【单元测验】第19章 四边形难题
一、选择题 1．（2012•德阳）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP积与△ABC面积之比为（ ） A． B．
BE（点P、E在直线AB的同侧），如果BD=AB，那么△PBC的面
C．
D．
2．（2011•嘉兴）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ） A． 48cm B． 36cm C． 24cm D． 18cm 3．（2010•绍兴）如图，已知△ABC，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连接AD，CD，则有（ ） A． ∠ ADC与∠BAD相等 B． ∠ADC与∠BAD互补 C． ∠ADC与∠ABC互补 D． ∠ADC与∠ABC互余 4．（2010•綦江县）如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（ ） ①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边△；④CG⊥AE．
①②③④ A． 只 有①② B． 只有①②③ C． 只有③④ D．
5．（2010•台湾）如图梯形ABCD的两底长为AD=6，BC=10，中线为EF，且∠B=90°，若P为AB上的一点，且PE将梯形ABCD分成面积相同的两区域，则△EFP与梯形ABCD的面积比为（ ） A． 1 ：6 B． 1：10 C． 1：12 D． 1：16
6．（2010•芜湖）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AD=4，BC=8，则AE+EF等于（ ） A． 9 B． 10 C． 11 D． 12 7．（2010•重庆）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是（ ）
①②⑤ ③④⑤ ①③⑤ A． ① ③④ B． C． D．
8．（2010•泰安）如图，E是▱ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（ ） A． A D=CF B． BF=CF C． AF=CD D． DE=EF 9．（2010•荆门）给出以下判断：（1）线段的中点是线段的重心（2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心（3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点（4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点 那么以上判断中正确的有（ ） A． 一 个 B． 两个 C． 三个 D． 四个 10．（2009•绵阳）如图，四边形ABCD是矩形，AB：AD=4：3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE：AC=（ ） A． 1 ：3 B． 3：8 C． 8：27 D． 7：25
11．（2010•锦州）如图所示，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（ ） A． 1 cm2 B． C． D． 1.5cm2 2cm2 3cm2 12．（2009•遂宁）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AD=DC=4，AB=1，F为AD的中点，则点F到BC的距离是（ ） A． 2 B． 4 C． 8 D． 1 13．（2009•南宁）如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A． 1 0cm2 B． C． D． 20cm2 40cm2 80cm2 14．（2009•衢州）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（ ） A． 9 .5 B． 10.5 C． 11 D． 15.5 15．（2009•重庆）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ）
①④⑤ ①③④ ③④⑤ A． ① ②③ B． C． D．
2
16．（2009•绥化）在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED．正确的是（ ）
③④ ①②④ ②③④ A． ② ③ B． C． D．
17．（2009•河池）已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（ ） A． 3 cm2 B．4 cm2 C． cm2 D．2 cm2 二、填空题（除非特别说明，请填准确值）
18．（2009•营口）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=25cm，BC=24cm．将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么梯形ABCD的面积为 _________ cm2． 19．（2010•威海）从边长为a的大正方形纸板中间挖去一个边长为b的小正方形后，将其截成四个相同的等腰梯形﹙如图①﹚，可以拼成一个平行四边形﹙如图②﹚．
现有一平行四边形纸片ABCD﹙如图③﹚，已知∠A=45°，AB=6，AD=4．若将该纸片按图②方式截成四个相同的等腰梯形，然后按图①方式拼图，则得到的大正方形的面积为 _________ ． 20．（2009•漳州）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的边长是 _________ ．
