务ｌ 匐 化 基于最小二乘法的平面抛物线轮廓度的误差评定 Ｅｖａｌｕａｔｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｏｆ ｔｈｅｆｏｒｍ ｅｒｒｏｒｏｆ ｐａｒａｂｏｌｉｃ ｐｒｏｆｉｌｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｉｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓ ｍｅｔｈｏｄ 王海洋，雷贤卿，崔静伟 ＶｖＡＮＧ Ｈａｌ—ｙａｎｇ，ＬＥＩ Ｘｉａｎ—ｑｉｎｇ，ＣＵＩ Ｊｉｎｇ—ｗｅｉ 摘（河南科技大学机电工程学院，洛阳４７１００３） 要：本文给出了一种基于最小二乘原理的抛物线误差评定方法。根据抛物线本身的几何特性和限制 条件，计算出各个测量点到拟合出的最小二乘抛物线的法向最短距离从而对抛物线轮廓度进 行误差评定，计算简便且无需进行坐标转换。给出了其数学模型和具体的评定算法。 关键词：误差评定；抛物线；法相距离；最小二乘法；限制条件。 中圈分类号：ＴＨ１ ６１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１ ００９－０１ ３４（２０１ ３）ｏ５（上）－００２３－０３ Ｄｏｉ：１０．３９６９／Ｊ．Ｉｓｓｎ．１ ００９－０１ ３４．２０１ ３．０５（Ｅ）．０７ ０引言 在工程应用当中，广泛涉及到平面线轮廓如 渐开线、椭圆、抛物线、摆线和萁舌线的轮廓度 测量、识别和误差评 ”。如在模式识别和计算机 比较大，拟合出来的误差曲线理想程度较差［２】。这 些拟合方法对于抛物线误差的评定都有一定的效 果和借鉴作用。 本文通过平面任意位置的抛物线方程，抛物 视觉中，图形（图像）数据的模型拟合和匹配是 一线法线方程和抛物线本身的性质，利用最小二乘 原理和约束条件实现对平面任意位置抛物线轮廓 度误差的评定。 项基本工作。ＣＡＤ中在理论和实际应用中经常 遇到二次曲线的拟合问题ｌ 。在径流式叶轮的设计 和制造过程中，抛物线型叶片以其良好的气动性 能、强度及工艺性被普遍采用口】。在汽车制造业的 深孔加工中抛物线型麻花钻以其排屑流畅、刚性 好、使用寿命长代替了传统的麻花 。在数控系 统加工零件过程中，抛物线轮廓的插补拟合算法 的研究对提高拥有抛物线轮廓零件的精度有着很 高的实用价值 】。因此研究抛物线轮廓度误差评价 方法对保证抛物线型叶片及其他抛物线型零件的 加工质量和精度有着重要的意义。 １最ｄｘ－乘抛物线拟合 一平面任意位置抛物线的表达式Ｆ（ｘ， ）用平面 般二次曲线方程表示较为合适。设平面抛物线 Ｆ（ｘ，Ｊ，）＝Ａｘ ＋Ｂｘｙ＋Ｃ ＋Ｄｘ＋置 ＋Ｆ （１） 方程为： 设 （ ， ）（ｆ＝１，２…３．忉为抛物线上的Ｎ个测量 点，根据最小二乘原理拟合的目标函数为： Ⅳ Ｆ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ）＝∑（ａｘ ＋Ｂｘｙ ＋ ＋观＋ ，＋Ｆ） （２） ｉ＝ｌ 关于抛物线的轮廓度误差的评定，国家标准 尚未给出明确的定义和特定的评定算法求解抛物 线轮廓度误差，近年来国内外学者专门对抛物线 的研究较少，比较有代表性的成果分为几何距离 拟合和代数距离拟合；几何距离拟合由Ｈ．