29. 完成一件工作，需要甲干5天、乙干 6天，或者甲干 7天、乙干2天。问：甲、乙单独干这件工作各需多少天？ 解：甲需要(7*3-5)/2=8(天) 乙需要(6*7-2*5)/2=16（天） 30．一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。如果放水管开了2时后再打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？
31．小松读一本书，已读与未读的页数之比是3∶4，后来又读了33页，已读与未读的页数之比变为5∶3。这本书共有多少页？ 解：开始读了3/7 后来总共读了5/8 33/(5/8-3/7)=33/(11/56)=56*3=168页 11 / 33 32．一件工作甲做6时、乙做12时可完成，甲做8时、乙做6时也可以完成。如果甲做3时后由乙接着做，那么还需多少时间才能完成？ 解：甲做2小时的等于乙做6小时的，所以乙单独做需要 6*3+12=30（小时） 甲单独做需要10小时 因此乙还需要(1-3/10)/(1/30)=21天才可以完成。 33. 有一批待加工的零件，甲单独做需4天，乙单独做需5天，如果两人合作，那么完成任务时甲比乙多做了20个零件。这批零件共有多少个？ 解：甲和乙的工作时间比为4：5，所以工作效率比是5：4 工作量的比也5：4，把甲做的看作5份，乙做的看作4份 那么甲比乙多1份，就是20个。因此9份就是180个 所以这批零件共180个 34.挖一条水渠，甲、乙两队合挖要6天完成。甲队先挖3天，乙队接着解：根据条件，甲挖6天乙挖2天可挖这条水渠的3/5 12 / 33 所以乙挖4天能挖2/5 因此乙1天能挖1/10，即乙单独挖需要10天。 甲单独挖需要1/（1/6-1/10）=15天。 35. 修一段公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。现在两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。这段公路长多少米？ 36. 有一批工人完成某项工程，如果能增加 8个人，则 10天就能完成；如果能增加3个人，就要20天才能完成。现在只能增加2个人，那么完成这项工程需要多少天？ 解：将1人1天完成的工作量称为1份。调来3人与调来8人相比，10天少完成（8-3）×10=50（份）。这50份还需调来3人干10天，所以原来有工人50÷10－3＝2（人），全部工程有（2+8）×10=100（份）。调来2人需100÷（2+2）=25（天）。 37. 13 / 33 解：三角形AOB和三角形DOC的面积和为长方形的50% 所以三角形AOB占32% 16÷32%=50 38. 解：1/2*1/3=1/6 所以三角形ABC的面积是三角形AED面积的6倍。 39.下面9个图中，大正方形的面积分别相等，小正方形的面积分别相等。问：哪几个图中的阴影部分与图（1）阴影部分面积相等？ 14 / 33 解：（2） （4） （7） （8） （9） 40. 观察下列各串数的规律，在括号中填入适当的数 2，5，11，23，47，（ ），…… 解：括号内填95 规律：数列里地每一项都等于它前面一项的2倍减1 41. 在下面的数表中，上、下两行都是等差数列。上、下对应的两个数字中，大数减小数的差最小是几？ 解：1000-1=999 997-995=992 15 / 33 每次减少7，999/7=142……5 所以下面减上面最小是5 1333-1=1332 1332/7=190……2 所以上面减下面最小是2 因此这个差最小是2。 42. 如果四位数6□□8能被73整除，那么商是多少？ 解：估计这个商的十位应该是8，看个位可以知道是6 因此这个商是86。 43. 求各位数字都是 7，并能被63整除的最小自然数。 解：63=7*9 所以至少要9个7才行（因为各位数字之和必须是9的倍数） 44. 1×2×3×…×15能否被 9009整除？ 解：能。 将9009分解质因数 9009=3*3*7*11*13 16 / 33 45. 能否用1， 2， 3， 4， 5， 6六个数码组成一个没有重复数字，且能被11整除的六位数？为什么？ 解：不能。因为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，如果能组成被11整除的六位数，那么奇数位的数字和与偶数位的数字和一个为16，一个为5，而最小的三个数字之和1＋2＋3＝6＞5，所以不可能组成。 46. 有一个自然数，它的最小的两个约数之和是4，最大的两个约数之和是100，求这个自然数。 解：最小的两个约数是1和3，最大的两个约数一个是这个自然数本身，另一个是这个自然数除以3的商。最大的约数与第二大 47.100以内约数个数最多的自然数有五个，它们分别是几？ 解：如果恰有一个质因数，那么约数最多的是26=64，有7个约数； 如果恰有两个不同质因数，那么约数最多的是23×32＝72和25×3＝96，各有12个约数； 如果恰有三个不同质因数，那么约数最多的是22×3×5＝60，22×3×7＝84和2×32×5=90，各有12个约数。 所以100以内约数最多的自然数是60，72，84，90和96。 