21．（2010•仙桃天门潜江江汉）如图，已知矩形ABCD，AB在y轴上，AB=2，BC=3，点A的坐标为（0，1），在AD边上有一点E（2，1），过点E的直线与BC交于点F．若EF平分矩形ABCD的面积，则直线EF的解析式为 _________ ． 22．（2010•桂林）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是 _________ ． 23．（2009•遵义）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，MN∥AB交AD于M，交BC于N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是 _________ ．
24．（2010•鞍山）如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位x轴、y轴上，点B的坐标为B（
，5），D是
AB边上的一点．将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是 _________ ．
3
25．（2009•烟台）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 _________ cm． 26．（2009•深圳）如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为 _________ ．
26．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究： （1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？ （3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？
27.在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．
（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为 OE=OF ；
（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明； （3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为 OE=OF ；位置关系为 OE⊥OF ．
28．如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM=DN．点E为MN的中点，DE的延长线与AC相交于点F．试猜想线段DF与线段AC的关系，并证你的猜想．
4
【单元测验】第19章 四边形
参考答案与试题解析
一、选择题（共20小题） 1．（2012•德阳）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP积与△ABC面积之比为（ ） A． B．
BE（点P、E在直线AB的同侧），如果BD=AB，那么△PBC的面
C．
D．
考点： 平行四边形的判定与性质．
分析： 首先过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，易得四边形APEB，BFPH是平行四边形，又由四边形
BDEF是平行四边形，设BD=a，则AB=4a，可求得BH=PF=3a，又由S△HBC=S△PBC，S△HBC：S△ABC=BH：AB，即可求得△PBC的面积与△ABC面积之比．
解答： 解：过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，
∵APBE，
∴四边形APEB是平行四边形， ∴PE∥AB，PE=AB，
∵四边形BDEF是平行四边形， ∴EF∥BD，EF=BD， 即EF∥AB，
∴P，E，F共线， 设BD=a， ∵BD=AB，
∴PE=AB=4a，
则PF=PE﹣EF=3a， ∵PH∥BC，
∴S△HBC=S△PBC， ∵PF∥AB，
∴四边形BFPH是平行四边形， ∴BH=PF=3a，
∵S△HBC：S△ABC=BH：AB=3a：4a=3：4， ∴S△PBC：S△ABC=3：4． 故选D．
点评： 此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，
注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．
2．（2011•嘉兴）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ） A． 4 8cm B． 36cm C． 24cm D． 18cm
5
考点： 菱形的性质；平行四边形的性质． 专题： 计算题．
分析： 根据①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，可求出⑤的面积，从而
可求出菱形的面积，根据菱形的性质可求出边长，进而可求出①②③④四个平行四边形周长的总和．
解答：
解：由题意得：S⑤=S四边形ABCD﹣（S①+S②+S③+S④）=4cm2，
∴S菱形EFGH=14+4=18cm2， 又∵∠F=30°，
设菱形的边长为x，则菱形的高为sin30°x=， 根据菱形的面积公式得：x•=18，
解得：x=6，
∴菱形的边长为6cm，
而①②③④四个平行四边形周长的总和=2（AE+AH+HD+DG+GC+CF+FB+BE）=2（EF+FG+GH+HE）=48cm． 故选A．
点评： 本题考查了菱形的性质及平行四边形的知识，难度较大，关键是求出菱形的面积，解答本题需要用到平行
四边形的对角线平分平行四边形的面积．
3．（2010•绍兴）如图，已知△ABC，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连接AD，CD，则有（ ） A． ∠ ADC与∠BAD相等 B． ∠ADC与∠BAD互补 C． ∠ADC与∠ABC互补 D． ∠ADC与∠ABC互余