Ｓｐｉｉｔｈ在 为使得Ｆ为最小，使： ａＡ ８Ｂ ＝一＝ａＣ ａ一＝Ｄ 一＝ａＥ ８篆＝一＝Ｆ ｏＩ－ Ｉ（、 ３１）● ＝ ＝ ＝ ＝ ＝由此可得矩阵方程： ， Ｈ Ｗ ｗ Ｈ Ｍ １９９６提出的用正交距离最小二乘法拟合抛物线 和 Ｓｕｎｇ Ｊｏｏｎ Ａｈｎ在Ｈ．Ｓｐａｔｈ的基础上对椭圆、抛物线 ∑ Ｚｘ， Ｍ∑ Ｙｔ ∑ Ｈ Ｎ “ ∑ Ｎ ∑ Ｎ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ：。等二次曲线用正交距离的最小二乘法进行拟合 ”； 在代数距离拟合中，刘海香对二次曲线的最小二 ∑‘ ＹＪ ∑ｘｌＹｔ Ｅｙ，‘ ∑ Ｅｘ， ∑ Ｙｔ ∑ ∑ Ｉ－Ｉ （４） ∑ Ｍ ∑ 乘法拟合进行了阐述和比较，指出在二次曲线拟 合中抛物型的曲线较难拟合，抛物型曲线的曲率 ∑ Ｉ＝１ ∑ ｌｍｌ Ｚｙ，’ ∑ Ｉ－Ｉ Ｚｙ， Ｚｙ， ｌ ｔ－Ｉ ∑ ∑ ∑ ∑ Ｚｙ， Ｎ 收稿日翔：２０１３－０１－２６ 基盒项目：国家自然科学基金（５０８７５０７６）；河南省基础与前沿技术研究计划项目（１２２３００４１３２０９，１２２３００４１０１１４） 作者简介：王海洋（１９８７一），男，硕士研究生，研究方向为精密测试技术。 第３５卷第５期２０１３－０５（上） 【２３】 解方程（４）会得出０解，为了得出Ａ、Ｂ、 Ｃ、Ｄ、Ｅ和Ｆ的值，需要对方程加限制条件。根据 一由方程组（６）可以得到用最小二乘法拟合出 的抛物线的四个参数。 般二次曲线的平面解析几何知识９二元二次方 程为抛物线时，令Ｈ＝Ａ＋Ｃ，则Ｈ都是在坐标轴的 平移和旋转变换之下的变量 】，在这里我们令 Ａ＋Ｃ＝Ｉ带入到方程（４）中，便可以解出Ａ、Ｂ、 ２计算各测量点到最ｄｘ－－乘抛物线 的法向距离 Ｃ、Ｄ、Ｅ和Ｆ的值，方程（１）中的六个系数与抛物线 的位置参数（０， ，Ｙ ）及形状参数ｐ存在以下关系 】： ＩＡ＝ｓｉｎ ０ ｌＢ＝－ｃ—ｓｉｎＯｃｏｓ０ ：ｃ。ｓｚ １Ｄ＝一 ｓｉｎ ＋ ｓｉｎＯｃｏｓＯ－ｐｃｏｓＯ ｌＥ＝ ｓｉｎ０ｃｏｓ０一 ｃｏｓ ０－ｐｃｏｓＯ （５） 【Ｆ＝（ｘ￣ｓｉｎＯ—Ｙｃｃｏｓ ） ＋２ｐ（ ∞ｓ ＋ ｓｉｎ ） ［ｌ每／仰＋２ 一ＣＤ＋／Ｃ２ ＢＥ／４ ＣＥ／２ Ｂ＋肚一＋ …Ｃ ｆＤ／２ ＝ Ｉ。 —ｌ＝（ １一 Ａ ＋， ｝Ｃ］ －图１平面抛物线及测量点与最小二乘抛物线关系图 Ｄ：—ＡＥ／２ －ＢＤ（—————：：：：／４） ：：２－１计算法向距离 如图１所示，我们定义点Ｍｉ（Ｘｉ， ）为过抛物线 外一点 （ｘ ，Ｙ ）的抛物线法线与拟合抛物线的交 ｆ ＋ｃ）ＪＡ ＋ ／４ ｅ＝ （ 一Ｂ ，／２） （６） 点，由于交点ｇｉ（Ｘｉ， ）既在法线上又在最小二乘 表１ 测量数据（ｍｍ） １＇２４１ 第３５卷第５期２０１３－０５（上） 务ｌ 訇 化 抛物线隅 上，则点Ｍｉ（Ｘｉ， ）满足方程组（７）： ＼ 一ｙｔ）ｔ２似 ＋Ｂ 七Ｄ）－ ｔ—ｘｔ） ｜＋２ｃｒ，＋Ｅ） ０ 所以在一组标准抛物线中加入测量误差 ＝１ ＋丑 ＋ｃ ＋ ＋居 ＋Ｆ＝０ （７） ±０．０５ｍ的数据进行仿真验证，测量数据处理 结果如表２所示。 求解非线性方程组（７）求出各个满足条件的 （ ， ）（ｉ－１，２，３…Ⅳ）的值并带入式（８）计算各个 测量点到抛物线的法向距离ｄ（ｆ）。 ２．２判断测量点 位于最小二乘抛物线的内外侧 通过将测量点到抛物线的代数距离的正负来 判断测量点位于拟合曲线的内测还是外侧。 