48. 写出三个小于20的自然数，使它们的最大公约数是1，但两两均不互质。 17 / 33 解：6，10，15 49. 有336个苹果、 252个桔子、 210个梨，用这些果品最多可分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？ 解：42份；每份有苹果8个，桔子6个，梨5个。 50. 三个连续自然数的最小公倍数是168，求这三个数。 解：6，7，8。 提示：相邻两个自然数必互质，其最小公倍数就等于这两个数的乘积。而相邻三个自然数，若其中只有一个偶数，则其最小公倍数等于这三个数的乘积；若其中有两个偶数，则其最小公倍数等于这三个数乘积的一半。 51. 一副扑克牌共54张，最上面的一张是红桃K。如果每次把最上面的12张牌移到最下面而不改变它们的顺序及朝向，那么，至少经过多少次移动，红桃K才会又出现在最上面？ 解：因为[54，12]=108，所以每移动108张牌，又回到原来的状况。又因为每次移动12张牌，所以至少移动108÷12=9（次）。 52. 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？ 18 / 33 解：爷爷70岁，小明10岁。提示：爷爷和小明的年龄差是6，5，4，3，2的公倍数，又考虑到年龄的实际情况，取公倍数中最小的。（60岁） 53. 某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？并将它们写出来。 解：11，13，17，23，37，47。 54. 在放暑假的8月份，小明有五天是在姥姥家过的。这五天的日期除一天是合数外，其它四天的日期都是质数。这四个质数分别是这个合数减去1，这个合数加上1，这个合数乘上2减去1，这个合数乘上2加上1。问：小明是哪几天在姥姥家住的？ 解：设这个合数为a，则四个质数分别为（a－1），（a＋1），（2a－1），（2a＋1）。因为（a－1）与（a＋1）是相差2的质数，在1～31中有五组：3，5；5，7；11，13；17，19；21，31。经试算，只有当a＝6时，满足题意，所以这五天是8月5，6，7，11，13日。 55. 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数。求这两个整数。 解：3，74；18，37。 提示：三个数字相同的三位数必有因数111。因为111＝3×37，所以这两个整数中有一个是37的倍数（只能是37或74），另一个是3的倍数。 19 / 33 56. 在一根100厘米长的木棍上，从左至右每隔6厘米染一个红点，同时从右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开。问：长度是1厘米的短木棍有多少根？ 解：因为100能被5整除，所以可以看做都是自左向右染色。因为6与5的最小公倍数是30，即在30厘米处同时染上红点，所以染色以30厘米为周期循环出现。一个周期的情况如下图所示： 由上图知道，一个周期内有2根1厘米的木棍。所以三个周期即90厘米有6根，最后10厘米有1根，共7根。 57. 某种商品按定价卖出可得利润960元，若按定价的80％出售，则亏损832元。问：商品的购入价是多少元？ 解：8000元。按两种价格出售的差额为960＋832=1792（元），这个差额是按定价出售收入的20％，故按定价出售的收入为1792÷20％=8960（元），其中含利润960元，所以购入价为8000元。 58. 甲桶的水比乙桶多20％，丙桶的水比甲桶少20％。乙、丙两桶哪桶水多？ 20 / 33 解：乙桶多。 59. 学校数学竞赛出了A，B，C三道题，至少做对一道的有25人，其中做对A题的有10人，做对B题的有13人，做对C题的有15人。如果二道题都做对的只有1人，那么只做对两道题和只做对一道题的各有多少人？ 解：只做对两道题的人数为（10＋13＋15） -25 -2×1＝11（人）， 只做对一道题的人数为25－11－1=13（人）。 60. 学校举行棋类比赛，设象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加两项。根据报名的人数，学校决定对象棋的前六名、围棋的前四名和军棋的前三名发放奖品。问：最多有几人获奖？最少有几人获奖？ 解：共有13人次获奖，故最多有13人获奖。又每人最多参加两项，即最多获两项奖，因此最少有7人获奖。 61. 在前1000个自然数中，既不是平方数也不是立方数的自然数有多少个？ 解：因为312＜1000＜322，103＝1000，所以在前1000个自然数中有31个平方数，10个立方数，同时还有3个六次方数（16，26，36）。所求自然数共有 1000－（31＋10）＋3＝962（个）。 21 / 33 62. 用数字0，1，2，3，4可以组成多少个不同的三位数（数字允许重复）？ 解：4*5*5=100个 63. 要从五年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体各一个，有多少种不同的评选结果？ 解：6*6*6=216种 64. 已知15120=24×33×5×7，问：15120共有多少个不同的约数？ 