考点： 平行四边形的判定．
分析： 首先根据已知条件可以证明四边形ABCD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可作出判定． 解答： 解：如图，依题意得AD=BC、CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠BAD=180°，∠ADC=∠ABC， ∴B正确． 故选B．
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，先根据已知条件判定平行四边形是解题的关键． 4．（2010•綦江县）如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（ ） ①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边△；④CG⊥AE．
①②③④ A． 只 有①② B． 只有①②③ C． 只有③④ D．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定． 分析： 根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．
6
解答： 解：∵△ABE、△ADF是等边三角形
∴FD=AD，BE=AB ∵AD=BC，AB=DC ∴FD=BC，BE=DC
∵∠B=∠D，∠FDA=∠ABE ∴∠CDF=∠EBC
∴△CDF≌△EBC，故①正确；
∵∠FAE=∠FAD+∠EAB+∠BAD=60°+60°+（180°﹣∠CDA）=300°﹣∠CDA， ∠FDC=360°﹣∠FDA﹣∠ADC=300°﹣∠CDA， ∴∠CDF=∠EAF，故②正确；
同理可得：∠CBE=∠EAF=∠CDF， ∵BC=AD=AF，BE=AE， ∴△EAF≌△EBC， ∴∠AEF=∠BEC，
∵∠AEF+∠FEB=∠BEC+∠FEB=∠AEB=60°， ∴∠FEC=60°， ∵CF=CE，
∴△ECF是等边三角形，故③正确； 在等边三角形ABE中，
∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段
∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG=30°，∠ABC=150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误． 故选B．
点评： 本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考查学
生综合运用数学知识的能力．
5．（2010•台湾）如图梯形ABCD的两底长为AD=6，BC=10，中线为EF，且∠B=90°，若P为AB上的一点，且PE将梯形ABCD分成面积相同的两区域，则△EFP与梯形ABCD的面积比为（ ） A． 1 ：6 B． 1：10 C． 1：12 D． 1：16
考点： 梯形中位线定理；梯形．
分析： 先根据梯形的中位线定理求出EF的长，再求出梯形ABCD及梯形ADEF的面积，即可求出△EFP的面积
进而求出△EFP与梯形ABCD的面积比．
解答： 解：∵梯形ABCD的两底长为AD=6，BC=10，
∴EF=（AD+BC）=×（6+10）=8，
∴S梯形ABCD=（AD+BC）×AB=×（6+10）×AB=8AB． S梯形AFED=（AD+EF）×AB=（6+8）×AB=AB， ∴S△EFP=S梯形ABCD﹣S梯形AFED=4AB﹣AB=AB， ∴S△EFP：S梯形ABCD=：8=1：16．
故选D．
点评： 本题考查学生是否能够运用梯形的中位线定理把实际问题进行转换求解．
7
6．（2010•芜湖）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AD=4，BC=8，则AE+EF等于（ ） A． 9 B． 10 C． 11 D． 12
考点： 等腰梯形的性质．
分析： 作辅助线：延长BC至G，使DG∥AC，由AD∥BC，可知四边形ADGC为平行四边形，所以DG=AC，
而等腰梯形中两对角线相等，所以DG=BD，而DF⊥BG，则△AEC为等腰直角三角形，从而得到FC=FG﹣AD=2，则EF=BC﹣2FC=8﹣2FC=4，所以AE+EF=6+4=10．
解答： 解：过D点作AC的平行线，交BC的延长线于G点，
∵AD∥BC，
∴四边形ADGC为平行四边形， ∴DG=AC， ∵AC⊥BD， ∴DG⊥BD，
∵等腰梯形ABCD， ∴AC=BD， ∴DG=BD，
∴△DBG为等腰直角三角形， ∴∠G=∠ACE=45°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴AE=CE=EF+=6，
∴FC=6﹣4=2， ∵EF=AD=4，
∴AE+EF=6+4=10． 故选B．
点评： 此题的关键是作辅助线，然后利用等腰梯形的性质和等腰直角三角形求解． 7．（2010•重庆）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是（ ）
①②⑤ ③④⑤ ①③⑤ A． ① ③④ B． C． D．
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定；勾股定理的应用．
分析： ①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；③利用①中
的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积；④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可．
