“圆”章起始课教学的思考与实践

“圆”章起始课教学的思考与实践

郑瑄，吴增生（浙江省宁波市江北区教育局教研室；浙江省仙居县教育局教研室）摘

要：章起始课教学，不仅是对一个新的数学学习内容（圆）的开启，还应站在系统的高度，

环顾知识的长河，注重教学的整体性，所谓见森林才见树木；章起始课教学，也应随物赋形，循天而事，顺应数学研究对象各要素间的内在联系，顺应学生数学学习的思维走向，自然地展开问题研究的发现和提出；章起始课教学，更应注重逻辑的连贯性和问题的层次性，以构建系统的完整性.

关键词：圆；章起始课教学；先行组织者

一、教学思考

章起始课教学，有别于教科书文本呈现的章第一课时教学，但也并非将整章知识内容不假思索地罗列告知，而是数学内在逻辑关系有序而理性地良好呈现.要通过构建“先行组织者”以统领整章教学，将学生的注意力集中在将要学习的新知识中的重点部分；突出强调新知识与已有知识的关系，为新知识提供一种框架；能够帮助学生回忆起与新知识相关的研究思路和途径，传递学习方法，以便更好地建立联系，进行学习和研究.

圆，作为一种特殊的曲线图形的代表，其表现方式和直线图形不同.既继承了以往直线图形研究的基本数学思想方法，又由于其特殊性，在具体的抽象概念、确定研究对象和内容、明确研究方法和思路等方面，均有其不同寻常之处.同时，圆的许多性质，比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系，是培养和提升学生数学核心素养的一个很好的载体.故研究这个新的几何对象（圆）的第一课，应站在系统的高度，审视知识的长河，注重教学的整体性，以达成了解概貌、引趣激智、学法指导的美好愿景.

收稿日期：2019-11-05

二、教学设计、课堂生成与教学反思

1.抽象定义

学生在小学高年级阶段已经初步认识了圆.其时，更多的是直观感知与计算为重，会计算圆的周长与面积.但是对于图形研究的第一步：“何为圆”这一严格的界定，即便是耳熟能详、司空见惯，抽象定义的过程，仍然令学生感到困难重重.故抽象出圆的定义，是本节课教学的重中之重，也是教学的难点所在.教学中希望能让学生在经历、体验中，独立自主地感悟和归纳，互动交流地概括和描述，最终得到圆的定义.

师：（面对学生摊开教科书在“圆”这一章的状态）同学们都将教科书翻到了今天要学的这一章，确实，你们翻开的这一页完全正确.但是，我可不希望你们翻书寻找答案来对付我（笑），所以，先请大家将书本合上.

师：圆，你们曾经学过吗？学了什么？生：（众说纷纭、确认）六年级，六年级上.生：我们会算圆的周长与面积l=2πr，S=πr2.么，什么是圆呢？

生：（迟疑、困顿）小学没讲过.

师：其中，r是什么？π又是什么？（倾听）……那

作者简介：郑瑄（1965—），女，正高级教师，浙江省特级教师，主要从事初中数学教育教学研究.

·49·

中国数学教育·初中版2019年第11期（总第203期）

师：确实，小学并没有给出圆的定义.没关系，请同学们在学习单上画一个圆.

学生纷纷拿出圆规来画圆.想起人教版小学数学教科书中的画面：有人用圆规、有人用瓶盖，有人用三角尺上的圆形等.九年级学生的数学思维已然长进.

师：如果要画的圆的半径特别大，如在操场上画一个半径为5米的圆呢？（学生思考……）老师再问问大家，什么是圆？请用自己的语言描述和表达，写在学习单上.

学生在学习单上沉思、书写，或涂涂改改，眉眼时而紧锁、时而舒展.事实上，圆的定义就蕴含在这些操作、思考和字斟句酌中.继而四位学生代表分享己见.

