高中数学基础知识汇总

包头市第十五中学 贾成文

第一部分 集合

1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？．．．．．还是因变量的取值？还是曲线上的点？„ ； 2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦．．．．恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n－1；非空真子集的数为2n-2； （2）ABABAABB; 注意：讨论的时候不要遗忘了A的情况。 （3）CI(AB)(CIA)(CIB);CI(AB)(CIA)(CIB); 4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

第二部分 函数与导数

1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式

aba2b2； ⑦利用数形结合或几何意义ab22x（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（a、sinx、cosx等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题

（1）复合函数定义域求法：

① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数yf[g(x)]分解为基本函数：内函数ug(x)与外函数yf(u)； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意：外函数yf(u)的定义域是内函数ug(x)的值域。

4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； ．．．．⑵f(x)是奇函数f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)1；

f(x)⑶f(x)是偶函数f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)1 ；

f(x)⑷奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)0；

⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； （6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①

f(x)在区间M上是增函数x1,x2M,当x1x2时有

f(x1)f(x2)0(x1x2)[f(x1)f(x2)]0②

f(x1)f(x2)0；

x1x2x1x2时有

f(x)在区间M上是减函数x1,x2M,当

f(x1)f(x2)0(x1x2)[f(x1)f(x2)]0⑵单调性的判定 ① 定义法：

f(x1)f(x2)0；

x1x2注意：一般要将式子f(x1)f(x2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）； ③复合函数法（见2 （2））； ④图像法。

注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性 (1)周期性的定义：

对定义域内的任意x，若有f(xT)f(x) （其中T为非零常数），则称函数f(x)为周期函数，T为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期

①ysinx:T2 ；②ycosx:T2 ；③ytanx:T； ④yAsin(x),yAcos(x):T2 ；⑤ytanx:T；

||||⑶函数周期的判定

①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）

⑷与周期有关的结论

①f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a0) f(x)的周期为2a； ②yf(x)的图象关于点(a,0),(b,0)中心对称f(x)周期为2ab； ③yf(x)的图象关于直线xa,xb轴对称f(x)周期为2ab； ④yf(x)的图象关于点(a,0)中心对称，直线xb轴对称f(x)周期为4ab；

8．基本初等函数的图像与性质

⑴幂函数：yx （R) ；⑵指数函数：yax(a0,a1)； ⑶对数函数:ylogax(a0,a1)；⑷正弦函数:ysinx；

2⑸余弦函数：ycosx ；（6）正切函数：ytanx；⑺一元二次函数：axbxc0；

⑻其它常用函数：

① 正比例函数：ykx(k0)；②反比例函数：y② 函数

k1(k0)；特别的y xxyxa(a0)； x9．二次函数： ⑴解析式：

①一般式：f(x)ax2bxc；②顶点式：f(x)a(xh)2k，(h,k)为顶点； ③零点式：f(x)a(xx1)(xx2) 。

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。 ⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。 10．函数图象：

⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法 ⑵图象变换：

① 平移变换：ⅰyf(x)yf(xa)，(a0)———左“+”右“-”； ⅱyf(x)yf(x)k,(k0)———上“+”下“-”； ② 伸缩变换：

ⅰyf(x)yf(x)， （0)———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的

1倍；

ⅱyf(x)yAf(x)， （A0)———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍；

yf(x)；ⅱyf(x)yf(x)； ③ 对称变换：ⅰyf(x)yfⅲ yf(x)yf(x)； ⅳyf(x)④ 翻转变换：

ⅰyf(x)yf(|x|)———右不动，右向左翻（f(x)在y左侧图象去掉）； ⅱyf(x)y|f(x)|———上不动，下向上翻（|f(x)|在x下面无图象）； 11．函数图象（曲线）对称性的证明

(1)证明函数yf(x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证明函数yf(x)与yg(x)图象的对称性，即证明yf(x)图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在yg(x)的图象上，反之亦然；

注：

①曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0; ②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2a－x, y)=0;

③曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);

x0yx(0,0)y01(x)；

y=f(x)图像关于直线x=④f(a+x)=f(b－x) （x∈R）ab对称； 2y=f(x)图像关于直线x=a对称； 特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）⑤函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=12．函数零点的求法：

