指数函数题型汇总

指数函数

指数函数是高中数学中的一个根本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的根底和高考考查的重点，本文对此局部题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．

1．比拟大小 例 1 函数

f ( x) x2 bx c 满足 f (1 x)

f (1 x) ，且 f (0)

3 ，那么 f (b x ) 与 f (cx ) 的大小关系是 _____．

分析：先求 b，c 的值再比拟大小，要注意

x

b ， cx 的取值是否在同一单调区间内．

解：∵ f (1 x) f (1 x) ，

∴函数 f ( x) 的对称轴是 x 1 ． 故 b 2 ，又 f (0) 3

，∴ c 3 ．

∴函数 f ( x) 在 ∞ ，1 上递减，在 1， ∞ 上递增． 假设 x≥ 0 ，那么 3x ≥ 2 x ≥ 1 ，∴ f (3x ) ≥ f (2 x ) ；

假设 x 0 ，那么 3 2 1 ，∴ f (3 ) f (2 x ) ．

xxx

综上可得 f (3x ) ≥ f (2 x ) ，即 f (cx ) ≥ f (b x ) ．

评注：①比拟大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比拟问题，有时需要对参

数进行讨论．

2．求解有关指数不等式 例 2 (a2

2a 5)3 x (a2 2a 5)1 x ，那么 x 的取值范围是 ___________．

分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵ a

2

2a 5 (a

1)2 4≥4 1，

∴函数 y ∴

( a2 2a 5) x 在 ( ∞， ∞) 上是增函数， x

3x 1

，解得

x

1 ．∴ x 的取值范围是 4

1

，∞ ．

4

评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1 的大小，对于含有参数的要注意

对参数进行讨论．

3．求定义域及值域问题

例 3 求函数 y 1 6x 2 的定义域和值域．解：由题意可得 1 6x 2 ≥ 0 ，即 6 x 2 ≤ 1 ，

∴ x

2≤ 0，故 x ≤ 2 ． ∴函数 f (x) 的定义域是 6x 2 ，那么 y

∞，2 ．

令 t

1 t ， 2 ≤ 0 ． ∴

又∵ x≤ 2 ，∴ x

0 6 x 2 ≤ 1 ，即 0 t ≤ 1．

∴ 0 ≤ 1 t 1 ，即 0 ≤ y 1 ． ∴函数的值域是

0，1 ．

评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4．最值问题

例 4 函数 y a 2x 2a x 1(a

0 且a 1) 在区间 [ 11]， 上有最大值

14，那么 a 的值是 _______．

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a x 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后 t 的取值范围． a x ，那么 t 1)2 2 ，其对称轴为 t1 ． 0 ，函数 y a2 x 2a x 1 可化为 y (t

11， ，

分析：令 t 解：令 t

∴当 a 1 时，∵ x

∴

1

a

≤a

≤ a ，即 ≤ t ≤ a ．

x

1

a

时，∴当 t 解得 a 当 0

a

ymax

( a 1)2 2 14．

〔舍去〕；

3 或 a5 a 1 时，∵ x

x

11， ，

∴ a ≤

a ≤ ，即 a ≤ t ≤ ，

a

时， ymax

11

a

1 a

2

∴ t

1 a

1 2 14，

2

解得 a

1 或 a 3

1 〔舍去〕，∴ a 的值是 3 或 1 ． 5 3

3

x

评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比方：换元法，整体代入等． 5．解指数方程 例 5 解方程 3x 2

1 〔舍去〕，

32 x

(3 )

x

80 ．

2

解：原方程可化为 9

80

9

x

0 ，令 t 3 (t 0)

，上述方程可化为 9t

80t 9 0 ，解得 t 9 或 t

9

∴ 3x

9 ，∴ x 2 ，经检验原方程的解是 x 2 ．

评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题 例 6 为了得到函数

y 9

3x 5 的图象，可以把函数

5 个单位长度 5 个单位长度 5 个单位长度 5 个单位长度

2

y 3 x 的图象〔

〕．

A．向左平移 9 个单位长度，再向上平移 B．向右平移 9 个单位长度，再向下平移 C．向左平移 2 个单位长度，再向上平移 D．向右平移 2 个单位长度，再向下平移 分析：注意先将函数

y 9 5

3x 5 转化为 t 3x

5 ，再利用图象的平移规律进行判断．

解：∵ y

9 3x

C〕．

3 x 2 5 ，∴把函数 y 3x 的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，可得到函数 y 9 3x

5

的图象，应选〔

评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉根本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比方：平移、伸缩、对称等．

习题

1、比拟以下各组数的大小：

〔1〕假设 〔2〕假设 〔3〕假设 〔4〕假设 〔5〕假设

，比拟

，比拟 ，比拟

与 与 与 ，且 ，且

； ；

；

，比拟 a 与 b； ，比拟 a 与 b．

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解：〔 1〕由

，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ．

〔2〕由

，故 ．又 ，故 ．从而 ．

〔3〕由

，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．

〔 4〕应有

．因假设 ，那么

矛盾．

．又 ，故 ，这样 ．又因 ，故

．从

而

，这与

〔5〕应有

．因假设 ，那么 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故

．从而 ，这与 矛盾．

小结：比拟通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．

2 曲线

分别是指数函数

?