生1师：圆都还没有定，哪儿来的圆心？：由距圆心距离相等的许多点构成的封闭曲线.生2围起来.

：一条线段一个端点不动另一个端点旋转180°，师：好有动态的画面感！

生3个点的距离相等：将一条线段首尾连接起来，线上的点，到一.

师：联想到三角形.

生4周无数点组成的图形：在平面内，一条固定了一端的线段，围绕一

.

师：在平面内！

师：非常好！同学们都抓住了能表示圆的特征的关键词.

顺势而为，随物赋形.教师与学生共同研讨、质疑，在“误中悟”；归纳、概括，在“思辨中获得”.从关键词到严谨的定义，最后以墨子言简意赅的高度概括收尾.

（1）定点、定长、集合.（静）（2）线段OA、点O、点A、旋转.（动）（3）墨子：圆，一中同长也！（言简意赅）“圆”的定义：

在一个平面内，所有到定点的距离等于定长的点的集合，叫做圆.

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.

墨子：圆，一中同长也！50·

教师与学生发现值得关注的几点.其一，圆的定义表示圆是一条封闭曲线，而并非圆面.其二，“在一个平面内”是区分圆与球的重要条件.其三，确定圆的两个要素：圆心（位置）和半径（大小）.其四，集合的理解，学生想到诸如中垂线、角平分线、函数及其图象等的相互关系.其五，圆的符号表示.这是初中有别于小学之处，并与之前图形的学习一脉相承，是数学家的行为.

【教学反思】耳熟能详、司空见惯的圆，在获得定义的环节，呈现出来的恰恰是学生对数学抽象的举步维艰.从学生课堂上的表现、学习单上的呈现均可见一斑.当然，大多数学生能抓住圆的特征关键词.例如，一条曲线构成封闭曲线，从一点到曲线上任何一点的长度相同的图形；绕固定一点，以固定距离做圆周运动；圆是以一点为中心，按照直径不断旋转外端闭合的图形；线段OA，旋转，在一个平面内…….但是也有一些学生只凭感觉直观描述.例如，形状类似字母O的物体；球体的平面；有无数条对称轴的图形马上有学生指出直线也具有如此特性）；……笔者在抽象定义的教学环节用了近20分钟时间，章建跃博士在点评时询问与会教师：20分钟，你舍得吗？让学生以数学的方式下定义，是培养学生数学思维的必须！笔者以为，画圆的目的，在于从做中悟；书写的目的，在于从思中悟；思辨的目的，在于从误中悟.一个概念、三个注意点、n道练习题，永远是最简单、最粗糙的教学法，关注概念教学的慢与快的辩证法，能给予学生长远的裨益.

2.圆的性质，如果学生齐心协力，必能探究一二，探索性质

乃至八九.但是无序散漫的找寻，还是有序理性的求索，此乃关键.要让学生发现并提出性质成为必然，而非撞大运，需要教师引导学生理解数学的内在逻辑，有序地分类，而数学中的逻辑是由数学知识本身决定的.圆是点的集合，循着圆的要素和相关要素之间的关系，寻找和发现圆中值得研究的元素而展开研究.教学中希望能让学生在以往经验的引导下自主探索，在特殊研究对象的思考中有新的发现，最终得到圆的性质.教学过程引人入胜.

师：和直线图形的学习一脉相承，现在我们要一

（·中国数学教育·初中版2019年第11期（总第203期）

起来研究圆的性质.还记得刚刚结束的平行四边形（矩形、菱形、正方形）的研究方法是怎样的吗？

生：从边、角、对角线、对称性去研究.但是圆没有边也没有角啊（略显迷茫）.

师：我们不妨来看看圆的组成要素和相关要素.由此师生共同议论、探讨，引出圆中值得研究的元素：聚焦到组成圆的圆上的点；组成圆的无数个点与圆心的连线——半径、直径、半圆弧；圆上的两个点的连线——弦；圆上两个点之间的部分——弧、优弧、劣狐；两条半径的夹角——圆心角；同弧所对的圆周角；圆内角、圆外角；……

师：请同学们思考，圆可能具有的性质，并将自己的发现，再一次写在学习单上.