解答： 解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD， ∴△APD≌△AEB； 故此选项成立；
③∵△APD≌△AEB，
8
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE， ∴∠BEP=∠PAE=90°， ∴EB⊥ED； 故此选项成立；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F， ∵AE=AP，∠EAP=90°， ∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF， ∴∠FEB=∠FBE=45°， 又∵BE=∴BF=EF=
，
=
=
，
故此选项不正确；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中， ∵AE=AP=1， ∴EP=， 又∵PB=， ∴BE=，
∵△APD≌△AEB， ∴PD=BE=，
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD﹣S△BDP=S正方形ABCD﹣×DP×BE=×（4+故此选项不正确． ⑤∵EF=BF=
，AE=1，
）﹣×
×
=+
．
∴在Rt△ABF中，AB2=（AE+EF）2+BF2=4+， ∴S正方形ABCD=4+， 故此选项正确； 故选D．
点评： 本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识． 8．（2010•泰安）如图，E是▱ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（ ） A． A D=CF B． BF=CF C． AF=CD D． DE=EF
考点： 平行四边形的性质．
分析： 可证△AEF≌△DEC（AAS或ASA），由∠FCD=∠D得△DEC、△AEF都是等腰三角形．
故易判断C、D都成立；
∠B=∠D=∠F，则CF=BC=AD． 没有条件证明BF=CF．
9
解答： 解：∵ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠B=∠D，AB∥CD．
∵BF∥CD，∴∠F=∠FCD，∠FAE=∠D． ∵AE=ED，
∴△AEF≌△DEC． ∴AF=CD，EF=CE．
∵∠FCD=∠D，∴CE=DE． ∴DE=EF．
故C、D都成立；
∵∠B=∠D=∠F，则CF=BC=AD．故A成立． 没有条件证明BF=CF． 故选B．
点评： 此题考查了平行四边形的性质，即平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分． 9．（2010•荆门）给出以下判断：（1）线段的中点是线段的重心 （2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心 （3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点 （4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点 那么以上判断中正确的有（ ） A． 一 个 B． 两个 C． 三个 D． 四个
考点： 三角形的重心．
分析： 重心指几何体的几何中心． 解答： 解：（1）线段的中点到线段两个端点的距离相等，为线段的重心，正确；
（2）三角形的中线平分三角形的三条边，所以三条中线的交点为三角形的重心，正确；
（3）平行四边形对角线的交点到平行四边形对角顶点的距离相等，为平行四边形的中心，正确； （4）利用平行可得三角形的重心把中线分为1：2两部分，所以是它的中线的一个三等分点，正确； 故选D．
点评： 主要考查了常见图形的重心． 10．（2009•绵阳）如图，四边形ABCD是矩形，AB：AD=4：3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE：AC=（ ） A． 1 ：3 B． 3：8 C． 8：27 D． 7：25
考点： 矩形的性质；翻折变换（折叠问题）． 专题： 计算题．
分析： 根据题意可得四边形ACED是等腰梯形，即求上底与下底的比值，作高求解．
解答： 解：从D，E处向AC作高DF，EH，垂足分别为F、H．
设AB=4k，AD=3k，则AC=5k．
由△AEC的面积=×4k×3k=×5k×EH，得EH=根据勾股定理得CH=k．
k；
10
所以DE=5k﹣k×2=
．
所以DE：AC=7：25． 故选D．
点评： 本题的关键是利用折叠的特点及三角形面积的计算，求得EH，CH的长，从而求得DE的长，然后求比值． 11．（2010•锦州）如图所示，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． 1 cm2 B． C． D． 1.5cm2 2cm2 3cm2
考点： 三角形中位线定理． 专题： 整体思想．
分析： 根据题意，易得MN=DE，从而证得△MNO≌△EDO，再进一步求△ODE的高，进一步求出阴影部分的面
积．
解答： 解：连接MN，作AF⊥BC于F．
∵AB=AC，
∴BF=CF=BC=×8=4， 在Rt△ABF中，AF=
=
，
∵M、N分别是AB，AC的中点，
∴MN是中位线，即平分三角形的高且MN=8÷2=4， ∴NM=BC=DE，
∴△MNO≌△EDO，O也是ME，ND的中点， ∴阴影三角形的高是AF÷2=1.5÷2=0.75，
∴S阴影=4×0.75÷2=1.5．故选B．
点评： 本题的关键是利用中位线的性质，求得阴影部分三角形的高，再利用三角形的面积公式计算． 12．（2009•遂宁）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AD=DC=4，AB=1，F为AD的中点，则点F到BC的距离是（ ） A． 2 B． 4 C． 8 D． 1
