思南中学2018-2019学年度第二学期期中考试
高一数学试卷
考试时间：120分钟；满分：150分； 姓名：___________班级：___________
分卷I
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知△ABC的外接圆的半径是3，a＝3，则A等于( )
A． 30° B． 60° C． 60°或120° D． 30°或150°
2. 在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于( )
A． 45 B． 75 C． 180 D． 300
3.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )
A． 15 B． 30 C． 31 D． 64
4.在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( )
A． 16
5. 不等式
B． 27 C． 36 D． 81
的解集为空集，则m的取值范围是（ ）
A． (－2,2) B． [－2,2] C． (－∞,－)∪(2,＋∞) D． (－∞,－]∪[2,＋∞)
6.若A＝x2－2x，B＝－6x－4，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B C．A＝B D． 与x的值有关
7.在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，则△ABC的形状一定是( ) A． 等腰直角三角形 C． 等腰三角形
B． 直角三角形 D． 等边三角形
8.已知a，b为非零实数，且a B．< C．a3b2 ，则an=（ ） 10.设变量x，y满足约束条件,则目标函数z＝2x＋3y的最小值为( ) A． 6 B． 7 C． 8 2 D． 23 n-1 11.设Sn为数列{an}的前n项和，an＝1＋2＋2＋…＋2，则Sn的值为( ) A． 2n－1 B． 2n-1－1 C． 2n－n－2 D． 2n+1－n－2 12.已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( ) A． (2，＋∞) B． (－∞，0) 分卷II C． D． 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________. 14. ___________. 15.太湖中有一小岛C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km到达B处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km. 16.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________． 三、解答题(共6小题,17小题10分,其余各小题12分，共70分) 17.解不等式：(1) －2x2＋x＋1<0;（2） 18.设x，y都是正数，且 ＝3，求2x＋y的最小值． 19.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝(1)求角B的大小； (2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的长. 20. 某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m，五合板2 m，生产每个书橱需要方木料0.2 m，五合板1 m，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．请问怎样安排生产可使所得利润最大？ 21. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}中，bn＞0(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15， 3、b4、27成等比数列． (1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn， 3 2 3 2 acosB. 22.已知函数f(x)＝2x2＋mx－2m－3. (1)若函数在区间(－∞，0)与(1，＋∞)内各有一个零点，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式 . 答案解析 1.【答案】A 【解析】 根据正弦定理，得 ＝2R，sinA＝ ＝， ∵0° 【解析】 由得 ∴a12＝a1＋11d＝－4.【答案】B ＋11×＝15. 【解析】 由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q＝9. ∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27. 5.【答案】B 6.【答案】B 【解析】∵A－B＝(x2－2x)－(－6x－4)＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，∴A≥B.故选B. 7.【答案】B 【解析】 由正弦定理及已知条件，得 sin2Bsin2C＝sinBsinC·cosBcosC. ∵sinBsinC≠0，∴sinBsinC＝cosBcosC， 即cos(B＋C)＝0，即cosA＝0， ∵0° 3223 由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最小值为7. 11.【答案】D 【解析】∵an＝1＋2＋2＋…＋212.【答案】D 【解析】 由正弦定理， 得a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m>0)， ∵ 即 ∴k>. 2 n－1 ＝2－1，∴Sn＝2 nn＋1 －n－2. 13.【答案】25 【解析】由 得 ，∴S5＝5a1＋ ×d＝25. 14.【答案】 2n－1 【解析】 an－an－1＝a1qn－1＝2n－1， 即 各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2， 故an＝a1＋2n－2＝2n－1. 15.【答案】 【解析】 如图，∠CAB＝15°， ∠CBA＝180°－75°＝105°， ∠ACB＝180°－105°－15°＝60°， AB＝1(km). 在△ABC中，由正弦定理，得 ＝ ∴BC＝ ， ×sin 15°＝ (km). 设C到直线AB的距离为d， 则d＝BC·sin 75°＝16.【答案】 【解析】∵＝＝＝2R，a＝2， 又(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC 可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)c， ∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc. ∴＝＝＝cosA，∴A＝60°. ∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bccos 60° ＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)， ∴S△ABC＝·bc·sinA≤×4×＝. 17.（1）【答案】方法一 Δ＝9>0，方程－2x＋x＋1＝0的解为x1＝－，x2＝1. 2 ×＝(km). 函数y＝－2x2＋x＋1的图象是开口向下的抛物线，与x轴交于点和(1,0)(大致图象如图)．由 图象得不等式的解集为． 方法二 在不等式的两边同乘－1，可得2x－x－1>0. 方程2x－x－1＝0的解为x1＝－，x2＝1，函数y＝2x－x－1的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为． (2)≤0⇒⇒ 故原不等式的解集为{x|x≥4或x<－}． 18.【答案】∵＋＝3，∴∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×＝＝. 当且仅当＝ ，即y＝2x时，取“＝”． ≥ ＝1. 2 2 2 又∵＋＝3，∴x＝，y＝. ∴2x＋y的最小值为. 【解析】 19.【答案】解 (1)∵bsinA＝∴由正弦定理可得sinBsinA＝∵sinA≠0，∴tanB＝ acosB， sinAcosB. ，又∵0 20. 【答案】由题意可画表格如下： (负值舍去)，∴c＝2a＝2 . 设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元， 则⇒z＝80x＋120y. 在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域． 作直线l：80x＋120y＝0，即直线l：2x＋3y＝0. 把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y取得最大值． 由 解得点M的坐标为(100,400)． 所以当x＝100，y＝400时， zmax＝80×100＋120×400＝56 000(元)． 因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大． 21. 【答案】(1)bn＝2n＋1(n∈N*)；(2)Tn＝n·3n. 【解析】(1) ∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N)， ∴an＝2Sn－1＋1(n∈N*，n＞1)， ∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)， 即an＋1－an＝2an， ∴an＋1＝3an(n∈N*，n＞1)． 而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1. ∴ 数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴an＝3n－1(n∈N*)． * 在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5. 又3、b4、27成等比数列，得b4＝±9，又bn>0，故公差d>0,所以b4＝9，d＝2， 又b2＝5，∴bn＝2n＋1(n∈N)． (2) 由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)·3n－2＋(2n＋1)3n－1，① ∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，② ∴①－②得 －2Tn＝3×1＋2×3＋2×3＋2×3＋…＋2×3＝3＋2(3＋3＋3＋…＋3＝3＋2×∴Tn＝n·3n. 22.【答案】(1)由于f(x)＝2x2＋mx－2m－3的图象开口向上，且在区间(－∞，0)与(1，＋∞)内各有一零点，故，即， 解得m>－1，即实数m的取值范围为(－1，＋∞)． (2) 原不等式可化为(x－3)(mx－2)≤0. 那么由于m＝0表示的为一次函数，m≠0为二次函数，那么分为两大类，结合开口方向和根的大小和二次函数图形可知，需要整体分为m>0，m＝0，m<0来求解，那么对于m与的大小将会影响到根的大小，∴要将m分为0 当m＝0时，原不等式的解集为{x|x≥3}； 当0 2 3 2 3 * n－1 －(2n＋1)3 nn－1 )－(2n＋1)3 n－(2n＋1)3n＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容