⑴直接法（求f(x)0的根）；⑵图象法；⑶二分法. 13．导数

⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作yxx0ab对称； 2f(x0)limx0f(x0x)f(x0)；

x'n'n1'⑵常见函数的导数公式: ①C0；②(x)nx；③(sinx)cosx；

④(cosx)'sinx；⑤(ax)'axlna；⑥(ex)'ex；⑦(logax)⑧(lnx)''1； xlna1 。 xuuvuv⑶导数的四则运算法则：(uv)uv;(uv)uvuv;();

vv2 ⑷（理科）复合函数的导数：yxyuux;⑸导数的应用： ①利

①利用导数求切线：注意：ⅰ所给点是切点吗？ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线？

②利用导数判断函数单调性：

ⅰ f(x)0f(x)是增函数；ⅱ f(x)0f(x)为减函数； ⅲ f(x)0f(x)为常数；

③利用导数求极值：ⅰ求导数f(x)；ⅱ求方程f(x)0的根；ⅲ列表得极值。 ④利用导数最大值与最小值：ⅰ求的极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。 14．（理科）定积分 ⑴定积分的定义：

baf(x)dxlimni1nbaf(i) n⑵定积分的性质：①

②③

bab； kf(x)dxkf(x)dx （k常数）

abab[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dx；

aabbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx （其中acb)。

accb⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积：S③ 求变速直线运动的路程：Sbbabf(x)dxF(x)|baF(b)F(a)

|f(x)g(x)|dx；

abav(t)dt；③求变力做功：WaF(x)dx。

第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形 180)5718' 1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度180，1弧度，1弧度(180121⑵弧长公式：lR；扇形面积公式：SRRl。

222．三角函数定义：角中边上任意一点P为(x,y)，设|OP|r则：

sinyxy,cos,tan rrx3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；

4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”； 5．⑴yAsin(x)对称轴：xk2；对称中心：(k,0)(kZ)； ,0)(kZ)；

⑵yAcos(x)对称轴：xk；对称中心：(22k26．同角三角函数的基本关系：sinxcosx1;sinxtanx； cosx7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①sin()sincoscossin;

)②cos()coscossinsin;③tan(8．二倍角公式：①sin22sincos；

tantan 。

1tantan2tan。

1tan22222②cos2cossin2cos112sin；③tan29．正、余弦定理： ⑴正弦定理：

abc2R （2R是ABC外接圆直径 ） sinAsinBsinC注：①a:b:csinA:sinB:sinC；②a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；③

abcabc。 sinAsinBsinCsinAsinBsinC222b2c2a2⑵余弦定理：abc2bccosA等三个；注：cosA等三个。

2bc10。几个公式:

⑴三角形面积公式：

SABC11ahabsinC22p(pa)(pb)(pc),(p1(abc))； 2⑵内切圆半径r=2SABC；外接圆直径2R=

sinabc

abc;

AsinBsinC11．已知a,b,A时三角形解的个数的判定：

C b h A

a 其中h=bsinA,⑴A为锐角时：①a⑵A为直角或钝角时：①ab时，无解；②a>b时，一解（锐角）。

第四部分 立体几何

1．三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为22:1。

2．表（侧）面积与体积公式：

⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=2rh；③体积：V=S底h ⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=rl；③体积：V=

1S底h： 313⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底；②侧面积：S侧=(rr')l；③体积：V=（S+SS'S'）h；

2⑷球体：①表面积：S=4R；②体积：V=R 。

43

3

3．位置关系的证明（主要方法）：

⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。 ⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行线面平行。

⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。 ⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。 ⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。

注：理科还可用向量法。 4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角） ⑴异面直线所成角的求法：

① 平移法：平移直线，构造三角形；

②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系。 注：理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。 ⑵直线与平面所成的角： ①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin。

注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。 ⑶二面角的求法：

①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；

②三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线，用三垂线定理

或逆定理作出二面角的平面角，再求解；

③射影法：利用面积射影公式：SScos,其中为平面角的大小；

注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；

理科还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角。 5.求距离：（步骤-------Ⅰ。找或作垂线段；Ⅱ。求距离）

⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算； ⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解； ⑶点到平面的距离：