考点： 直角梯形；勾股定理；三角形中位线定理．
分析： 连接BF，CF，过A作AE∥BC，过F作FG⊥BC于G，此时AE将直角梯形分为一个平行四边形和一个直
角三角形，从而可求得AE，BC，AF，CF，BF的长，再根据面积公式即可求得FG的长．
解答： 解：连接BF，CF，过A作AE∥BC，过F作FG⊥BC于G，
则四边形ABCE是平行四边形，AE=BC，AB=CE=1，DE=DC﹣CE=4﹣1=3， ∵∠D=90°，
∴△ADE是直角三角形，
由勾股定理得AE===5，
11
∵AE=BC， ∴BC=5，
∵AB∥DC，∠D=90°，F为AD的中点，AD=DC=4，AB=1， ∴AF=FD=AD=×4=2，△DCF与△ABF是直角三角形，CF=BF=
=
=
； ）2+（2
•2
）2=25=BC2=52=25，故△BFC是直角三角形； =5FG，FG=2．
=
=2
；
在△BFC中，BF2+CF2=（
S△BFC=BF•CF=BC•FG，即
故选A．
点评： 此题较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用平行四边形的性质，勾股定理求出△BCF是直角三角形，
再利用三角形的面积公式求出△BCF的高即可．
13．（2009•南宁）如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A． 1 0cm2 B．2 0cm2 C． D．8 0cm2 40cm2
考点： 三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的性质．
分析： 矩形对折两次后，再沿两邻边中点的连线剪下，所得菱形的两条对角线的长分别原来矩形长和宽的一半，
即5cm，4cm，所以菱形的面积可求．
解答： 解：矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即
为5cm，4cm，
而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形的沿对角线两次对折的图形，
所以菱形的两条对角线的长分别为5cm，4cm，
所以S菱形=×5×4=10 cm2．
故选A．
点评： 本题考查了三角形中位线的性质、矩形、菱形的面积的计算等知识点．易错易混点：学生在求菱形面积时，
易把对角线乘积当成菱形的面积，或是错误判断对角线的长而误选．
14．（2009•衢州）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（ ） A． 9 .5 B． 10.5 C． 11 D． 15.5
考点： 三角形中位线定理；翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据折叠图形的对称性，易得△EDF≌△EAF，运用中位线定理可知△AEF的周长等于△ABC周长的一半，
进而△DEF的周长可求解．
解答： 解：∵△EDF是△EAF折叠以后形成的图形，
∴△EDF≌△EAF， ∴∠AEF=∠DEF，
∵AD是BC边上的高， ∴EF∥CB，
又∵∠AEF=∠B， ∴∠BDE=∠DEF，
12
∴∠B=∠BDE， ∴BE=DE， 同理，DF=CF，
∴EF为△ABC的中位线，
∴△DEF的周长为△EAF的周长，即AE+EF+AF=（AB+BC+AC）=（12+10+9）=15.5．
故选D．
点评： 本题考查了中位线定理，并涉及到图形的折叠，认识到图形折叠后所形成的图形△AEF与△DEF全等是解
题的关键．
15．（2009•重庆）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CDFE不可能为正方形， ③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变； ⑤△CDE面积的最大值为8． 其中正确的结论是（ ）
①③④ A． ① ②③ B．① ④⑤ C． D．③ ④⑤
考点： 正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 专题： 动点型．
分析： 解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和
△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；
判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF是等腰直角三角形DE=DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值4，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．
解答： 解：连接CF；
∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB； ∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF；
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD； ∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°， ∴△EDF是等腰直角三角形． 因此①正确．
当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形． 因此②错误．
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC， 因此④正确．
由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小； 即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4． ∴DE=DF=4因此③错误．
