安徽省蚌埠市怀远县2013届高三联考(数学理)

数学试卷(理科)

(总分：150分，时间：120分钟)

本试卷分第Ⅰ卷 （选择题）和第Ⅱ卷 (非选择题)两部分

一、选择题。(本题共10小题，每小题5分，共计50分) 1．已知复数1＋i43i的虚部是( ) A．

125i

B．

125 C．125 D．125i

2．已知全集UR,集合Ax| y＝2xx2，集合By| y2x ,xR，则BCUA( A．x|x2

B．x|0x1 C．x|1x2 D．x|x0

3．已知f(x)log2x x0f(x1) x0,则f(11)( )

4 A．2 B．

12

C．－2 D．－

12

4．设向量a,b满足：|a|2,ab32,|ab|22,则|b|( )

A．

12 B．1

C．

32 D．2

5．已知为第二象限角，sincos33,则cos2( )

A．

－53 B．－59 C．

59 D．

53

6．下列命题中错误的是( )

A．命题：“若x25x60,则x2”的逆否命题是“若x2,则”

x25x60

B．已知命题P和q，若PVq为假命题，则命题P与q中必一真一假。

C．对于命题P:xR，使得x2x10,则P：xR,均有x2x10。

D．“x1”是“1x1”的充分不必要条件。

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7．设奇函数f(x)在(0,)上为单调递减，且f(2)0,则不等式

A．（－,2］(0,2］

3f(x)2f(x)5x0的解集为（ ）

B．(－2，0］［2，＋］ D．［－2，0)(0，2］

C．(－,2］［2，＋）

8.下列函数图象是一个函数与其导函数在同一个坐标系中的图象，其中一定错误的是( )

9．定义在(,0)(0,)上的函数f(x),如果对任意给定的等比数列an,f(an)仍是等比数列，称

f(x)为“保等比数列函数”，现有定义在(,0)(0,)上的如下函数：

①f(x)x2②f(x)2x③f(x)( )

A．①②

B．③④

|x|④f(x)ln|x|，则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为

C．①③

sin2

2 a6D．②④

1，当n10时，数列an的前n项和

10．等差数列an的公差d(0,1)，且

a2sinsin(a2a6)Sn取得最小值，则首项a1的取值范围为( )

A．(58,916) B．［58,961］ C．［－

54,98］ D．(54,98)

二、填空题(每小题5分，共计25分) 11、计算定积分(xsinx)dx112

12、在△ABC中，M是边BC上的点，N为AM中点，ANABuAC,则u 13、设等比数列an的前n项和为Sn()a2012，则a＝

n1314、已知函数f(x)2sin(wx)(w0),若f(2x3)0,f(2)2则实数w的最小值为

15、某同学在研究函数f(x)xe的性质时，得到如下的结论： ①f(x)的单调递减区间是(2,0)；

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②f(x)无最小值，无最大值

③f(x)的图象与它在（0，0）处切线有两个交点 ④f(x)的图象与直线xy20120有两个交点 其中正确结论的序号是

三．解答题。（本题共6小题，共75分） 16、(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xoy中，已知点A（－1，－2），B（2，3），C（－2，－1）。 (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长 (2)设实数t满足(ABtOC)OC0，求t的值

17.（本小题满分12分）

已知三角形的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量m(2ac ，b)，若m//n。 n(cosC，cosB)，(1)求角B的大小；

(2)若△ABC的面积为3，求AC边的最小值，并指明此时三角形的形状。

18．（本小题满分12分）

0已知函数f(x)Asin(x)(xR，0 ，2)的

部分图象如图所示 (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数g(x)f(x12)f(x12)的单调递增区间。

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19．（本大题满分12分）

已知数列an的前n项和Sn满足：Snt(Snan1) (t0) ,且4a3是a1与2a2的等差中项。 (1)求t的值及数列an的通项公式； (2) 设bn

20．（本小题满分13分）

已知函数f(x)ax2＋1(a0)，g(x)x3bx.

(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值； (2)当a4b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间( ， －1]上的最大值。

21．（本小题满分14分） 已知函数f(x)ax1n(1x) (1)当a4522n1an，求数列bn的前n项和Tn。

2时，求函数f(x)在(0 ， ＋)上的极值；

2(2)证明：当x＞0时，1n(1x)x； (3)证明：(1

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124)(1134)(11n4)e(nN，n2，其中e为自然对数的底数）

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数学(理科)参考答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 题号 答案 1 A 2 A 3 C 4 B 5 A 6 B 7 D 8 C 9 C 10 C 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11、

23 12、

12 13、－2012 14、3 15、①④

三、解答题(本大题共6小题，共75分) 16、(本题满分12分)

