维普资讯 http://www.cqvip.com 第３８卷第４期 西 安 建 筑 科技 大 学 学 报（自然科学版） Ｖ０１．３８ Ｎｏ．４ ２００６年８月 Ｊ．Ｘｉ’ａｎ Ｕｎｉｖ．ｏｆ Ａｒｃｈ．＆Ｔｅｃｈ．（Ｎａｔｕｒａ１ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉ０ｎ） Ａｕｇ．２００６ 基于集中损伤力学的钢筋混凝土 框架结构非线性分析 喻磊，姚谦峰，张荫 （西安建筑科技大学土木工程学院，陕西西安７１００５５） 摘耍：连续体模型适用于一些相对简单的结构，对于许多工程结构分析来说，连续介质力学并没有提供适宜 的理论框架．介绍了采用集中损伤力学方法进行钢筋混凝土框架结构非线性分析的基本框架．该方法可用于 描述混凝土开裂导致构件刚度退化等不可逆过程．对于构件端部的非弹性铰，使用了半耦合的损伤函数与屈 服函数．通过编制的非线性有限元程序分别对反复荷载作用下梁柱节点及两构件框架结构的受力性能进行 数值模拟，计算结果与试验数据吻合较好． 关■词：集中损伤力学；集中耗散假设；损伤函数；钢筋混凝土框架；非线性分析 中圈分类号：ＴＵ３１７ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００６—７９３０（２００６）０４—０５１８—０５ 连续体模型适用于一些相对简单的结构，对于许多工程结构分析来说，连续介质力学并没有提供适 宜的理论框架口 ］．集中塑性模型假设结构构件的不可恢复变形集中于某些称之为“塑性铰”的特殊位 置．通过引入该模型，塑性理论已经成功地应用于框架结构的非线性分析［３ ］．实际上，在外荷载作用下， 钢筋混凝土（ＲＣ）构件弯曲内力较大的区段会发生混凝土开裂而导致构件刚度退化等不可逆过程，采用 集中塑性模型描述这些响应明显存在不足．集中损伤力学的基本思想是将连续介质损伤力学、断裂力学 和塑性铰概念结合在一起，为地震荷载、疲劳荷载、冲击及爆炸荷载作用下框架结构的非线性分析提供 一个基本框架．近年来，国外的一些学者基于集中损伤力学将集中塑性模型加以推广，使之可以描述结 构构件的损伤过程 ］．简要介绍平面框架结构的几何方程与平衡方程，然后基于集中损伤力学给出钢 筋混凝土构件弹塑性损伤本构方程，最后通过编制的有限元程序对反复荷载作用下梁柱节点及两构件 框架结构的受力性能进行数值模拟，以验证采用该方法实施ＲＣ框架结构非线性分析的有效性． １ 平面框架结构平衡方程 １．１变量的定义 平面框架结构由在Ｙ／个结点上连接的 个构件组 吐 成．在Ｃａｓｔｅｓｉａｎ直角坐标系（Ｘ，ｙ）内，以Ｕ１，Ｕ２表示 节点ｉ在Ｘ，ｙ方向上的平动位移，Ｕ。表示结点ｉ的转 ｌ一 墨 Ｊ ｘ＿ 动，则结构内任一结点ｉ的广义位移为｛Ｕ｝：＝（Ｕ ，Ｕｚ， ———— Ｕ。），整个框架结构的广义位移为｛Ｕ｝ ＝（｛Ｕ｝ｊ，｛Ｕ｝；， …，｛己，｝：），进而结点ｉ， 之间构件ｂ的广义位移为 ｛己，｝：＝（｛Ｕ｝：，｛己，｝：）．同理，平面框架结构的广义外荷 载可表示为｛Ｐ｝ ＝（（Ｐ ，Ｐｚ，Ｐ。），…，（Ｐ。 ，Ｐ。 ， 收稿日期：２００６・０３・２４ 基金项目：国家十五科技攻关项目资助（２００２ＢＡ８０６Ｂ０５）；陕西省重点试验室项目资助（Ｏ２ＪＳ２８） 作者筒介：喻 磊（１９７５一），男，陕西，西安人，讲师，博士研究生，主要从事工程结构分析与研究工作． 维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期 喻磊等：基于集中损伤力学的钢筋混凝土框架结构非线性分析 ５１９ Ｐ。 ），…，（户。 一ｚ，Ｐ。 一 ，Ｐ。 ）），其中Ｐ。 ，Ｐ。Ｈ表示作用于结点ｉ上的集中力；Ｐ。 表示作用于结点 上的 弯矩． 如图１所示，采用局部坐标系（ ， ），令 轴与构件ｂ中性轴重合，以 与 表示构件两端的弯曲 转角，△表示构件伸长，则构件的广义变形为｛声｝：一｛ ， ，△）．与构件广义变形对应的广义应力可由矢 量｛Ｍ｝：一｛ ， ｚ， ）表示，分量 ， 表示 平面内构件ｂ两端的弯矩， 表示轴力． １．２几何方程与平衡方程 采用上述符号系统，小变形时任一构件ｂ的广义位移与广义应变关系如下： 一手手 一手手０ ｛声｝ 一ＥＢ（ｔ）－］ ｛Ｕ｝ ＥＢ］一 一手一手０手一手 （１） 一ｃ —ｓ ０ ｃ ｓ ０ ● 一 ｒ式中；ｓ：ｓｉｎ０；ｑｕａｄｃ＝ｃｏｓ０￣０表示（Ｘ，ｙ）坐标系内构件倾斜角． 