；
13
当△CEF面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小．
此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8； 因此⑤正确． 故选B．
点评： 本题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采用排除法等特有方法，使
此题难度稍稍降低一些．
16．（2009•绥化）在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED．正确的是（ ）
③④ ①②④ ②③④ A． ② ③ B． C． D．
考点： 矩形的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
分析： 这是一个特殊的矩形：对角线相交成60°的角．利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答． 解答： 解：∵AB=1，AD=，
∴BD=AC=2，OB=OA=OD=OC=1． ∴OB=OA=OD=OC=AB=CD=1， ∴△OAB，△OCD为等边三角形． ∵AF平分∠DAB，
∴∠FAB=45°，即△ABF是一个等腰直角三角形． ∴BF=AB=1，BF=BO=1． ∴∠FAB=45°，
∴∠CAH=45°﹣30°=15°．
∵∠ACE=30°（正三角形上的高的性质） ∴∠AHC=15°， ∴CA=CH
由正三角形上的高的性质可知：DE=OD÷2，OD=OB， ∴BE=3ED． 故选D．
点评： 本题主要考查了矩形的性质及正三角形的性质． 17．（2009•河池）已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（ ） A． 3 cm2 B．4 cm2 C． cm2 D． 2cm2
考点： 菱形的性质．
分析： 根据菱形的性质可得该对角线与菱形的边长组成一个等边三角形，利用勾股定理求得另一条对角线的长，
再根据菱形的面积公式：菱形的面积=×两条对角线的乘积，即可求得菱形的面积．
解答： 解：由已知可得，这条对角线与边长组成了等边三角形，可求得另一对角线长2
则菱形的面积=2×2÷2=2cm2 故选D．
点评： 此题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半．
二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）
14
，
18．（2009•营口）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=25cm，BC=24cm．将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么梯形ABCD的面积为 384 cm2．
考点： 梯形；翻折变换（折叠问题）．
分析： 先利用折叠和勾股定理求出上底，然后求出梯形的面积． 解答： 解：该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕
∴BD=AB=25
∴CD==7
∴梯形ABCD的面积=（7+25）×24÷2=384cm2．
点评： 本题的基本思路是利用梯形的面积求上底，但题中没有上底的值，所以就要由题给的折叠的条件再利用勾
股定理求出上底即可．
19．（2010•威海）从边长为a的大正方形纸板中间挖去一个边长为b的小正方形后，将其截成四个相同的等腰梯形﹙如图①﹚，可以拼成一个平行四边形﹙如图②﹚．
现有一平行四边形纸片ABCD﹙如图③﹚，已知∠A=45°，AB=6，AD=4．若将该纸片按图②方式截成四个相同的等腰梯形，然后按图①方式拼图，则得到的大正方形的面积为 11+6 ．
考点： 等腰梯形的性质；平行四边形的性质；正方形的性质． 分析： 要求大正方形的面积，就是要求出等腰梯形的下底． 解答： 解：过点F作FG∥AD，交AB于点G，
∴四边形AEFG是平行四边形，
EF=AG，AE=GF=AD， ∵BH=EF，AG=EF， ∴BH=AG， ∵∠A=45°， ∴∠GFH=90°， ∵GF=FH=2，
∴由勾股定理得，GH=2∴AG=
=3﹣
，
，
∴等腰梯形的下底=3﹣=3+， ∴大正方形的面积=（3+）2=11+6．
点评： 考查了等腰梯形的性质和正方形面积的求法，以及平行四边形的判定． 20．（2009•漳州）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的边长是 4 ．
考点： 三角形中位线定理；菱形的性质． 专题： 计算题．
分析： △ABD是等边三角形．根据中位线定理易求BD．
15
解答： 解：在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形．
∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴AB=2AE=2EF=2×2=4． 故答案为，4．
点评： 本题考查了三角形中位线及菱形的性质，比较简单．如果三角形中位线的性质没有记住，还可以利用△AEF
与△ABD的相似比为1：2，得出正确结论．
21．（2010•仙桃天门潜江江汉）如图，已知矩形ABCD，AB在y轴上，AB=2，BC=3，点A的坐标为（0，1），在AD边上有一点E（2，1），过点E的直线与BC交于点F．若EF平分矩形ABCD的面积，则直线EF的解析式为 y=2x﹣3 ．
考点： 待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质． 专题： 代数几何综合题．
分析： 根据题意，点B的坐标为（0，﹣1），AE=2，根据EF平分矩形ABCD的面积，先求出点F的坐标，再利
用待定系数法求函数解形式．
