第23卷第2期2006年6月经济数学MArIHEMArⅡCSINECONOMICSV01．23No．2Jun．2006股票期权VaR的一种计算方法史雅茹金朝嵩(重庆大学数理学院，400044)摘要本文提出一种运用IJa—ace分布来计算股票期权V媪的新方法．首先对股票价格的运动规律进行理论和实证分析，表明利用I丑place分布来来拟合股票的对数收益率是合理的，然后在此基础上推导了股票期权v扭的计算公式，最后给出了算例．关键词股票期权，V扭(在险价值)，州ace分布1．引言vaR，英语value．at—Risk的缩写，意为在险价值．以燃为主的现代金融风险的评估、管理方法，是在金融风险不断加大，其结构成分复杂，且难以度量、分析和控制的背景下，逐步建立和发展起来的．vaR方法试图用一个数据来评价金融投资组合的总风险，它可以将不同市场因子、不同资产组合的风险集成加总，充分考虑各种风险来源的相互作用，能够较好地反映金融市场风险复杂结构问的动态影响，得到较为准确的风险暴露估计，这是VaR方法最大的优点．所谓v扭[1]，是指在给定的置信水平和一定的持有期内，某巷资产或组合的最大预期损失．可表式为：pmb(△p>VaR)=1一口其中，△p为资产或投资组在持有期内的损失，a为给定的置信水平(置信度)．V扭有绝对VaR和相对VaR两种表达形式．设某一投资组合的初始投资额为耽，经过一个投资周期(把一个投资周期看作单位时间)后，组合的价值变为形=矾(1+；)．因为存在风险，所以投资回报率；和组合价值谚都是随机变量．记口和仃分别是r的数学期望值(概率平均值)和波动率(单位时间内的标准差)，记E(形)为形的预期概率值．在一定的持有期内和置信水平c(通常取值为95％一99．9％)下，其最小价值设为形。，且形。=砜(1+r‘)，则：VaR鲍对=砜一形‘，VaR相对=E(形)一形+本文使用的是绝对v媪．本文提出一种运用I即lace分布来计算股票期权vaR的新方法．首先对股票价格的运动规律进行理论和实证分析，表明利用I绅lace分布来拟合股票的对数收益率是合理的，然后在此基础上推导了股票期权VaR的计算公式，最后给出了算例．收稿日期：2005—09—27万方数据第2期史雅茹金朝嵩：股票期权v出的一种计算方法一121一股票价格的运动规律期权的价值可以由标的资产的价格、预定价、距到期日的时间和当时的市场利率水平(无风险利率)决定．由此可知，期权的风险反映在标的资产的价格和运动规律上．本文主要研究标的资产为股票的欧式期权的VaR的计算，所以先来研究股票价格的运动规律．在此基础上，提出了一种运用Laplace分布来计算股票期权V扭的新方法．我们的目标在于寻找与股票价格的样本数据拟合程度最好的分布形式．对于一种分布类型，首先使用最大似然估计或矩估计怛1确定最佳的分布参数，然后用拟合优度来测量每一种拟合的质量．分布的最大似然估计是使分布与给定观测数据之间的拟合程度最佳的函数形式．对于任意的待估参数臼和n个样本值戈，，戈：，A，菇。的密度函数．厂(戈)，样本的似然函数可表示为：￡(臼)=￡(戈。，戈2，A，戈。；臼)=ll，(石i；口)要得到最大似然估计，可以确定臼使三取最大值，为此令祟：o础一”通过此式可解得臼．通过计算最大似然估计，可以得到每一分布的拟合参数．然后，用拟合优度来测量每一种拟合的质量．拟合优度是指样本数据与给定分布之间的拟合概率，它通常在相对情况下使用，即比较不同分布函数之间拟合程度．本文使用x2检验．在著名的Blaek．scholes期权定价模型中，股票价格的运动被认为遵从对数正态分布．但是，由于股票市场收益分布具有尖峰厚尾特征，而计算VaR时关注的并不是分布的总体情况，而只是分布的尾部特征，Laplace分布正具有厚尾分布的特征．下面的实证分析，把Laplace分布与传统的正态分布的拟合结果作了比较，也得出它是厚尾分布且能较好拟合股票运动规律的结论，故本文采用Laplace分布来拟合股票的对数收益率．I卵lace分布的密度函数为，(髫)=六expI二上竿型)(A为正常数、p为实常数)．图l给出了它与正态分布密度函数的区别，较之正态分布，它是尖峰厚尾的．Uo：∥＼f蠼∥02{∥n：i一normaId}slnh|tIOn——Ia翻acedjslrIbution图1两种分布的密度函数图像万方数据一122一经济数学第23卷为了比较客观和全面的反映两地股市收益率的分布，本文选用的原始数据分别来源于金信数据服务中心的上证指数、上证A股、上证B股、深成份指数、成份A指、成份日指每日的收盘价．时问为2003年10月31日到2004年4月30日半年的历史数据．这里我们用股票价格连续复利(对数)收益率来计算．若以只表示第￡个交易日某种股票的收盘价，假定已经做过除权、除息处理，则日收益率兄由下式计算：首先介绍一些有关收益率的基本统计量[2]．咒=ln(只)一1n(只一，)平均收益率，是指某种股票(或股指)直到时刻n收益率的平均．计算公式为：天：{奎nn葛‘标准差s，是反映收益率离散程度的指标，计算公式为：厂—■—■■————一s=√尚善(咒一天)2偏度g，，是反映收益率分布密度对称性的指标．若偏度大于零，称分布为正偏，反之称负偏．偏度由收益率的三阶矩计算：g。=击∑(R一天)3／|s3g。的大小不仅反映偏斜方向同时反映偏斜程度．峰度g：，被用来反映收益率分布的形状，一般以正态分布的峰度(其值等3)为基准．若大于3表示该分布具有厚尾的特性；若峰度小于3则表示该分布具有低峰特性．如果峰度值较大，是由于存在大幅偏离均值的异常值造成的．峰度是收益率的四阶中心矩度量：g：=击∑(咒一天)4／s4表1是所选股票样本的偏度和峰度指标值．表1偏度和峰度指标股票样本(日期)上证指数(2003．