 在直线
上)，求 的范围；
（3）在(2)的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线 相交于点 ，求 【答案】（1）解：当m=-2时，y=x2+4x+2当y=0时，则x2+4x+2=0 解之：x1=
，x2=
的面积最大时 的值.
（2）解：∵ =（x-m）2+2m+2∴顶点坐标为（m，2m+2）
∵此抛物线的开口向上，且与x轴有两个交点，二次函数图像的顶点在直线l与x轴之间（不包括点A在直线l上） ∴
解之：m＜-1，m＞-3 即-3＜m＜-1
（3）解：根据(2)的条件可知-3＜m＜-1根据题意可知点B（m，m-1）,A（m，2m+2） ∴AB=2m+2-m+1=m+3 S△ABO=
∴ m=−时，△ABO的面积最大。 22.如图，已知抛物线
轴，交抛物线于点 .
与 轴交于点
和点
，交 轴于点 .过点 作
（1）求抛物线的解析式； （2）若直线 过点
作
与线段
轴于点 ，求矩形
将四边形
、
分别交于 、
两点，过 点作
轴于点 ，
的最大面积；
分成左、右两个部分，面积分别为 、
，且
，求
（3）若直线 的值.
【答案】（1）解：根据题意得：9a-3b-3=0 a+b-3=0 解之：a=1，b=2
∴抛物线的解析式为y-=x2+2x-3
（2）解：解：∵x=0时，y=-3∴点C的坐标为（0，-3） ∵CD∥X轴， ∴点D（-2，-3）
∵A（-3,0），B（1,0） ∴yAD=-3x-9，yBD=x-1 ∵直线 与线段
、
分别交于 、
两点
∴
∴
∴
∴矩形的最大面积为3
（3）解：AB=1-（-3）=4，CD=0-（-2）=2,OC=3 ∵CD∥x轴 ∴S四边形ABCD=
∵
∴S1=4，S2=5
∵若直线y=kx+1经过点D时，点D（-2，-3） -2k+1=-3 解之：k=2 ∴y=2x+1 当y=0时，x=
∴点M的坐标为
∴
∴
设直线y=kx+1与CD、AO分别交于点N、S
∴
∴ 解之：k=
23.如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．
（1）当x=2时，求⊙P的半径；
（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；
（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到________的距离等于到________的距离的所有点的集合．
（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小． 【答案】（1）解：由x=2，得到P（2，y）， 连接AP，PB，
∵圆P与x轴相切， ∴PB⊥x轴，即PB=y， 由AP=PB，得到 解得：y= ， 则圆P的半径为
（2）解：同（1），由AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2 ， 整理得：y= （x﹣1）2+1，即图象为开口向上的抛物线， 画出函数图象，如图②所示；
=y，
（3）点A；x轴
（4）解：连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F， 设PE=a，则有EF=a+1，ED= ∴D坐标为（1+
，a+1），
，
代入抛物线解析式得：a+1= （1﹣a2）+1， 解得：a=﹣2+
或a=﹣2﹣
（舍去），即PE=﹣2+
，
在Rt△PED中，PE= 则cos∠APD=
=
﹣2，PD=1， ﹣2
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