高一函数的性质(高一、教师)

第3讲 函数的性质

【知识梳理】

一．单调性

1.定义：函数f(x)的定义域为A，区间IA，若对任意的x1,x2I且x1x2，都有： （1）f(x1)f(x2)，则称函数f(x)是区间I上的增函数，I是f(x)的增区间。 （2）f(x1)f(x2)，则称函数f(x)是区间I上的减函数，I是f(x)的减区间。 2.判定方法： (1) 图象法；

(2) 定义法(步骤：取值、作差、变形、定号、结论) ；

(3) 结论法。如：①增+增=增；增-减=增；②当k0时，kfx与fx的单调性相同；当k0时，kfx与fx的单调性相反；③当fx恒不为0时，单调性相反。

3.已学函数的单调性：

（1）一次函数ykxb(k0)：

①k0单调递增，②k0单调递减 （2）反比例函数f(x)1与fx的fxkk0： x①k0时，在区间(,0),(0,)上分别是减函数； ②k0时，在区间(,0),(0,)上分别是增函数.

（3）二次函数yax2bxc(a0)（单调性以对称轴为界）：

①a0时，在_______________单调递增，在_____________单调递减； ②a0时，在_______________单调递增，在_____________单调递减； （4）双勾函数f(x)x,aa,0和0,a上递减；在a0的单调性：在xa和[a,)上递增。

4.复合函数的单调性：同增异减，小心范围。

二.函数的最值

1. 定义：设函数yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对任意xI，都有fxM，且存在x0I ，使得fx0M，则称M是函数yfx的最大值;

（2）对任意xI，都有fxM，且存在x0I，使得fx0M，则称M是函数

yfx的最小值。

2. 结论：设函数yfx定义在闭区间a,b上：

(1) 若fx在a,b上是连续函数，则fx必存在最大值和最小值； (2) 若fx在a,b上单调递增，则yminfa，ymaxfb； (3) 若fx在a,b上单调递减，则yminfb，ymaxfa。 三．奇偶性

1.定义：对函数f(x)的定义域内的任何一个自变量x，都有：

1

⑴ f(x)f(x)，则称函数f(x)是偶函数； ⑵ f(x)f(x)，则称函数f(x)是奇函数。 点拨： 奇函数和偶函数的定义域关于原对称。 2．性质：

⑴ 偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立； ⑵ 奇函数的图象关于原点对称，反之也成立。 (3)在关于原点对称的两个区间上：奇函数具有相同的单调性；偶函数具有相反的单调性。 (4) 若f(x)是奇函数且在x0处有意义，则f(0)0 (5) 若f(x)是偶函数，则f(x)fx。

3．奇偶性的推广：

对函数f(x)的定义域内的任何一个自变量x：

⑴ 若都有f(ax)f(ax)，则f(x)的图象关于直线xa对称；若都有

ab对称。 2⑵若都有f(ax)f(ax)，则f(x)的图象关于点a,0对称；若都有

f(ax)f(bx)，则f(x)的图象关于直线xf(ax)f(bx)，则f(x)的图象关于点ab,0对称。

2【典例精析】

ax,x1,1的单调性和奇偶性. x21解：设1x1x21，则

例1. 研究函数f(x)2x1x21x2x121x2x1x1x21ax1ax2a。 afx1fx2222222x11x21x1x112x11x2121x1x21，x1210，x210，x2x10，x1x210。

当a0时, fx1fx20fx1fx2f(x)在区间(1,1)内是减函数。当a0时, fx1fx20fx1fx2f(x)在区间(1,1)内是增函数。 当a0时, fx0,fx不具有严格的单调性.

fxaxx21axfx, fx是奇函数. x21 特别当a0时, f(x)既是奇函数又是偶函数.

x,x1,1的大至图象吗？ x21例2. 求函数的单调区间：

提问: 你能作出f(x)（1）求函数yx22x3的单调减区间；

（2）已知函数f(x)在定义域[1,1]上是增函数，求函数gxf(x2x1)的单调区间；

9的单调区间。 2x32解：（1）x2x30x3或x1，故函数的定义域为,3（3）求函数y2x31,。

2令yu,ux22x3，因yu在0,递增，ux2x3在,3递减，故函数yx22x3的单调减区间是,3。

2

x2x11x0或x1x1,0（2）21x2xx11故gx的定义域为1,01,2。

1,2，

gx由yfu，ux2x1复合而得，

yfu在[1,1]上是增函数，ux2x1在1,0上递减，在1,2上递增，

gx在1,0上递减，在1,2上递增。

9（3）令fuu，u2x3。则u2x3为增函数；

u双勾函数fu递增u2x33或u2x33 x0或x3；

33fu递减3u2x30或02233故所求增区间为,0和3,；减区间为0,和,3。

22例3. 利用函数的单调性，求参数的范围：

（1）若f(x)x22ax3在区间[2,)上是增函数，则实数a ； （2）若f(x)x22ax3的增区间是[2,)，则实数a ； （3）若f(x)x22ax3在区间[1,1]上具有单调性，则实数a ； （4）若g(x)解：⑴ ,2； ⑵ 2； ⑶ 对称轴xa1,1 a,1⑷g(x)ax1在区间(2,)上单调递增，求实数a 。 x21,；

ax112a1在区间(2,)上单调递增12a0a,。 ax2x22例4．已知函数f(x)满足：f(xy)f(xy)2f(x)f(y)(x,yR) 且f(0)0，判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论。 解：令xy0，得2f02f0，又f(0)0，故f01，