将测量点 （ｘ ，Ｙ ）的值带入到拟合曲线 Ｆ（ｘ， ）＝Ａｘ ＋Ｂｘｙ＋ｃ ＋Ｄ ＋点 ＋Ｆ中。 当Ｆ（ｘ， ）＞０，则测量点 （ｘ ，Ｙ ）在抛物线的外 侧；Ｆ（ｘ，Ｙ）＜０，则测量点 （ｘｉ，Ｙ ）在抛物线的内 侧。 抛物线轮廓度误差是指实际被测轮廓线对其 理想轮廓线的变动量。则每一个测量点 （ ，Ｙ ）（ｊ＝１，２，３…Ⅳ）到拟合最小二乘抛物线的法 相距离为： ｄ（ｉ）＝±√（ 一 ） ＋（ 一 ） ｆ８１ 当测量点位于最小二乘抛物线外侧时， （ｆ）取 正值；当测量点位于最小二乘抛物线内侧时，ｄ（Ｏ 取负值。 ３抛物线的误差 抛物线轮廓度公差带是与理想抛物线等距的 两个抛物线等距线之间的区域。也即理想抛物线 外侧测量点的最小法向距离中的最大值与抛物 线内侧测量点的最小法向距离的最小值之间的距 离： Ａ＝ｍ ｐ（ｆ）｝一ｍｉｎ｛ｄ（ｉ）） ４实例验证 为了检验算法的正确性和可靠性，用计算机 模拟发生具有不同几何位置的抛物线数据，用本 算法对其进行形状误差评定，本文采用ｍａｔｌａｂ软件 编程计算，由于没有已有的参考数据进行比较， 表２ 数据处理结果 误差评定方法 误差Ａ／ｍｍ 理想误差 ０．１ 本文方法 ０．１Ｏ８ ５结论 本文结合最小二乘原理，通过利用抛物线方 程系数限制条件得到平面任意位置抛物线的拟合 方程，并通过抛物线方程及抛物线法线方程特 点，找到测量点沿法线方向到最小二乘抛物线的 距离，实现对平面任意位置抛物线的最小二乘误 差评定；本文方法适用于平面二次曲线并且无需 进行坐标变换。 参考文献： 【１】李秀明，石朝耀．基于方程的椭圆轮廓度的评定［Ｊ】．北京 工业大学学报，２００９，（３５）：１３０３－１３０７． ［２刘海香．２】平面上散乱数据点的二次曲线拟合【Ｊ】．计算机辅 助设计与图形学学报，２００４，１６（１１）：１５９４．１５９８． 【３】龚本正．径流式叶轮的设计方法［Ｊ】．华中工学院学 报，１９７９：２２６－２４５． ［４】张淑荣．抛物线麻花钻的设计原理【Ｊ】．工具技 术，２０１２，（５）：８０・８１． 【５】刘海涛．基于Ｍａｆｌａｂ的抛物线等间距拟合法的误差分析 【Ｊ】．机械设计与制造，２０１０，４：２２１－２２２． 【６】Ｈ．Ｓｐａｔｈ．Ｌｅａｓｔ－ｓｑｕａｒｅｓ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｄｉｓｔａｎｃｅｓ ｆｉｔｔｉｎｇ ｏｆ ｐａｒａｂｏｌａｓ，Ｃｏｍｐｕｔｅｒ．Ｓｔａｔｅ．１９９６：２６１—２６９． ［７】Ｓｕｎｇ Ｊｏｏｎ Ａｈｎ．Ｌｅａｓｔ－ｓｑｕａｒｅｓ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｄｉｓｔａｎｃｅｓ ｉｆｔｉｔｎｇ ｏｆ ｃｉｒｃｌｅ，ｓｐｈｅｒｅ，ｅｌｌｉｐｓｅ，ｈｙｐｅｒｂｏｌａ，ａｎｄ ｐａｒａｂｏｌａ，Ｐａｔｔｅｒｎ Ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ，２００１，３４：２２８３—２３０３． 【８】王宇华．椭圆轮廓的评定方法及其计算机模拟［Ｊ］．佛山大 学学报，１９９２，１０（６）：２７－３１． 【９】丘维声解析几何ＩＭ］．北京：北京大学出版社，１９９６：１６１－１６８． 第３５卷第５期２０１３—０５（上） Ｉ２５１