, 和 的图象 ,那么 与 1 的大小关系是 (? ).

(

分析 : 首先可以根据指数函数单调性 ,确定

,在 轴右侧令

,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 . 小结 : 这种类型题目是比拟典型的数形结合的题目 , 第(1)题是由数到形的转化 ,第(2)题那么

翻译 ,它的主要目的是提高学生识图 ,用图的意识 .

1

是由图到数的

求最值

3 求以下函数的定义域与值域

x 3

;

.

1

(1)y＝ 2

(2)y＝ 4x+2x+1+1.

1

x 3解： (1)∵ x-3≠ 0，∴ y＝ 2

1

的定义域为｛ x｜x∈R 且 x≠3｝ .又∵

≠ 0，∴ 2 x 3 ≠ 1，

x

1

3

∴y ＝2

x 3

的值域为｛ y ｜y>0 且 y≠ 1｝.

x+1

(2)y＝ 4+2

x

+1 的定义域为 R.∵2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2 +2· 2x+1＝ (2x+1)2>1.

x+1

x 的最大值和最小值

∴y ＝4x+2x+1+1 的值域为｛ y｜ y>1｝ . 4 -1≤x≤2,求函数 f(x)=3+2 3·-9

解：设t=3x1

,因为 -1≤x≤2，所以

t 9，且 f(x)=g(t)=-(t-3) +12,故当 t=3 即 x=1 时， f(x)取最大值 12，当 t=9 即 x=2 时 f(x)取最小值 -24。

2

3

，求函数

5、设 的最大值和最小值．

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指数函数题型汇总

分析：注意到

的求法，可求得函数的最值．

，设 ，那么原来的函数成为 ，利用闭区间上二次函数的值域

解：设

，由 知，

，函数成为

， ，对称轴 ，故函数最小值为

，因端点 较 距对称轴

远，故函数的最大值为 6〔9 分〕函数 y a 2x

2a x

1(a 1) 在区间 [ －1,1]上的最大值是 14，求 a 的值 .

．解：

y a 2 x

2a

x

1( a 1) ， 换元为

y

t 2

2t 1( 1

t

a) ，对称轴为 t

1.

a 当 a

1， t

a ，即 x=1 时取最大值，略

解得 a=3 (a= － 5舍去 )

7．函数

〔

且

〕

〔1〕求

的最小值； ? 〔2〕假设

，求

的

．解：〔 1〕

， 当 时，

有最小值为

〔2〕

，解得

当 时，

；

当

时，

．

8〔10分〕〔 1〕 f ( x)

2

3

x

m 是奇函数，求常数 m的值；

1

〔 2〕画出函数 y | 3x

1 |的图象，并利用图象答复：

k 为何值时，方程 |3 Ｘ －１｜＝ k无

解？有一解？有两解？

解： 〔 1〕常数 m=1

〔2〕当 k<0时，直线 y=k与函数

y

| 3 x

1| 的图象无交点 ,即方程无解 ;

当k=0或 k 1时 , 直线 y=k与函数 y

| 3 x1 |

的图象有唯一的交点，所以方程有一解

;

当 0| 3x

1 | 的图象有两个不同交点，所以方程有两解。

9．假设函数

是奇函数，求

的值．

．解：

为奇函数，

，

即

，

那么 ，

4 / 7

取值范围．．

即指数函数题型汇总

10. 9

xx

+9≤ 0，求函数 y=〔

1

〕

x-1

-4·〔 1

〕

x

+2 的最大值和最小值 4

2

解：由得〔

3x〕 2-10· 3x+9≤0 得〔 3x-9〕〔3x-1〕≤ 0

∴ 1≤ 3x≤9 故 0≤x≤ 2 而 y=( 1

)

x-1

-4·( 1

)x

+2= 4·〔

1

〕

2x

-4·〔

1

〕

x

+2

4

12 2

2

令1 t=〔 〕x〔

t 1〕

2 4

那么 y=f〔t 〕=4t

2

-4t+2=4〔t-

1

〕 2+1

当 t= 1

2

即 x=1 时， ymin=1

2

当 t=1 即 x=0 时， ymax=2

11． ，求函数 的值域． 解：由

得

，即

，解之得

，于是

求函数的值域为

12. (9 分)求函数 y

2

x2 2x 2 的定义域，值域和单调区间

定义域为 R 值域〔 0，8〕。〔 3〕在〔 - ∞， 1〕上是增函数

在〔 1， +∞〕上是减函数。

2

1x 3x 2

13 求函数 y＝

的单调区间 .

