2019年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题2.9 幂函数、指数函数与对数函数(讲)(原卷版)

【最新考纲解读】

要 求 内 容 A B C √指数函数的图象与性质 函数概念与基本初等函数Ⅰ √幂函数 √对数函数的图象与性质 3．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 4．理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性． 5．了解幂函数的概念． 备注 1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 2．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数 函数的单调性，掌握指数函数图像的特征，知道指数函数是一重要的函数模型． 116．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图像，了解它 x2们的变化情况． 【考点深度剖析】

1.与指数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．

2.关于对数的运算近两年高考卷没有单独命题考查，都是结合其他知识点进行．有关指数函数、对数函数的试题每年必考，有填空题，又有解答题，且综合能力较高．

3.从近几年的新课标高考试题来看，幂函数的内容要求较低，只要求掌握简单幂函数的图像与性质．

【课前检测训练】 [判一判]

(1)函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大.( )

(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x(α>0)的增长速度.( )

α

(3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( ) (4)幂函数增长比直线增长更快.( )

(5)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中.( ) [练一练]

1．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为_______

2．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekxb(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是______

3．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次，每件利润增加2元.用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品.则获得利润最大时生产产品的档次是________. 【经典例题精析】

＋

考点1 幂函数的概念、图象与性质

【1-1】已知函数f(x)＝(m2－m－1)x函数？

【1-2】若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－5m－3

，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增

m2的图象不经过原点，则实数m的值为________．

424294949【1-3】设a(),b(),c()，则a，b，c的大小关系是________．

999【基础知识】

常用幂函数的图象与性质

12y＝x 图象 定义域 值域 R R y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x1 － R [0，＋∞) R R [0，＋∞) [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} {y|y∈R且

y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 x∈[0，＋∞)单调性 增 时，增； x∈(－∞，0]时，减 增 增 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 x∈(0，＋∞) 时，减； x∈(－∞，0)时，减 【思想方法】

1.判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）幂系数为1.

2..幂函数y＝xα的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：

(1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．

(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．

【温馨提醒】在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性

进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键.

考点2 指数函数的概念、图象与性质

【2-1】若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________. 【2-2】设f(x)＝|3x－1|，cf(a)>f(b)，由在关系式①3c>3b；②3b>3a；③3c＋3a>2；④3c＋3a<2中一定成立的是 .

【基础知识】

y＝ax a>1 00时，y>1；x<0时，00时，01 在(－∞，＋∞)上是减函数 【思想方法】

指数函数的底数中若含有参数，一般需分类讨论．指数函数与其他函数构成的复合函数问题，讨论复合函数的单调性是解决这类问题的重要途径之一．求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．

【温馨提醒】一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相应的指数型函数图象利用数形

结合求解．

考点3 对数函数的概念、图象与性质

【3-1】已知f(x)＝loga(x＋1)(a>0且a≠1)，若当x∈(－1，0)时，f(x)<0，则f(x)在定义域上单调性是 .

【3-2】已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)． (1)求f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的单调性．

【3-3】已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

【基础知识】

图像 定义域 值域 定点 单调性 函数值正负 (0，＋∞) R 过点(1,0) 在(0，＋∞)上是增函数 当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00 a>1 0利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．

【温馨提醒】

解决对数型函数、对数型不等式问题,一定要注意定义域优先原则.

【易错问题大揭秘】

由幂函数的函数值大小求参数的范围问题，一般是借助幂函数的单调性进行求解，一定要具体问题具体分析，做到考虑问题全面周到． 如：若a1232a，则a的取值范围是 ．

222【分析】由yx的图象关于y轴对称知，函数yx在0,上是减函数，在,0上

是增函数．因为a1232a032a02或a10或 32a，所以a1032aa132aa132a032a02或，解得或a或a1或a4，所以1aa10a10332aa132aa12a的取值范围是,11,34,．

【易错点】本题容易只考虑到a1，32a在同一单调区间的情况，不全面而致误． 【练一练】 已知幂函数f(x)＝x(m2

＋m)－1

(m∈N＋)，经过点 (2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f

(a－1)的实数a的取值范围。