①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解； ② 等体积法；

理科还可用向量法：d'|ABn||n|。

⑷球面距离：（步骤） （Ⅰ）求线段AB的长；（Ⅱ）求球心角∠AOB的弧度数；(Ⅲ)求劣弧AB的长。 6．结论：

⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；

⑵立平斜公式(最小角定理公式)：coscos1cos2;

⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则S侧cos=S底； ⑷长方体的性质

①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,则：

cos2+cos2+cos2=1；sin2+sin2+sin2=2 。

②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,则有cos2+cos2+cos2=2；sin2+sin2+sin2=1 。 ⑸正四面体的性质：设棱长为a，则正四面体的： ① 高：h162a；②对棱间距离：a；③相邻两面所成角余弦值：；④内切球

332半径：

66a；外接球半径：a； 124第五部分 直线与圆

1．直线方程

⑴点斜式：yyk(xx) ；⑵斜截式：ykxb ；⑶截距式：⑷两点式：

xy1 ； abyy1xx1 ；⑸一般式：AxByC0，（A，B不全为0）。 y2y1x2x1（直线的方向向量：（B,A)，法向量（A,B)

2．求解线性规划问题的步骤是： （1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。 3．两条直线的位置关系：

直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注 l1:yk1xb1 k1k2,b1b2 k1k21 l1,l2有斜率 l2:yk2xb2 l1:A1xB1yC10 A1B2A2B1,且 A1A2B1B20 不可写成 l2:A2xB2yC20 B1C2B2C1（验证） 分式

4．直线系

直线方程 ykxb AxByC0 平行直线系 ykxm AxBym0 垂直直线系 y1xm BxAym0 k相交直线系 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0 5．几个公式

⑴设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），⊿ABC的重心G：（⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：dx1x2x3y1y2y3）； ,33Ax0By0CAB22；

⑶两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是d6．圆的方程：

C1C2AB22；

⑴标准方程：①(xa)2(yb)2r2 ；②x2y2r2 。 ⑵一般方程：x2y2DxEyF0 （D2E24F0)

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0； 7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。 8．圆系：

⑴x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0,(1) ； 注：当1时表示两圆交线。

⑵x2y2DxEyF(AxByC)0,(1) 。

9．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法） ⑴点与圆的位置关系：（d表示点到圆心的距离）

①dR点在圆上；②dR点在圆内；③dR点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）

①dR相切；②dR相交；③dR相离。 ⑶圆与圆的位置关系：（d表示圆心距，R,r表示两圆半径，且Rr）

①dRr相离；②dRr外切；③RrdRr相交； ④dRr内切；⑤0dRr内含。 10．与圆有关的结论：

⑴过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2；

过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2； ⑵以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0。

第六部分 圆锥曲线

1．定义：⑴椭圆：|MF1||MF2|2a,(2a|F1F2|)； ⑵双曲线：||MF1||MF2||2a,(2a|F1F2|)；⑶抛物线：略 2．结论

⑴焦半径：①椭圆：PF； （左“+”右“-”）； 1aex0,PF2aex0（e为离心率）

②抛物线：PFx0p 2⑵弦长公式：AB1k2x2x1(1k2)[(x1x2)24x1x2]

1112yy(1)[(yy)4y1y2]； 2112k2k2注：（Ⅰ）焦点弦长：①椭圆：|AB|2ae(x1x2)；②抛物线：AB＝

x1+x2+p=

2p2b2；②抛物线：2p。 ；（Ⅱ）通径（最短弦）：①椭圆、双曲线：sin2a⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mx2ny21 （m,n同时大于0时表示椭圆，mn0时表示双曲线）；

⑷椭圆中的结论：

①内接矩形最大面积 ：2ab；

②P，Q为椭圆上任意两点，且OP0Q，则

1111 ； 2222|OP||OQ|ab③椭圆焦点三角形：<Ⅰ>．SPF1F2btan22，（F1PF2）；<Ⅱ>．点M 是

PF1F2内心，PM交F1F2于点N，则

|PM|a ；

|MN|c④当点P与椭圆短轴顶点重合时F1PF2最大； ⑸双曲线中的结论：

2222①双曲线xy1（a>0,b>0）的渐近线：xy0；

a2b2a2b222byx②共渐进线yx的双曲线标准方程为； 2(为参数，≠0）2aab③双曲线焦点三角形：<Ⅰ>．SPF1F2x2bcot，（F1PF2）；<Ⅱ>．P是双曲线22a2y2－2=1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则△PF1F2的内切b圆的圆心横坐标为a,(a)； ④双曲线为等轴双曲线e（6）抛物线中的结论：