解析(1)由题设知AB(3,5),AC(-1,1)，则ABAC(2,6),AB－AC(4,4).所以

210.…………………6分 |ABAC|210,|ABAC|42.故所求的两条对角线的长分别为42，(2)由题设知

OC(2，1).ABtOC(32t,5t).由(ABtOC)OC0得(32t,5t)(2,1)0,5t11，所以t115从而

.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分

17、(本小题满分12分)

解：(1)m(2ac,b),n(cosC,cosB)

m//n,(2ac)cosBbcosC

由正弦定理得：(2sinAsinC)cosBsinBcosC 整理得：2sinAcosBsinCcosBsinBcosC 即2sinAcosBsin(BC)sinA

sinA0, cosB12 0B B3,B23„„„„„„„„„„„„„„6分

(2)由已知得：SABC2212acsinB23,ac4

2由余弦定理，bac2accosBacac2acac4 当且仅当“ac”时，上式取等号。

AC的最小值为2，此时三角形为等边三角形。„„„„„„„„„„„„12分

18、(本题满分12分)

解析(Ⅰ)由题设图象知，周期T2(1112512)，所以2T2，因为点(512,0)在函数图象

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上，所以Asin(2又因为02512)0，即sin(56565643)0.

,所以，从而

56，即6.

又点（0，1）在函数图象上，所以Asin61，得A=2.

故函数f(x)的解析式为f(x)2sin(2x)(Ⅱ)g(x)2sin[2(x12))

6.„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

6]2sin[2(x12)6]

＝2sin2x2sin(2x13＝2sin2x2(sin2x232cos2x)

＝sin2x＝2sin(2x由2k23cos2x

3).

2x32k2，得k1212xk512512,kZ.

所以函数g(x)的单调递增区间是[k19、(本题满分12分)

,k],kZ.„„„„„„„„„„„„„„„„12分

解(Ⅰ)当n1时，S1t(S1a11)，所以a1t， 当n2时，Snt(Snan1) ① Sn1t(Sn1an11)， ② ①－②，得antan1，即

anan1t.

n1nt………………4分 故an是首项a1t，公比等于t的等比数列，所以antt23故a2t,a3t

32由4a3是a1与2a2的等差中项，可得8a3a12a2即8tt2t

2因t0，整理，得8t2t10，即(2t1)(4t1)0，

解得t12或t14（舍去），所以t12，故an1n1()n.…………6分 22第6页（共9页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司

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(Ⅱ)由(Ⅰ)，得bn2n1ann(2n1)2，

所以Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n， ③

2Tn325272(2n1)2(2n1)2234nn1， ④

③－④，得Tn322(22232n)(2n1)2n1 ……………………8分

222122nn1n2n1n1＝62(2n1)222(2n1)22(2n1)211分

所以Tn2(2n1)2n1.…………12分 20、(本题满分13分)

解析(Ⅰ)f(x)2ax,g(x)3x2b.

因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线， 所以f(1)g(1),且f(1)g(1). 即a11b,且2a3b.

解得a3,b3.„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 (Ⅱ)记h(x)f(x)g(x).当b3214a时，

2h(x)xax214ax1421,

2h(x)3x2axa.a2a6令h(x)0,得x1,x2.

a0时，h(x)与h(x)的情况如下：

x h(x) h(x) (,a2) a2 (a2,a6) a6 （a6,） ＋ 0 0 + 第7页（共9页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司

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所以函数h(x)的音调递增区间为(,当a2a2)和(a6,)；单调递减区间为(a2,a6).

1,即0a2时，函数h(x)在区间(,1]上单调递增，h(x)在区间(,1]上的最大值为

14a.

a61，即2a6时， a22h(1)a当a21，且函数h(x)在区间(,h(a2a6)1.

在区间()内单调递增，

a2,1]上单调递减，h(x)在区间(,1]上的最大值为

当1，即a6时，

a2)内单调递增，在区间(14a2函数h(x)在区间(,因h(a2a2,a6)内单调递减，在区间(a6,1]上单调递增，又

)h(1)1a14(a2)20.

)1.„„„„„„„„„„„„„„13分

所以h(x)在区间(,1]上的最大值为h(21、（本题满分14分）

a2第8页（共9页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司

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(1)a45f(x)2x1x245xln(1x)4x10x45(1x)222f(x)45由f(x)0 得x112,x2211f(x)在(0 , )，(, 2 )，(2 ， ＋)221258f(x)极大值＝f()ln,f(x)极小值＝f(2)ln55分2545(2)令g(x)xln(1x)g(x)12x1x222(x1)1x20g(x)在(0,＋)g(x)g(0)0ln(1x)x9分(3)由(2)得ln(x1)x取x12222,1132,1n2ln(1(1122)ln(1413)(141314)ln(141n41n)4122132＋1n21121231n(n1)11n1

)(14)(14)e14分第9页（共9页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司