由虚功率原理可得平面框架结构静力平衡方程： ∑［Ｂ］：｛Ｍ｝ 一｛Ｐ｝ （２） ２ 本构方程 ／Ｉｎｅｌａｓｔｉｃｈｉｎｇｅｓ＼ ２．１集中在强烈外荷载作用下，ＲＣ构件将发生混凝土开裂，钢筋 冀 璺 。 ．．Ｉ． ＿／＝ 屈服流动等能量耗散现象．采用集中耗散假设，构件由弹性梁 图２构件两端的非弹性铰 单元与位于两端零长度的非弹性铰构成，如图２所示．假定所 Ｆｉｇ．２ Ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｈｉｎｇｅｓ ｉｎ ａ ｆｒａｍｅ ｍｅｍｂｅｒ 有能量耗散均集中于非弹性铰，则对应于ＲＣ构件钢筋屈服产生的塑性转角，引入塑性应变列阵｛ ｝： 一｛ ， ， ｝．进而采用与文献Ｅ５］相同的方法，引入第二组损伤内变量｛ｄ ，ｄ ，ｄ ｝以描述构件混凝土 开裂导致的非弹性响应． 以［ （Ｍ））］ 表示（ ， ）坐标系内弹性梁单元柔度矩阵，则构件ｂ的变形为： ｛声｝ 一ＥＦ（Ｍ）］ ｛Ｍ｝ ＋｛ ｝ ＋｛ ｝ （３） 公式（３）右边第三项表示由于损伤引起的广义变形｛ ）：一｛ ， ， ｝． 损伤构件的状态方程为： ｛声） 一｛ ） ＝［Ｆｄ（Ｄ，Ｍ）］ ｛Ｍ） ＥＦ＂（Ｄ，Ｍ）３ 一［ （Ｍ）］ ＋ＥＣ（Ｄ））］ （４ａ，６） （１ｄ 一 ）Ｓ ００ ＥＣ（Ｄ）］ 一 ０ （１－－ｄｊ）＇ｓ２２ ０ （５） ０ 式中的［Ｃ（Ｄ）］表示混凝土开裂引起的对角柔度矩阵，关于该矩阵详细的讨论参见文献Ｅ６］．可以观察 到，损伤演化时构件柔度增加，这样就描述了由混凝土开裂引起的构件刚度退化现象． ２．３共轭热力学力 损伤构件的应变余能Ｕ 为： 维普资讯 http://www.cqvip.com ５２０ 西安建筑科技大学学报（自然科学版） 第３８卷 Ｕ’（Ｍ，Ｄ）＝÷｛Ｍ｝ ＥＣ（Ｄ）３｛Ｍ｝＋ｗ 式中Ｗ’表示弹性梁单元应变余能．从而得出与损伤变量共轭的热力学力： ＝一 （６） ＯＵ＂一志［ ］。 （７） ｃｉ＝一 ＯＵ＂一一 一一 ＯＵ＊一壶［ ］。 志［ ］。 一由热力学第一、二定律可以导出本构方程的一些基本限制 ．当加载速率不大、材料导热性能良好 以及损伤区接近构件表面时，构件内各点温差不致太大，忽略温度梯度的影响，可得： ∑（一Ｇｋｄ ＋ ｆ）≥０ ２．４屈服函数与损伤函数 （８） 文献［７－１建议的ＲＣ构件非弹性铰半耦合的屈服函数，和损伤函数ｇ为： ，＝ｌＭ一（高 ｌ＿４（ １－ｄ） ｇ＝Ｇ＿［Ｇｃｒ＋ｇ ］ 接计算： Ｍ—Ｍｏ 一０ ａｎｄ ｇ－－０ （９） （１ｏ） 式中：ｃ，Ｍｙ，Ｇ ｑ为ＲＣ构件非弹性铰特性参数．这些参数没有确切的物理含义，可通过下列方程组间 （１ｌａ） Ｍ＝Ｍｐ Ｍ＝ ＝０；ｆ－－０ ａｎｄ ｇ－－０＝ ａｎｄ，＝０ （１ｌｂ） （１ｌｃ） （１ｌｄ） Ｍ＝Ｍｕ ｄＭ＝０ ａｎｄ ｇ－－０ 式中：Ｍｃ 为构件开裂弯矩；ＭＤ为构件屈服弯矩；Ｍｕ为构件极限弯矩； 为达到构件极限弯矩时的塑性 转角；ｄＭ表示弯矩Ｍ的微小增量．参数Ｍｃ ，ＭＤ，Ｍ ，批可以通过钢筋混凝土理论得到 ． ３ 数值计算方法 两个连续时刻之间平衡方程（２）的求解称为整体问题，采用Ｎｅｗｔｏｎ—Ｒａｐｈｓｏｎ方法求解．其中各迭 代子步需要如下线性问题的解答： ｝＋［ ］｛Ｕ｝＝ ｕ０｝：。 （１２） 式中，｛ ｝表示上一迭代步得到的位移列阵；｛Ｌ，｝表示当前迭代将要计算出的位移列阵．为了建立残余 列阵｛Ｌ｛ ｝｝及其Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵，需要计算所有构件的广义力｛Ｍ｝ 和其对整体切向刚度矩阵的贡献． 该计算称为局部问题，需要采用强健的本构积分算法．文献Ｅｌｏ－Ｉ总结了这类主要的方法．本文采用完全 隐式的图形返回算法，包括一个初始弹性预测步，以及塑性调整步使应力返回到更新后的屈服表面． ４ 算例验证 ４．１ 反复荷载作用下梁柱节点计算分析 ＲＣ梁柱节点试件及加载方案如图３所示．考虑到结构对称性，采用如图４所示的集中耗散模型．构 件截面参数为：４ＥＩ／Ｌ一３ ２８６ ｋＮ・ｍ；Ｍ 一１６．２９ ｋＮ・ｍ；Ｍ 一１１．５０ ｋＮ・ｍ；Ｍｏ 一０．０ ｋＮ・ｍ； 一 ０．１７４ ８．依据２．４节介绍的方法计算参数ｃ，Ｍｙ，Ｇ ｑ的数值后，即可确定非弹性铰的屈服函数与损伤 维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期 喻磊等：基于集中损伤力学的钢筋混凝土框架结构非线性分析 Ｚ）Ｉ，ｐＢ０ ５２１ 函数．