2①抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB性质：<Ⅰ>． x1x2=p；y1y2=－p2；

42渐近线为yx渐近线互相垂直；

<Ⅱ>．

112 ；<Ⅲ>．以AB为直径的圆与准线相切；<Ⅳ>．以AF（或|AF||BF|pp2。 2sinBF）为直径的圆与y轴相切；<Ⅴ>．SAOB②抛物线y2=2px(p>0)内结直角三角形OAB的性质：

<Ⅰ>． x1x24P2,y1y24P2； <Ⅱ>．lAB恒过定点(2p,0)；

<Ⅲ>．A,B中点轨迹方程：y2p(x2p)；<Ⅳ>．OMAB，则M轨迹方程为：

(xp)2y2p2；<Ⅴ>．(SAOB)min4p2 。

③抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点A(a,0)，则：

<Ⅰ>．当0ap时，顶点到点A距离最小，最小值为a；<Ⅱ>．当ap时，抛物线上有关于x轴对称的两点到点A距离最小，最小值为2app2。 3．直线与圆锥曲线问题解法： ⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。 注意以下问题：

①联立的关于“x”还是关于“y”的一元二次方程？ ②直线斜率不存在时考虑了吗？ ③判别式验证了吗？ ⑵设而不求（代点相减法）：--------处理弦中点问题 步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得kABy1y2 ；③解决问题。

x1x24．求轨迹的常用方法：

（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。

第七部分 平面向量

⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则：

① a∥b(b≠0)a=b （R)x1y2－x2y1=0；

② a⊥b(a、b≠0)a·b=0x1x2+y1y2=0 . ⑵a·b=|a||b|cos=x2+y1y2；

注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影； ③ a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。 ⑶cos=

ab；

|a||b|⑷三点共线的充要条件

P，A，B三点共线OPxOAyOB(且xy1)；

附：（理科）P，A，B，C四点共面OPxOAyOBzOC(且xyz1)。 第八部分 数列 1．定义：

⑴等差数列 ｛an｝an1and(d为常数）2anan1an1(n2,nN*)

anknbsnAn2Bn；

⑵等比数列 ｛an}an12q(q0)anan-1an1(n2,nN) anancqn(c,q均为不为0的常数）Snkkqn(q0,q1,k0)；

2．等差、等比数列性质

等差数列 等比数列 通项公式 ana1(n1)d ana1qn1

1.q1时，Snna1;n(a1an)a1(1qn)n(n1)na1d 2.q1时，Sn前n项和 Sn 221qaanq11q性质 ①an=am+ (n－m)d, ①an=amqn-m;

②m+n=p+q时am+an=ap+aq ②m+n=p+q时aman=apaq

③Sk,S2kSk,S3kS2k,成AP ③Sk,S2kSk,S3kS2k,成GP

m ④ak,akm,ak2m,成AP,d'md ④ak,akm,ak2m,成GP,q'q 等差数列特有性质：

① 项数为2n时：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)；S偶S奇nd ；

S奇S偶an； an1② 项数为2n-1时：S2n-1=(2n-1)a中；S奇-S偶a中 ；

S奇S偶n； n-1③ 若anm,amn,(mn)，则amn0；若Snm,Smn,则Smn(mn)；

若SnSm,(mn)，则Smn0。 3．数列通项的求法：

S1 (n=1) Sn－Sn-1 (n≥2)

an= ⑴分析法；⑵定义法（利用AP,GP的定义）；⑶公式法：累加法（an1ancn； ⑷叠乘法（

an1；⑸构造法（an1kanb型）；（6）迭代法； cn型）

an11；⑻作商法（a1a2ancn4）

anan1⑺间接法（例如：an1an4anan1型）；⑼待定系数法；⑽（理科）数学归纳法。 注：当遇到an1an1d或an1 q时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。

an14．前n项和的求法：

⑴拆、并、裂项法；⑵倒序相加法；⑶错位相减法。 5．等差数列前n项和最值的求法：

an0an0 ；⑵利用二次函数的图象与性质。 ⑴或an10an10 第九部分 不等式

aba2b21．均值不等式：ab 22ab2a2b2注意：①一正二定三相等；②变形，ab(。 )222．绝对值不等式：||a||b|||ab||a||b| 3．不等式的性质：