11．1—2004．4．30)上证A股(2003．11．1—2004．4．30)上证B股(2003．11．1—2004．4．30)深圳成指(2003．11．1—2004．4．30)成份4指(2003．11．1—2004．4．30)偏度O．54970．55871．32790．倘0．4816成份B指(2003．11．1—2004．4．30)一0．2006峰度3．83293．88407．86554．120013．96083．7405从表1对所选股票样本的分析可以看出，股票样本偏斜度基本都为正偏，所选上述样本中除上证B股明显正偏外，其它都不算明显．认为偏度与0相差不显著，符合正态分布偏度为0的要求．然而峰度均大于3，所有的样本均呈厚尾现象．这个现象可能是我国现阶段股票市场的一个普遍特征．这里也说明用L印lace分布来拟合股票的对数收益率是非常有意义的．我们用最大似然估计来估计正态分布总体的参数，估计结果如下表所示：万方数据第2期史雅茹金朝嵩：股票期权v出的一种计算方法一123一表2正态分布总体估计的参数股票样本(日期)均值标准差方差上证指数(2003．11．1—2004．4．30)0．00157380．0132132O．0001746上证A股(2003．11．1—2004．4．30)0．00159550．01329370．0001767上证B股(2003．11．1—2004．4．30)0．0()0D4730．01310000．0001716深圳成指(2003．11．1—2004．4．30)0．00124350．01345360．0001810成份A指(2003．11．1—2004．4．30)0．00147890．01390170．0001933成份B指(2003．11．1—2004．4．30)O．0()004250．01661990．0002762用矩估计来估计I即lace分布的参数，由于Laplace分布的均值为卢、方差为2A2，所以有以下结果：表3I绅1ace分布估计的参数股票样本(日期)上证指数(2003．11．1—2004．4．30)上证A股(2003．11．1—2004．4．30)上证B股(2003．11．1—2004．4．30)深圳成指(2003．11．1—2004．4．30)成份A指(2003．11．1—2004．4．30)参数肛0．00157380．00159550．00004730．00124350．0014789参数A0．00934310．0()940010．00926310．00951310．0098300成份B指(2003．11．1—2004．4．30)0．00004250．0117520下面我们用Z2检验法(取a为O．1)检验，检验结果如下表：表4正态分布和岫1ace分布的检验股票样本(日期)上证指数(2003．11．1—2004．4．30)上证A股(2003．11．1—2004．4．30)上证日股(2003．11．1—2004．4．30)深圳成指(2003．11．1—2004．4．30)成份A指(2003．11．1—2004．4．30)成份B指(2003．11．1—2004．4．30)正态分布8．3072607．9780254．9456093．0720553．52|44542．436707娜lace分布5．8517666．0601353．9953646．3574743．0812258．512118表5正态分布和IJaplace分布的检验股票样本(日期)正态分布I砷lace分布上证指数(2003．11．1—2004．4．30)上证A股(2003．11．1—2004．4．30)上证曰股(2003．11．1—2004．4．30)深圳成指(2003．11．1—2004．4．30)成份A指(2003．11．1—2004．4．30)成份曰指(2003．11．1—2004．4．30)万方数据拒绝拒绝接受接受接受接受接受接受接受接受接受拒绝一124一经济数学第23卷从上表可以看出用L印lace分布拟合的结果是不错的，尤其是对上证B股、成份A指拟合的效果更佳；但它也不是万能的，它对成份曰指的拟合就不能通过验证，但总的来说还是令人满意的．股票期权VaR的计算方法在上节中，已假设股票的日对数收益率服从均值为∥，方差为2A2的Ⅻace分布．那么，在r一￡这一时间内，股票的对数收益率服从均值为卢(丁一￡)，方差为2A2(r一￡)的hplace分布．期权的VaR计算式可在股票价格的VaR计算式的基础上得到，所以首先推导股票价格的vaR计算式．定义股票在r一￡时间内收益率为：其中，S和Js，分别为股票在r和f时的价格．则D5r一5。R：竺委土．)f1n(要)～肠(∥(丁一班A汀j)其中∥和2A2分别为用样本估计出的股票价格的日对数收益率的均值和波动率．根据v扭的定义，有：口_P{R≥川：P(学≥R+)：P{·n要>ln(R”+1))根据假设股票的对数收益率ln蚤服从I印lace分布，再令x=lIl孚，z=ln(R++1)可得方程：a：f婴L堕二丛萼望土尘盟也艺2A~／?f_‘利用——laple、，nadab等数学软件容易从上式中解出z，从而：R。=exp(z)一1据前面介绍的绝对VaR的定义：VaII绝对=耽一形”，即可推出在给定具体的置信水平a和一定的持有期时，股票的V出算式为：欧式期权只能在到期日执行．在到期日，看涨期权的价值为t—瞰(0，s，一x)口]，其中．s，是到期日标的资产股票的价格，x是执行价格，设c为欧式看涨期权的价格，则欧式看涨期权在VaR=S—S(1+R’)时间丁一￡内的收益率为：尺：竺亟Q!兰!二型一1当5，<x时，R的值恒为一1，所以R。=一1当s，≥x时，R：幽一1根据VaR的定义可得：万方数据a：P[掣一1≥R‘】