解： 15120的约数都可以表示成 2a×3b×5c×7d的形式，其中a=0，1，2，3，4，b=0，1，2，3，c=0，1，d=0，1，即a，b，c，d的可能取值分别有5， 4， 2， 2种，所以共有约数5×4×2×2=80（个）。 65. 大林和小林共有小人书不超过50本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？ 解：他们一共可能有0～50本书，如果他们共有n本书，则大林可能有书0～n本，也就是说这n本书在两人之间的分配情况共有（n＋1）种。所以不超过 50本书的所有可能的分配情况共有1＋2＋3…＋51=1326（种）。 66. 在右图中，从A点沿线段走最短路线到B点，每次走一步或两步，共有多少种不同走法？（注：路线相同步骤不同，认为是不同走法。） 22 / 33 解：80种。提示：从A到B共有10条不同的路线，每条路线长5个线段。每次走一个或两个线段，每条路线有8种走法，所以不同走法共有 8×10=80（种）。 67.有五本不同的书，分别借给3名同学，每人借一本，有多少种不同的借法？ 解：5*4*3=60种 68．有三本不同的书被5名同学借走，每人最多借一本，有多少种不同的借法？ 解：5*4*3=60种 69. 恰有两位数字相同的三位数共有多少个？ 解：在900个三位数中，三位数各不相同的有9×9×8＝648（个），三位数全相同的有9个，恰有两位数相同的有900—648—9=243（个）。 70. 从1，3，5中任取两个数字，从2，4，6中任取两个数字，共可组成多少个没有重复数字的四位数？ 23 / 33 解：三个奇数取两个有3种方法，三个偶数取两个也有3种方法。共有 3×3×4！=216（个）。 71. 左下图中有多少个锐角？ 解：C(11,2)=55个 72. 10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？ 解:c(10,2)-10=35种 73. 一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么可供21头牛吃几周？ 解：将1头牛1周吃的草看做1份，则27头牛6周吃162份，23头牛9周吃207份，这说明3周时间牧场长草207-162＝45（份），即每周长草15份，牧场原有草162－15×6＝72（份）。21头牛中的15头牛吃新长出的草，剩下的6头牛吃原有的草，吃完需72÷6＝12（周）。 74. 有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干， 10台抽水机需抽 8时，8台抽水机需抽12时。如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？ 解：将1台抽水机1时抽的水当做1份。泉水每时涌出量为 24 / 33 （8×12-10×8）÷（12-8）=4（份）。 水池原有水（10-4）×8＝48（份），6台抽水机需抽48÷（6-4）=24（时）。 75. 规定a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5。 解：2*3=(3+2)*3=15 15*5=(15+5)*5=100 76. 1！+2！+3！+…+99！的个位数字是多少？ 解：1！+2！+3！+4！=1+2+6+24=33 从5！开始，以后每一项的个位数字都是0 所以1！+2！+3！+…+99！的个位数字是3。 77（1）．有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号。在200个信号中至少有多少个信号完全相同？ 解：4*4*4=64 200÷64=3……8 所以至少有4个信号完全相同。 77. （2）在今年入学的一年级新生中有 370多人是在同一年出生的。试说明：他们中至少有2个人是在同一天出生的。 25 / 33 解：因为一年最多有366天，看做366个抽屉 因为370>366,所以根据抽屉原理至少有2个人是在同一天出生的。 78. 从前11个自然数中任意取出6个，求证：其中必有2个数互质。 证明：把前11个自然数分成如下5组 （1，2，3）（4，5）（6，7）（8，9）（10，11） 6个数放入5组必然有2个数在同一组，那么这两个数必然互质。 79. 小明去爬山，上山时每时行2.5千米，下山时每时行4千米，往返共用3.9时。小明往返一趟共行了多少千米？ 80. 长江沿岸有A，B两码头，已知客船从A到B每天航行500千米，从B到A每天航行400千米。如果客船在A，B两码头间往返航行5次共用18天，那么两码头间的距离是多少千米？ 解：800千米。 提示：从A到B与从B到A的速度比是5∶4，从A到B用 81. 请在下式中插入一个数码，使之成为等式： 26 / 33 1×11×111= 111111 解答：91*11*111=111111 82．甲、乙、丙三数的和是100，甲数除以乙数与丙数除以甲数的结果都是商5余1。问：乙数是多少？ 解：设乙数是x，那么甲数就是5x+1 丙数是5(5x+1)+1=25x+6 因此x+5x+1+25x+6=100 31x=93 x=3 所以乙数是3 83．