力学难题

（1）要使小物块不离开轨道，并从水平轨道DE滑出，求竖直圆弧轨道的半径应该满足什么条件?

（2）a.为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件?

b．按照“a”的要求，小物块进入轨道后可以有多少次通过圆轨道上距水平轨道高为0.01m的某一点。

m

M

24．（20分）如图所示，A、B两个小物体（可看成质点）的质量分别为2m、m，它们栓接在跨过定滑轮的细绳两端，

细绳不可伸长，且能承受足够大的拉力。B物体悬吊着静止时，A也静止在地面上，A、B与定滑轮轮轴之间的竖直距离分别为2l、l。现将B物体竖直向上提高距离l，再将其从静止释放。每次细绳被拉直时A、B速度的大小立即变成相等，且速度方向相反，由于细绳被拉直的时间极短，此过程中重力的作用可以忽略不计。物体与地面接触时，速度立即变为0，直到再次被细绳拉起。细绳始终在滑轮上，且不计一切摩擦。重力加速度为g。求 （1）细绳第一次被拉直瞬间绳对A冲量的大小； （2）A第一次上升过程距离地面的最大高度； （3）A运动的总路程。

24．（20分）如图所示，质量为M的长方形木板静止在光滑水平面上，木板的左侧固定一劲度系数为k的轻质弹簧，木板的右侧用一根伸直的并且不可伸长的轻绳水平地连接在竖直墙上。绳所能承受的最大拉力为T。一质量为m的小

1滑块以一定的速度在木板上无摩擦地向左运动，而后压缩弹簧。弹簧被压缩后所获得的弹性势能可用公式EPkx2计

2算，k为劲度系数，x为弹簧的形变量。

（1）若在小滑块压缩弹簧过程中轻绳始终未断，并且弹簧的形变量最大时，弹簧对木板的弹力大小恰好为T，求此情况下小滑块压缩弹簧前的速度v0；

（2）若小滑块压缩弹簧前的速度v0'为已知量，并且大于（1）中所求的速度值v0，求此情况下弹簧压缩量最大时，小滑块的速度；

（3）若小滑块压缩弹簧前的速度大于（1）中所求的速度值v0，求小滑块最后离开木板时，相对地面速度为零的条件。 24．（20分）如图12所示，A、B是两块竖直放置的平行金属板，相距为2l，分别带有等量的负、正电荷，在两板间

形成电场强度大小为E的匀强电场。A板上有一小孔（它的存在对两板间匀强电场分布的影响可忽略不计），孔的下沿右侧有一条与板垂直的水平光滑绝缘轨道，一个质量为m，电荷量为q(q0)的小球（可视为质点）， 在外力作用下静止在轨道的中点P处。孔的下沿左侧也有一与板垂直的水平光滑绝缘轨道，轨道上距A板l处有一固定档板，长为l的轻弹簧左端固定在挡板上，右端固定一块轻小的绝缘材料制成的薄板Q。撤去外力释放带电小粒，它将在电场力作用下由静止开始向左运动，穿过小孔后（不与金属板A接触）与薄板Q一起压缩弹簧，由于薄板Q及弹簧的质量都可以忽略不计，可认为小球与Q接触过程中不损失机械能。小球从接触 Q开始，经历时间T0第一次把弹簧压缩至最短，然后又被弹簧弹回。由于薄板Q的绝缘性能有所欠缺，使得小球每次离开Q瞬间，小

1球的电荷量都损失一部分，而变成刚与Q接触时小球电荷量的(k1)。求：

k （1）小球第一次接触Q时的速度大小；

（2）假设小球第n次弹回两板间后向右运动的最远处没有到达B板，试导出小球从第n次接触 Q，到本次向右运

动至最远处的时间T0的表达式；

（3）假设小球被第N次弹回两板间后向右运动最远处恰好到达B板，求N为多少。

24．如图所示，在光滑的水平长直轨道上，有一质量为M=3kg、长度为L=2m的平板车以速度v0=4m/s匀速运动。某

时刻将质量为m=1kg的小滑块轻放在平板车的中点，小滑块与车面间的动摩擦因数为μ=0.2,取g=10m/s2。 （1）若小滑块最终停在平板车上，小滑块和平板车摩擦产生的内能为多少？

（2）若施加一个外力作用在平板车上使其始终保持速度为v0=4m/s的匀速运动，当小滑块放到平板车中点的同时，

对该小滑块施加另一个与平板车运动方向相同的恒力F，要保证滑块不能从平板车的左端掉下，恒力F大小应该满足什么条件？

（3）在（2）的情况下，力F取最小值，要保证滑块不从平板车上掉下，力F的作用时间应该在什么范围内?

v0 23．（18分）图甲为竖直放置的离心轨道，其中圆轨道的半径r=0.10m，在轨道的最低点A和最高点B各安装了一个压力传感器（图中未画出），小球（可视为质点）从斜轨道的不同高度由静止释放，可测出小球在轨道内侧通过这两点时对轨道的压力FA和FB。g取10m/s2。

（1）若不计小球所受阻力，且小球恰能过B点，求小球通过A点时速度vA的大小；

（2）若不计小球所受阻力，小球每次都能通过B点，FB随FA变化的图线如图乙中的a所示，求小球的质量m； （3）若小球所受阻力不可忽略，FB随FA变化的图线如图乙中的b所示，求当FB=6.0N时，小球从A运动到B的过程中损失的机械能E。

23．（18分）有一个竖直固定在地面的透气圆筒，筒中有一劲度为k的轻弹簧，其下端固定，上端连接一质量为m的薄滑块，圆筒内壁涂有一层新型智能材料——ER流体，它对滑块的阻力可调。起初，滑块静止，ER流体对其阻力为0，弹簧的长度为L。现有一质量也为m的物体从距地面2L处自由落下，与滑块碰撞后粘在一起向下运动。为保证滑块做匀减速运动，且下移距离为

2mg时速度减为0，ER流体对滑块的阻力须随滑块下移而变。试求（忽略空气阻力）：（1）k下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能； （2）滑块下移距离d时ER流体对滑块阻力的大小。 （3）已知弹簧的弹性势能的表达式为EP碰撞后粘在一起向下运动

m L 2mg距离，速度减为零的过程中，ER流体对滑块的阻力所做的功。 km 12kx（式中k为弹簧劲度系数，x为弹簧的伸长或压缩量），试求：两物体22L