3

分析 这是复合函数求单调区间的问题

u

可设 y＝ 1

u

,u＝x2 -3x+2，其中 y＝

1 为减函数

3

3

∴u＝ x2-3x+2 的减区间就是原函数的增区间 (即减减→增 ) u＝ x2 -3x+2 的增区间就是原函数的减区间 (即减、增→减 )

解：设 y＝

1

u

,u＝ x2-3x+2,y 关于 u 递减，

3

当 x∈(-∞，

3

)时， u 为减函数，

2

∴y 关于 x 为增函数；当 x∈［ 3

， +∞ )时， u 为增函数， y 关于 x 为减函数 .

2

14 函数 f(x)＝a x

1 (a>0 且 a≠ 1).

a x

1

(1)求 f(x)的定义域和值域； (2)讨论 f(x)的奇偶性； (3)讨论 f(x)的单调性 . 解： (1)易得 f(x)的定义域为｛ x｜ x ∈R｝.

x

设 y＝a1

y 1

y 1y 1

,解得 ax

＝ -

①∵ ax 当且仅当 >0-

>0 时，方程①有解 .解 -

>0 得-1ax

1

y 1 y 1

y

1

∴f(x) 的值域为｛ -1＜y＜ 1 } .

y｜

a (2)∵ f(-x)＝

x 1

1 a x

a

x

1 ＝ 1 a x ＝ -f(x)且定义域为 R，∴ f(x)是奇函数 .

5 / 7

，即，故所

指数函数题型汇总

(3)f(x)＝

(a x 1) 2 a x

x

＝ 1-

2

.

1

a x 1

x

1°当 a>1 时，∵ a+1 为增函数，且 a+1>0. ∴

2 a x

为减函数，从而

f(x)＝ 1-

2

＝

a x 1

为增函数 .2°当 0a x a x

1 1

为减函数 .

1

a x

1 a x 1

15、函数 f〔x〕 =a－

2 〔a ∈ R〕，

2x 1

（ 1〕 求证：对任何 a∈R，f〔 x〕为增函数．

（ 2〕 假设 f 〔x〕为奇函数时，求 a 的值。 （ 1〕证明：设 x1＜x2

2f〔 x

2 x1

)

2 〕－ f〔 x1 〕=

2(2x

＞ 0

(1 2 x1 )(1 2 x2 )

故对任何 a∈ R， f〔x〕为增函数． 〔2〕

Q x R ，又 f 〔x〕为奇函数

f (0)

0 得到 a

1 0 。即 a 1

16、定义在 R 上的奇函数 f ( x) 有最小正周期为 2，且 x

(0,1) 2x 时， f ( x)

4

x

1〔1〕求 f ( x) 在 [－ 1， 1]上的解析式；〔 2〕判断 f ( x) 在〔 0，1〕上的单调性；〔3〕当

为何值时，方程 f (x) =

在 x [ 1,1] 上有实数解 .

解〔 1〕∵ x∈R 上的奇函数

∴ f (0) 0

∴

又∵ 2 为最小正周期

f (1) f (2 1) f ( 1)

f (1)

0

设 x∈〔－ 1， 0〕，那么－ x∈〔 0， 1〕， f (

x)

2 x 2 x

f ( x)

4

x

1 4

x

1

∴

2 x

f ( x)

4x

1

2 x

〔x (-1,0)

2

04 x

1 〕设

f (x)

0

x {-1,0,1}

=

(2

x

2x

1

2 x2 )(1

4

xx1 x

2

2 1

)

x 0(0,1)

(4 x1

1)(4 x2

1)

∴在〔 0， 1〕上为减函数。

〔 3〕∵ f ( x) 在〔 0， 1〕上为减函数。

∴ f (1)

f ( x)

f (0)

即 f (x)

(2 1 ,

)

5 2

同理 f ( x) 在〔－ 1，0〕时， f (x)

( 1, 2)

又

2

5

f ( 1)

f (0) f (1)

∴当

( 1 , 2) (2,1

0

)或 0 时

2 5 5 2

f (x)

在 [－ 1， 1]内有实数解。

6 / 7

f ( x )

1

f (x

2

x1

x2

xx 2 x2

x2 2 x1

)

(2

2 ) (2

2)

(4x

1 1)(4 x

2 1)

指数函数题型汇总

｜｜

函数 y＝a

x

(a>1)的图像是 ( )

分析

此题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想

.

解法 1： (分类讨论 )：

a x

去绝对值，可得 y＝

( 1 ) x

a

又 a>1，由指数函数图像易知，应选｜

解法 2：因为 y＝ a x

｜

是偶函数，又

( x 0),

( x 0).

B.

a>1，所以当 x≥ 0 时，＝ ax 是增函数；7 / 7

＜0 时，

＝a-x 是减函数 .

y x y