12345654321×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1)是哪个数的平方 解：12345654321=111111的平方 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36=6的平方 所以原式=666666的平方。 84.某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位。问：这个剧院一共有多少个座位？ 解：第一排有70-24*2=22个座位 27 / 33 所以总座位数是(22+70)*25/2 =1150 85. 某城市举行小学生数学竞赛，试卷共有20道题。评分标准是：答对一道给3分，没答的题每题给1分，答错一道扣1分。问：所有参赛学生的得分总和是奇数还是偶数？为什么？ 解：一定是偶数，因为每个人20道题得分都分别是奇数，20个奇数的和一定是偶数。每个人的得分都是偶数，所以无论有多少参赛学生，参赛学生的得分总和一定是偶数。 86. 可以分解为三个质数之积的最小的三位数是几？ 解：102=2*3*17 87. 两个质数的和是39，求这两个质数的积。 解：注意到奇偶性可以知道这2个质数分别是2和37 它们的乘积是2*37=74 88. 有1，2，3，4，5，6，7，8，9九张牌，甲、乙、丙各拿了三张。甲说：“我的三张牌的积是48。”乙说：“我的三张牌的和是15。”丙说：“我的三张牌的积是63。”问：他们各拿了哪三张牌？ 解：63=7*1*9 所以丙拿的1，7，9 48=2*3*8 所以甲拿的2，3，8 4+5+6=15 因此乙拿的是4，5，6 28 / 33 89. 四个连续自然数的积是3024，求这四个数。 解：考虑末尾数字，1*2*3*4末尾是4 6*7*8*9末尾也是4 其他情况下末尾都是0 11*12*13*14=24024太大 6*7*8*9=3024刚好 所以这4个数是6，7，8，9 90. 证明：任何一个三位数，连着写两遍得到一个六位数，这个六位数一定能被7，11，13整除。 解：该数形如ABCABC=ABC*1001 1001=7*11*13 所以这个六位数一定能被7，11，13整除。 91．在1～100中，所有的只有3个约数的自然数的和是多少？ 解：4+9+25+49=87 92. 有一种电子钟，每到正点响一次铃，每过九分钟亮一次灯。如果中午12点整它既响铃又亮灯，那么下一次既响铃又亮灯是什么时间？ 29 / 33 解：[60,9]=180 180/60=3 下次是下午3点钟。 93. 有一个数除以3余2，除以4余1。问：此数除以12余几？ 解：除以3余2的数是2，5，8，11，14。。。。。。 除以4余1的数是1，5，9，。。。。。。 所以此数除以12余5 94. 把16拆成若干个自然数的和，要求这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？ 解：16=3+3+3+3+2+2 乘积是3*3*3*3*2*2=324 95. 小明按1～ 3报数，小红按1～ 4报数。两人以同样的速度同时开始报数，当两人都报了100个数时，有多少次两人报的数相同？ 解：每12次作为一个周期 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 30 / 33 每个周期两人有3次报的数一样 100=12*8+4 所以两个人有8*3+3=27次报的数相同。 96. 某自然数加10或减10皆为平方数，求这个自然数。 解：设这个数是x x+10=m^2 x-10=n^2 m^2-n^2=20 (m+n)(m-n)=20 m=6,n=4 所以x=6^2-10=26 97. 已知某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，整列火车完全在桥上的时间为80秒。求火车的速度和长度。 解：120秒行驶的距离是桥长+车长 80秒行驶的距离是桥长-车长 所以80(1000+车长)=120（1000-车长） 31 / 33 车长=200米 火车的速度是10米/秒 98. 甲、乙二人按顺时针方向沿圆形跑道练习跑步，已知甲跑一圈要12分，乙跑一圈要15分，如果他们分别从圆形跑道直径的两端同时出发，那么出发后多少分甲追上乙？ 解：(1/2)/(1/12-1/15)=(1/2)/(1/60)=30分钟 99. 甲、乙比赛乒乓球，五局三胜。已知甲胜了第一局，并最终获胜。问：各局的胜负情况有多少种可能？ 解：甲 甲 甲 甲 甲 乙 甲 甲 甲 乙 乙 甲 甲 乙 甲 甲 甲 乙 甲 乙 甲 甲 乙 乙 甲 甲 经枚举发现共有6种可能。 100. 甲、乙二人 2时共可加工 54个零件，甲加工 3时的零件比乙加工4时的零件还多4个。问：甲每时加工多少个零件？ 32 / 33 解：甲乙二人一小时共可加工零件27个 设甲每小时加工x个，那么乙每小时加工27-x个 根据条件得3x=4(27-x)+4 7x=112 x=16 答：甲每小时加工零件16个。 33 / 33
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