教师要求学生先独立思考，再相互交流.巡视、倾听、点拨、指引，继而教师有意识、有序列、有选择地让学生代表展示圆的性质的发现成果.

（1）点与圆的位置关系.

生：圆上的任意一点到圆心的距离等于半径.从定义着手，这是研究性质的基本方法和途径.与直线图形的研究一脉相承.构建前后一致、逻辑连贯的知识体系.

师：好！由圆的定义，的确可以得到这个性质.两个方面：圆上的任意一点到圆心的距离都相等；到圆心距离相等的点一定在圆上.“在圆上”等价于d=r”.位置关系可以用数量关系来考量，数形结合极具能量（之前平行线的性质也是如此）.

生：还可以联想到线段中垂线性质、角平分线性质，及其函数等.

师生感悟：这个性质很厉害！生活中，车轮为什么是圆形的？数学中，矩形四个顶点共圆.还能（有序地）想到什么？

思维拓展与延伸：直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系.又可以用怎样的数量关系来考量这些位置关系呢？

（2）圆的对称性：轴对称性、中心对称性（旋转对称性）.生1称图形.

：圆的对称性！既是轴对称图形，又是中心对生2：有无数多条对称轴；可以旋转任意角度都

重合.

师：真不错，圆有均衡、对称、和谐之美！毕达哥拉斯曾经这样说：世间最美的平面图形是圆；世间最美的立体图形是球.

观察轴对称性，欣赏中国著名的赵州桥（初中语文教科书中的课文）.圆拱石桥是中国桥梁的经典，赵州桥是经典中的经典.除了坚固之用，更有对称之美.让我们画出与石拱桥水面垂直的对称轴，这就构成圆中经典的“垂径定理”的图形.教师指出“垂径定理”的要义；指明其本质就是轴对称性！特别指出垂径定理涉及的5个条件，任意2个成立，必然导致另外3个也成立；继续观察圆的中心对称性，及其旋转不变性“为什么”的证明，留待日后完善..我

们如何均分一个圆形的蛋糕？

生：等分圆心角即可.

师：这意味着等分圆心角即等分了圆形蛋糕.于是，又有一个非常厉害的性质出现了：“圆心角性质”；关于同弧所对圆心角是圆周角的两倍的猜想；圆内角、圆外角与弧的关系又会怎么样？……

（3）圆与正多边形的关系.生：圆的周长是直径的π倍.

师：这确实是圆的一个非常厉害的性质！尽管我们在小学就已经得知，但值得重新审视.π是一个常数，而且π还是一个无理数，称为圆周率.中国古代在圆周率的发现上有着伟大的贡献.

生：祖冲之.

师：是的.但是还有一位不能忘记，那就是刘徽.刘徽的“割圆术”说的就是用圆中的正多边形的周长来替代圆的周长进行计算的方法.刘徽的极限思想：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.我们在小学计算圆的面积时，已经有所领略（无限等分圆心角，可近似得到小等腰三角形，错位拼成矩形，计算面积）.

【教学反思】古希腊学者普罗塔戈说：“人的头脑不是一个要被填满的容器，而是一束需要被点燃的火把.”正是如此！教学中笔者发现，学生的观点（课堂上的声音、学习单上的文字），都是可以燎原的星星之火.倾听是大德，随物赋形，循天而事.此处的，正是顺应数学研究对象各要素间的内

·51·

““物”与“天”中国数学教育·初中版2019年第11期（总第203期）

在关系，顺应学生数学学习的思维走向，自然地展开问题研究的发现和提出.关注逻辑的连贯性，问题的层次性，以构建系统的完整性.“快速发现性质+大量练习跟进”的模式，似乎在应试的层面更为高效，但是，做练习的目的是什么？无非是加深了对知识的理解，建立知识间的联系，锻炼学生的思维，拓展与提升学生的思维品质，等等.故获得一个数学概念是练习；发现证明一个数学定理也是练习；应用数学知识解决问题还是练习；研究一个新的问题更是练习，而且是更好的练习；……