⑴abba；⑵ab,bcac；⑶abacbc；ab,cd

acbd；⑷ab,c0acbd；ab,c0acbc；ab0,

cd0acbd；⑸ab0anbn0(nN)；（6）ab0

nanb(nN)。

4．不等式等证明（主要）方法：

⑴比较法：作差或作比；⑵综合法；⑶分析法。 第十部分 复数 1．概念：

⑴z=a+bi∈Rb=0 (a,b∈R)z=z z2≥0； ⑵z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R)；

⑶z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z＋z＝0（z≠0）z2<0； ⑷a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)；

2．复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：

（1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；⑶z1÷z2 =

(abi)(cdi)bdbcad (z≠0) ;  aci2

2(cdi)(cdi)cd2c2d21i1ii;i; 1i1i3．几个重要的结论：

222222⑶(1i)22i；⑷(1)z1z2z1z22(z1z2);(2)zzzz；

⑸i性质：T=4；i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i；i4ni4n1i42i4n30; （6）13i 以3为周期，且01,2,31；12=0； 221。 zmm（7）z1zz1z4．运算律：（1）zmznzmn;(2)(zm)nzmn;(3)(z1z2)mz1z2(m,nN);

z1z)1 ；⑷ zz。 z2z25．共轭的性质：⑴(z1z2)z1z2 ；⑵z1z2z1z2 ；⑶(6．模的性质：⑴||z1||z2|||z1z2||z1||z2|；⑵|z1z2||z1||z2|；⑶

|z1|z1|；⑷|zn||z|n； |z2|z2|第十一部分 概率

1．事件的关系：

⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作AB； ⑵事件A与事件B相等：若AB,BA，则事件A与B相等，记作A=B； ⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作AB（或AB）； ⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作AB（或AB） ； ⑸事件A与事件B互斥：若AB为不可能事件（AB），则事件A与互斥； ﹙6﹚对立事件：AB为不可能事件，AB为必然事件，则A与B互为对立事件。 2．概率公式：

⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；

⑵古典概型：P(A)A包含的基本事件的个数；

基本事件的总数构成事件A的区域长度（面积或体积等） ；

试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）⑶几何概型：P(A)

第十二部分 统计与统计案例

1．抽样方法

⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。 注：①每个个体被抽到的概率为

n； N②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。

⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的 规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。

注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l； ④按预先制定的规则抽取样本。

⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。 注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数2．总体特征数的估计：

⑴样本平均数x1(x1x2xn)1xi；

nni1n⑵样本方差S21[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]1(xix)2 ；

n Nnnni1n⑶样本标准差S1[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]=1(xx)2 ；

inni13．相关系数（判定两个变量线性相关性）：r(xi1nix)(yiy)n(xi1n

ix)2(yiy)2i1注：⑴r>0时，变量x,y正相关；r <0时，变量x,y负相关；

⑵①|r| 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②|r| 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 4．回归分析中回归效果的判定：

⑴总偏差平方和：

(yi1ni⑶残差平方和：(yiyi)2 ；y)⑵残差：eiyiyi；

2i1nn⑷回归平方和：

(yi1niy)－(yiyi)2；⑸相关指数R212i1n(y(yi1i1niyi)2 。

iyi)2注：①R得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；

②R越接近于1，，则回归效果越好。 5．独立性检验（分类变量关系）：

随机变量K越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。

第十三部分 算法初步

1．程序框图： ⑴图形符号： ① 终端框（起止况）；② 输入、输出框；⑥ 连接点。 ③ 处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ；

⑵程序框图分类:

①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构： r=0? 否 求n除以i的余数 输入n 是 n不是质素 n是质数 i=i+1 i=2 in或r=0?否 是 注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型）——先判断条件，再执行循环体；

Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。

2．基本算法语句：

⑴输入语句： INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式

赋值语句： 变量=表达式

⑵条件语句：① ②

IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句体 语句体1 END IF ELSE 222 语句体2 END IF