程序计算结果与试验结果示于图５． Ｊｌ 图３ 梁柱节点试件及加载方案 Ｆｉｇ．３ Ｓｐｅｃｉｍｅｎ ａｎｄ ｌｏａｄｉｎｇ ｈｉｓｔｏｒｙ ｏｆ ａ ｂｅａｍ—ｃｏｌｕｍｎ ｊｏｉｎｔ ：！ 上 图４ 试件集中耗散模型 Ｆｉｇ．４ Ｌｕｍｐｅｄ ｄｉｓｓｉｐａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉｍｅｎ Ｚ芒８‘０ 图５ 梁柱节点数值计算结果与试验结果 Ｆｉｇ．５ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｅｓｔｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ａ ｂｅａｍ—ｃｏｌｕｍｎ ｊｏｉｎｔ ４．２反复荷载作用下两构件框架结构计算分析 图６所示为两构件框架结构试件及加载方案．构 件截面参数为：４ＥＩ／Ｌ一１７，７３３ ｋＮ・ｍ；Ｍｕ一３１．３３ Ｐ －－－－－－－● ｋＮ・ｍ；Ｍｐ一２７．１７ ｋＮ・ｍ；Ｍｃ 一８．４９ ｋＮ・ｍ； ＝２１．０３×１０～．程序计算结果与试验结果示于图７． ● ｌ Ｑ：笪 』Ｑ：笪 』 图６框架试件及加栽方案 Ｆｉｇ．６ Ｆｒａｍｅ ｓｐｅｃｉｍｅｎ ａｎｄ ｌｏａｄｉｎｇ ｈｉｓｔｏｒｙ 采用自行编制的非线性有限元程序，分别对反复 荷载作用下梁柱节点、两构件框格结构的受力性能进 行了数值模拟．由图５、７可看出理论计算结果与试验 数据吻合较好．两个算例均采用了控制荷载的加载方法．在极限荷载附近，位移增长迅速，迭代次数达到 了它的最大限值（１ｉｍｉｔ＝２００），表明结构已经达到它的极限承载能力．算例１使用的模型参数值直接取 自试验测试结果，所以计算出的极限承载力与试验值相同．对于算例２，采用了文献［１０］的方法计算构 件截面参数 ， ，Ｍ ， ，这些值较为保守，因此数值模拟得出的极限承载力稍低． Ｄｉｓｐ．／ｍｍ （ａ）ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ （ｂ）ｔｅｓｔｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔｓ ｂｙ Ｃｉｐｏｌｌｉｎａ ｅｔ ａ１． 图７ 梁柱节，占＇数值计算结果与试验结果 Ｆｉｇ．７ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｅｓｔｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ａ ｂｅａｍ—ｃｏｌｕｍｎ ｊｏｉｎｔ 维普资讯 http://www.cqvip.com ５２２ 西安建筑科技大学学报（自然科学版） 第３８卷 ５ 结 论 通过编制的有限元程序分别对反复荷载作用下梁柱节点及两构件框架结构的受力性能进行了数值 模拟，理论计算结果与试验数据吻合较好，表明采用基于集中损伤力学的方法实施ＲＣ框架结构非线性 分析具有较高的精确度．循环荷载作用时，反向加载将引起作用于铰上的广义应力改变方向，应该引入 新的内变量与损伤函数加以描述，该研究工作正在进行当中． 参考文献Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ Ｅ１］ＬＥＭＡＩＴＲＥ Ｊ．Ａ ｃｏｕｒｓｅ ｏｎ ｄａｍａｇｅ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，１９９２． ［２３张行，赵军．金属构件应用疲劳损伤力学［Ｍ］．北京：国防工业出版衽，１９９８． ＺＨＡＮＧ Ｘｉｎｇ，ＺＨＡＯ Ｊｕｎ．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｆａｔｉｇｕｅ Ｄａｍａｇｅ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｏｆ Ｍｅｔａｌｌｉｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｍｅｍｂｅｒｓ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＮＤＩＰ， １９９８． ［３３ ＴＡＫＩＺＡＷＡ Ｈ，ＡＯＲＡＭＡ，Ｈ．