3.如果说，之前两次学生在学习单上的书写提出问题

（抽象定义、探索性质），是在教师引领下的任务驱动，那么，第三次学习单的书写——“同学们还有什么问题呢？”就是让学生更加自由、无拘束地提出自己的疑惑、问题乃至困难，也是教师引导学生走向明天的一个教学行为，更是一段意蕴悠长开拓性的学习过程.教育理念说发现问题、提出问题比分析问题、解决问题更重要，那么这个教学环节，正是希望能起到能力养成的作用.

学生提出的问题，十分有趣味性、有价值，令人眼前闪亮、满心欢喜.列举若干如下.

何为有价值的数学问题？

如何找到一个圆的圆心？如何用尺规作图将一个圆7等分？

圆与椭圆有什么区别和联系？性质和圆一样吗？球的体积公式如何得到？

如何在平面直角坐标系中表示一个圆？垂径定理有什么用？

圆心角、圆周角、圆内角、圆外角分别和相关的弧有什么关系？

弦的长度、弧的长度可求吗？圆内接正多边形的内角和边有什么关系？

圆心角和圆周角与圆弧围成的图形的面积和周长如何计算？

都说是分割，无限接近，那就说明圆周长不等于正多边形的周长，则π是不是不准确啊？有没有比割圆术更好的求π的方法？托勒密定理怎么证明？微积分是什么？……52·

【教学反思】何为有价值的数学问题？在笔者眼里，能提出这样的问题的学生，已经在用数学的眼光观察、用数学的思维思考、用数学的语言表达.如何用尺规作图将一个圆7等分？那是一个可以讲述数学家高斯的故事.圆与椭圆有什么区别和联系？那是可以将圆中的定长线段固定在两个定点的故事.无限接近、极限思想、托勒密定理、微积分……好的教与学，是教师与学生的彼此成就、共同成长.惜缘感恩！

这节课的最后，教师如此说：今天我们开启了圆的新篇章，在接下来的日子里，我们将在这片广袤的.

三、教学点评

圆是区别于直线型的最具有对称美的平面曲线图形，由直线型到圆，开辟了初中推理几何研究的新的领域.作为新领域的起始课，有着学习“怎样研究一类几何图形的基本套路”的育人价值，因此需要通过具体的教学活动，引领学生发现和引入“圆”这类新图形并抽象其概念，需要知道圆是怎样定义的，以这一定义为逻辑起点可以研究什么、怎样研究等.

作为知名的特级教师，授课教师的课堂如天马行空，自由驰骋在数学王国.站在高处，引领学生用高观点整体、系统地经历圆的概念的抽象过程，圆的性质的初步探索过程，以及基于具体情境发现和提出问题的过程.这样的课堂如一幅画卷徐徐展开，主题清晰，内容详实生动，重视学生的“三会”“四能”发展，是体现数学育人的理想课堂.

首先，课堂充满着生成的精彩.授课教师追求的数学教育是“随物赋形，循天而事”，也就是说随着学生思考而进行教学，充分尊重学生的思考过程，利用学生的思想作为课堂教学的有效资源.这样的课堂充满着生成性.例如，授课教师用了23分钟时间让学生经历圆的定义的形成过程，让学生通过画图、观察、想象、归纳，自己说出圆的特征.尽管开始学生给出的圆的特征描述有这样或那样的缺陷，如“由与圆心距离相等的许多点构成的封闭曲线”“一条线段一个端点不动另一个端点旋转180°，围起来”“将一条线段首尾连接起来，线上的点到一个点的距离相等”“在平面内，一条固定了一端的线段，围绕一周无数点组成的

·“森林”中，领略各种奇花异草中国数学教育·初中版2019年第11期（总第203期）

图形”等，授课教师能在肯定各自合理成分的基础上，概括出描述圆的特征的关键词“（1）定点、定长、集合——（静态看）；（2）线段OA、点O、点A旋转——（动态看）”，举出学生所在班级为例说明“集合的含义”，并最终得到圆的两种定义.