⑶循环语句：①当型： ②直到型: WHILE 条件 DO 循环体 循环体

WEND LOOP UNTIL 条件

3．算法案例：

⑴辗转相除法与更相减损法-----求两个正整数的最大公约数； ⑵秦九韶算法------求多项式的值；

⑶进位制----------各进制数之间的互化。

第十四部分 常用逻辑用语与推理证明 1． 四种命题：

⑴原命题：若p则q； ⑵逆命题：若q则p；

⑶否命题：若p则q；⑷逆否命题：若q则p

注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。 2．充要条件的判断：

（1）定义法----正、反方向推理；

（2）利用集合间的包含关系：例如：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件； 3．逻辑连接词：

⑴且(and) ：命题形式 pq； p q pq pq p ⑵或（or）：命题形式 pq； 真 真 真 真 假 ⑶非（not）：命题形式p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 4．全称量词与存在量词 ⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用表示； 全称命题p：xM,p(x)；

全称命题p的否定p：xM,p(x)。

⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用表示； 特称命题p：xM,p(x)；

特称命题p的否定p：xM,p(x)；

第十五部分 推理与证明

1．推理：

⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。 注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。 注：类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。 注：演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ⑴大前提---------已知的一般结论； ⑵小前提---------所研究的特殊情况；

⑶结 论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

二．证明

⒈直接证明 ⑴综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 2．间接证明------反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。 附：数学归纳法（仅限理科）

一般的证明一个与正整数n有关的一个命题，可按以下步骤进行： ⑴证明当n取第一个值n0是命题成立；

⑵假设当nk(kn0,kN)命题成立，证明当nk1时命题也成立。 那么由⑴⑵就可以判定命题对从n0开始所有的正整数都成立。

这种证明方法叫数学归纳法。

注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行； ② n0的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。

第十六部分 理科选修部分

1． 排列、组合和二项式定理

m⑴排列数公式:An=n(n-1)(n-2)„(n-m＋1)=(nm)!(m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排n列An=n(n-1)(n-2)„3.2.1=n!;

mAn(n1)(nm1)（m≤n）,C0Cn1； n⑵组合数公式：Cnnm!m(m1)(m2)321mnn!⑶组合数性质：Cnmnmmm1mCn;CnCnCn1；

0n1n11knkknn⑷二项式定理：(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)

rnrr①通项：Tr1Cnab(r0,1,2,...,n);②注意二项式系数与系数的区别；

⑸二项式系数的性质：

①与首末两端等距离的二项式系数相等；②若n为偶数，中间一项（第项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第

n＋1项）二2n1n1和＋1项）二项式系数最大； 22012n0213③CnCnCnCn2n;CnCnCnCn2n1;

(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。

2. 概率与统计

⑴随机变量的分布列：

①随机变量分布列的性质：pi≥0,i=1,2,„； p1+p2+„=1; ②离散型随机变量： X P x1 P1 X2 P2 „ „ xn Pn „ „ 期望：EX＝ x1p1 + x2p2 + „ + xnpn + „ ; 方差：DX＝(x1EX)2p1(x2EX)2p2(xnEX)2pn ; 注：E(aXb)aEXb;D(aXb)aDX；

③两点分布：

X 0 1 期望：EX＝p；方差：DX＝p(1-p). P 1－p p

④ 超几何分布：

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则

2knkCMCNMP(Xk),k0,1,m,mmin{M,n},其中，nN,MN。 nCN称分布列

X 0 1 „ m

0n01n1mnmCMCNCCCCM P MnNM „ MnNM nCNCNCN为超几何分布列， 称X服从超几何分布。

⑤二项分布（独立重复试验）：

kk若X～B（n,p）,则EX＝np, DX＝np（1- p）;注：P(Xk)Cnp(1p)nk 。

⑵条件概率：称P(B|A)P(AB)为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。 P(A)注：①0P（B|A）1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 ⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。 ⑷正态总体的概率密度函数：f(x)12e(x)222,xR,式中,是参数，分别表示

总体的平均数（期望值）与标准差； （6）正态曲线的性质：

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝ 对称； ③曲线在x＝处达到峰值

12；④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤ 当一定时，曲线随质的变化沿x轴平移； ⑥ 当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中； ，表示总体分布越分散。 越小，曲线越“高瘦”

注：P(x)=0.6826；P(2x2)=0.9544

P(3x3)=0.9974