令x0，得fyfy2f0fy2fyfyfy

2f(x)是偶函数

例5. 利用单调性解不等式：

13。 x212（2）定义在(1,1)上的函数f(x)满足：f(xy)f(x)f(y)1，且当x0时f(x)1。

（1）x2若f(1a)f(1a)2，求实数a的取值范围。

2解：（1）构造双勾函数ftt，因为ft在1,上是增函数，且x11，

21t故x13112x12fx21f2 222x12x1x2121x1。

原不等式的解集为x1x1。

2（2）设1x1x21，则x2x10fx2x11，

故fx2fx1fx2x1x1fx1fx2x110，

3

f(x)在(1,1)上是减函数

在f(xy)f(x)f(y)1中，令xy0f01

f(1a)f(1a2)2f(1a)f(1a2)11f2aa2f0 0a211a111a210a20a1。

2aa202a1故实数a的取值范围是0,1。

例6．已知函数f(x)在(0,2)上是增函数，又函数f(x2)是偶函数，比较f(1)，f()，

527f() 的大小。 2解：

f(x2)是偶函数，fx2fx2fx图象关于x2对称，

11335371 ff2f2f，ff2f2f，

222222221375又f(x)在(0,2)上是增函数，故ff1fff1f。

2222x21例7．给定函数fx。

x（1）研究函数fx的性质（定义域，值域，奇偶性，单调性）并作其图象； （2）解关于x的方程fxaaR。 解：（1）

fxx1，定义域为,0x0,；值域为2,。

易知fx是偶函数；fx在1,0和1,单调递增；在,1和0,1单调递减。 其图象如下：

y2-1O1x（2）由fx的图象知：

①当a2时，方程fxa无解；

②当a2时，方程fx2有两个实数根x11,x21； ③当a2时，方程fxa有四个实数根。

1aa242fxxaxax10x，

x2aa24aa24aa24aa24，x2，x3，x4。 x12222

4

【小试身手】

一.选择题

1.若f(x)在[a,b]上是单调的连续函数，且f(a)f(b)0，则方程f(x)0在a,b 内( D)

A．至少有一实根 C．没有实根

B．至多有一实根 D．有唯一实根

2.函数f(x)2x2mx3，当x[2,)时是增函数，当x(,2]时是减函数，则f(1)等于（ B ）

A.-3 B.13 C.7 D.由m而定的常数 3.设函数f(x)在(,)上为减函数，则( D )

A.f(a)f(2a) B.f(a2)f(a) C.f(a2a)f(a) D.f(a21)f(a)

4.在,0上单调递减的函数是（ A ）

x B.y1x2 C.y=2x+3 D.yx22x x15.函数yx2x1(xR)的递减区间是（ C ）

A.y11 D.R  B.1, C.A.,,22二.填空题

6．函数f(x)是定义域[1,1]上的增函数，且f(m1)f(m21)，则实数m的取值范围为_______1,2

7．已知奇函数f(x)在定义域R上是增函数，若f()1，则不等式1f(2x1)0的解集为___________________8.f(x)1231, 421x4x32的增区间为______2,3_____；减区间为_____1,2_____；

三．解答题

9. 求证f(x)x3x在R上是增函数. 证明：设x1x2,则

32fx1fx2x13x1x2x2x1x2x12x1x2x21

2132x1x2x1x2x210fx1fx2

24f(x)x3x在R上是增函数.

110.求函数fxx1的最值

x解： fx 在定义域1, 上是增函数，fxminf11，无最大值.

11. 求函数fx12x1x的值域：

解：易知fx在定义域,1上是减函数，故fx的值域为 f1,，即1,。点拨：本是也可用换元法转化为二次函数求解。

5



12.已知f(x)是偶函数，且在区间[0,)上是减函数，试比较f(t2t1)与f()的大小关系。

234133解：因为tt1t，且f(x)在区间[0,)上是减函数，

24433所以f(t2t1)ff。

44213.已知a,b,c是三个正实数，试比较解： a,b,c是三个正实数,

abc与的大小。 1a1b1c1x1x1令fx，则fx在0,上是增函数, 11x1x1x又abc0，故fabfc所以

ababab. 1ab1ab1ab1a1babc, 1ab1c14.定义在(0,)上的函数fx满足：fxyfxfy且当x1时，fx0 （1）求证：f10且fx是增函数；

（2）若f21，解不等式：f3f48x2.

解：（1）证明：令xy1得：f1f1f1f10；

abc. 1a1b1cxx21f20。 x1x1xfx2fx1f2x1fx1

x1设0x1x2，则

xxf2fx1fx1 f20

x1x1fx2fx1

fx在0,上是增函数

（2）

211f2f2f4 不等化为：f348xf4

48x01x

3348x4解集为,。

13

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思法语录

数学是一个美丽的传说 它能给勇敢者以智慧 也能给勤奋者以收获 只要你懂得他的珍贵呀 山高那个路远也能获得…

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