Ｂｉａｘｉａｌ ｅｆｆｅｃｔｓ ｉｎ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ Ｒ／Ｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ［Ｊ］．Ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ Ｅｎｇｎｇ Ｓｔｒｕｃｔ．Ｄｙｎ．，１９７６（４）：５２３—５５２． ［４］ ＢＡＨＮ Ｂ Ｙ，ＨＳＵ Ｃ Ｔ Ｔ．Ｃｙｃｌｉｃａｌｌｙ ａｎｄ ｂｉａｘｉａｌｌｙ ｌｏａｄｅｄ ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｓｌｅｎｄｅｒ ｃｏｌｕｍｎｓ［Ｊ］．ＡＣＩ Ｓｔｒｕｃｔ．Ｊ．， １９９７（３）：４４４－４５４． ［５］ ＭＡＲＡＮＴＥ Ｍ Ｅ，ＦＬＯＲＥＺ—ＬＯＯＰＥＺ Ｊ．Ｔｈｒｅｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｆｒａｍｅｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｌｕｍｐｅｄ ｄａｍａｇｅ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｌｉｄｓ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２００３（４０）：５１０９—５１２３． ［６３ ＦＬＯＲＥＺ—ＬＯＰＥＺ Ｊ．Ｆｒａｍｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｄａｍａｇｅ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ［Ｊ］．Ｊ．Ｅｕｒ．Ｍｅｃｈ．，１９９８，１７（２）：２６９—２８４． ［７３ ＭＡＲＡＮＴＥ Ｍ Ｅ，ＦＬＯＲＥＺ・ＬＯＰＥＺ Ｊ．Ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｄａｍａｇｅ ｆｏｒ ＲＣ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｓｕｂｊｅｃｔｅｄ ｔｏ ｂｉａｘｉａｌ ｂｅｎｄｉｎｇ［Ｊ］．Ｅｎｇｎｇ． Ｓｔｒｕｃｔ．，２００２，２４（９）：１１４１—１１５２． Ｅ８］ ＣＩＰＯＬＬＩＮＡ Ａ，ＬＯＰＥＺ—ＩＮＯＪＯＳＡ Ａ，ＦＬＯＲＥＺ—ＬＯＰＥＺ Ｊ．Ａ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ ｄａｍａｇｅ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｆｒａｍｅｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔ．Ｓｔｒｕｃｔ．，１９９５，５４（６）：１１１３—１１２６． ［９３ ＰＡＲＫ Ｒ，ＰＡＵＬＡＹ Ｔ．Ｐａｕｌａｙ．Ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ Ｃｏｎｃｒｅｔｅ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ。１９７５． ＥｌＯ］ ＳＩＭＯ Ｊ Ｃ，ＨＵＧＨＥＳ Ｔ Ｊ Ｒ．Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｉｎｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ，１９９８． （编辑 白茂瑞） Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｆｒａｍｅｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｌｕｍｐｅｄ ｄａｍａｇｅ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｙＵ Ｌｅｉ，ＹＡＯ Ｑｉａｎ—ｆｅｎｇ，ＺＨＡＮＧ Ｙｉｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇ．，Ｘｉ’ａｎ Ｕｎｉｖ．ｏｆ Ａｒｃｈ．＆Ｔｅｃｈ．