解答： 解：∵AB=2，点A的坐标为（0，1），
∴OB=1，∴点B坐标为（0，﹣1）， ∵点E（2，1），
∴AE=2，ED=AD﹣AE=1， ∵EF平分矩形ABCD的面积， ∴BF=DE，
∴点F的坐标为（1，﹣1）， 设直线EF的解析式为y=kx+b，
则解得
， ，
所以直线EF的解析式为y=2x﹣3． 故答案为y=2x﹣3．
点评： 本题考查矩形的性质和待定系数法求函数解形式． 22．（2010•桂林）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是 3 ．
考点： 梯形中位线定理；等边三角形的性质． 专题： 动点型．
分析： 分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三
角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可．
16
解答： 解：如图，分别延长AE、BF交于点H．
∵∠A=∠FPB=60°， ∴AH∥PF，
∵∠B=∠EPA=60°， ∴BH∥PE，
∴四边形EPFH为平行四边形， ∴EF与HP互相平分． ∵G为EF的中点，
∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．
∵CD=10﹣2﹣2=6，
∴MN=3，即G的移动路径长为3．
点评： 本题考查了等腰三角形及中位线的性质，以及动点问题，是中考的热点． 23．（2009•遵义）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，MN∥AB交AD于M，交BC于N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是 5 ．
考点： 矩形的性质．
分析： 根据矩形的性质和MN∥AB，可知四边形ABNM、MNCD是矩形，从而有AB=MN=CD，AM=BN，MD=NC，
根据三角形的面积公式先求矩形ABNM中的阴影部分的面积，再求矩形MNCD中阴影部分的面积，再将两部分面积相加，可推得阴影部分的面积等于矩形ABCD面积的一半．
解答： 解：∵MN∥AB
∵矩形ABCD
∴四边形ABNM、MNCD是矩形 ∴AB=MN=CD，AM=BN，MD=NC
∴S阴APM+S阴BPN=
同理可得：S阴DMQ+S阴CNQ=∴S阴=S阴DMQ+S阴CNQ=
点评： 利用矩形的性质和三角形的面积公式求解．
=
==5．
24．（2010•鞍山）如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位x轴、y轴上，点B的坐标为B（，5），D是
AB边上的一点．将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是 y=﹣
．
考点： 待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质． 专题： 代数几何综合题．
17
分析： 此题要求反比例函数的解析式，只需求得点E的坐标．
根据点B的坐标，可知矩形的长和宽；从而再根据锐角三角函数求得点E的坐标，运用待定系数法进行求解．
解答： 解：过E点作EF⊥OC于F
由条件可知：OE=OA=5，
所以EF=3，OF=4
则E点坐标为（﹣4，3） 设反比例函数的解析式是y= 则有k=﹣4×3=﹣12 ∴反比例函数的解析式是y=故答案为y=
点评： 主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．
本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．
25．（2009•烟台）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 17 cm．
考点： 菱形的性质；勾股定理． 专题： 计算题．
分析： 画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可．
解答： 解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm，
在Rt△ABC中，
．
．
由勾股定理：x2=（8﹣x）2+22， 解得：x=
，
∴4x=17，
即菱形的最大周长为17cm． 故答案为17．
点评： 本题的解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程． 26．（2009•深圳）如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为 ．
考点： 勾股定理；矩形的性质． 专题： 应用题．
分析： 连接AF，作GH⊥AE于点H，则有AE=EF=HG=4，FG=2，AH=2，根据矩形的性质及勾股定理即可求得
其周长．
18
解答： 解：如图，连接AF，作GH⊥AE于点H，则有AE=EF=HG=4，FG=2，AH=2，
∵AG=
=2
，AF=
=4
，
∴AF2=AD2+DF2=（AG+GD）2+FD2=AG2+GD2+2AG•GD+FD2，GD2+FD2=FG2 ∴AF2=AG2+2AG•GD+FG2∴32=20+2×2×GD+4， ∴GD=
，FD=
，
∵∠BAE+∠AEB=90°=∠FEC+∠AEB， ∴∠BAE=∠FEC，
∵∠B=∠C=90°，AE=EF， ∴△ABE≌△ECF， ∴AB=CE，CF=BE， ∵BC=BE+CE=AD=AG+GD=2∴AB+FC=2
+
，
+
，
∴矩形ABCD的周长=AB+BC+AD+CD=2BC+AB+CF+DF =2
+
+2
+
+2
+
+
=8
．
故答案为，8．
点评： 本题利用了矩形的性质和勾股定理及全等三角形的性质求解．
19
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