其次，彰显整体教学的思想.能站在系统的高度，从圆的构成要素——圆上的点的关系及其与定点（圆心）的关系出发比较自然、有序地给出“半径、直径”“弧、弦”“圆心角”等相关概念.进一步，让学生自己探索，写出可能具有的性质.在此基础上，让

学生说出点与圆、直线与圆的位置关系等.

最后，重视问题提出教学.在形成圆的概念，初步讨论了圆中可能的性质和位置关系后，专门设计了一个让学生提出需要研究问题的教学环节，充分体现了授课教师对问题提出教学价值的深刻理解和发展学生“四能”的数学教育价值追求.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学

课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

（上接第42页）

提升学员的教学实践水平.

7.物化成果——专著及论文

王炜煜、刘礼祥等被评为广东省中学数学特级教师；持人；龚建兵、叶劭峨、杨勇等多位老师成长为市学科带头人；古伯纯、张小勇等多人成长为市教学能分别获得省特等奖和一等奖.

教学案例，以及学员的同课异构课、汇报课等方式，工作室成员庞进发被评为东莞市中小学名师工作室主

主持人专著有《高中数学发展性教学顶层设计》，手；叶劭峨、黄雅兰、熊国林、高瑞瑞、王海优质课参与编写《如何形成教学风格》《当代教师领导力研究：理论基础与教师实践》等著作；发表论文《高三数学复习教学的本质追求》《悟理优于揭示

揭示重于讲

四、发展愿景

继续秉持工作室的“德能并举，发展为本，追求卓越”理念，遵循“共同学习，研究创新，服务开放”思路，追求“立足教学一线，追求优质课堂；培育研发能力，打造特色品牌；建设互动平台，提升专业引领；博采教育精华，拓展教育视野”目标.

在教学研究方面，依托2018年立项的广东省教育科学“十二五”规划课题“高中数学教学中发展学生核心素养的研究”，将核心素养在数学课堂中落地生根，探求教学操作要旨，研发优质教学案例，进一步深化“中学生发展力”养成的途径与方式.

在跟岗研修方面，精炼研修内容，优化研修方式方法，着力探索解决教师专业发展中的瓶颈，尤其是解决教学创新的意识与能力不足问题；根据研修教师的个性特点，尽力探寻形成个性化研修培养的方略.

参考文献：

［1］章建跃.章建跃数学教育随想录（下卷）［M］.

杭州：浙江教育出版社，2017.

·53·

授：对高中数学解题教学的认识与实践》《“问题链+学生核心活动”教学模式的研究与实践》《凸显数学思维

追求教育本真》《对高中数学教学的若干思考》

等40余篇.成员及学员发表论文120余篇，获奖论文200余篇.

8.发展成果

主持人在各地所上的示范课，被评价为“语言幽默，表情丰富，富有教学智慧，是内在素质的自然散发；学生学得轻松，教师上得精彩，清新自然，吸引人，像听一首轻音乐”“思维缜密，语言风趣，教学设计层层递进，课堂气氛轻松活跃，师生互动频频，学生如沐春风”“非常感谢！终于听到了一节高观点下的数学课”“行云流水，赏心悦目”；在广东省教育厅主办“南粤名师大讲堂·走进汕尾”等活动所上示范课满意率达100%，如“曲线与方程”等.

成员及学员：王炜煜、谭亚英等被评为中学数学正高级教师；黄涛、王炜煜、刘礼祥三位老师成长为广东省中小学名师工作室主持人；刘心华、王振肃、