，Ｘｉ’ａｎ ７１００５５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｍｏｄｅｌｓ ｃａｎ ｂｅ ｕｓｅｄ ｆｏｒ ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ ｓｉｍｐｌｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．Ｉｎ ｍａｎｙ ｒｅａｌ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｄｏ ａｓ ｎｏｔ ｐｒｏｖｉｄｅ ａ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｆｒａｍｅｗｏｒｋ．Ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｆｒａｍｅｗｏｒｋ ｆｏｒ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｆｒａｍｅｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｌｕｍｐｅｄ ｄａｍａｇｅ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．Ｉｔ ｃａｎ ｂｅ ｕｓｅｄ ｆｏｒ ｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｃｒａｃｋｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓ ｗｈｉｃｈ ｉｎｄｕｃｅｓ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｍｅｍｂｅｒ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｄｅｇｒａｄａｔｉｏｎ．Ｈａｌｆ－ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｄａｍａｇｅ ａｎｄ ｙｉｅｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ａ・ ｄｏｐｔｅｄ ｆｏｒ ｎｏｎ－ｅｌａｓｔｉｃ ｈｉｎｇｅｓ ａｔ ｔｈｅ ｅｎｄｓ ｏｆ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｍｅｍｂｅｒｓ．Ｗｉｔｈ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｐｒｏｇｒａｍ，ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｅｖａｌｕａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｂｅａｍ－ｃｏｌｕｍｎ ｊｏｉｎｔ ａｎｄ ｔｗｏ ｍｅｍｂｅｒ ｆｒａｍｅ ｓｐｅｃｉｍｅｎｓ ｕｎｄｅｒ ｒｅｖｅｒｓｉｂｌｅ ｌｏａｄｉｎｇ．Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｇｏｏｄ ａｇｒｅｅｍｅｎｔ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｅａｓｕｒｅｄ ｒｅｃｏｒｄｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｌｕｍｐｅｄ ｄａｍａｇｅ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ；ｌｕｍｐｅｄ ｄｉｓｓｉｐａｔｉｏｎ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ；ｄａｍａｇｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｆｒａＩｎｅ； ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ａｎａｌｙｓｉｓ Ｂｌｏｇｒａｐｈｙ：ＹＵ Ｌｅｉ，Ｃａｎｄｉｄａｔｅ ｆｏｒ Ｐｈ．Ｄ．，Ｘｉ’ａｎ ７１００５５，Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ，Ｔｅｌ：００８６—２９—８２２０２８７６，Ｅ－ｍａｉｌ：ｙｕ＠ｘａｕａｔ．ｅｄｕ．ｃｎ