高三数学复习笔记

（整理于2015-5）

一、 函数

1、两个函数的对称性：

①y=f（x）与y=f（-x）关于y轴对称 ②y=f（x）与y= —f（x）关于x轴对称 ③y=f（x）与y= —f（-x）关于原点对称 ④y=f（x）与y=f1（x）关于y=x对称 注：函数与其反函数之间的一个有用的结论：f1abfba.原函数与反函数图象

1的交点不全在y=x上；yf1xa只能理解为yf⑤y=f（a+x）与y=f（a—x）关于y轴对称 例子可以自己举。

注意如下“翻折”变换：

f(x)f(x)f(x)f(|x|)x在x+a处的函数值。

2、函数本身的对称性

①偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。

②若函数y=f（x）满足f(a+x)=f(a-x),则函数关于x=a对称（即：相加能消x，除2对称轴，相减能消x得数是周期）注意与上述第⑤点的区别。

3、奇偶性（函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点左右对称） ①奇函数的导数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数，但反之不成立 证：设f(x)f(x)，两边求导即可。

②复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

③既奇又偶函数有无穷多个（f(x)0，定义域是关于原点对称的任意一个数集） ④在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

⑤若f(x)是奇函数且在x0时有意义，则f(0)0。

4、平移：

函数图像的平移口诀：左加右减，上加下减。特别需要注意的是：在左加右减中，无论加还是减，如果x前方有系数（包括负号），都必须先把系数提取出去之后再加减，这时候的加减量才是函数的平移量。

例如：将函数y=sin（2x+）向右边平移个单位后，图像关于y轴对称，求的最小正

35值。（）

125、一阶导数决定单调性、二阶导数决定凹凸性，二阶导数大于0的函数是凹函数，反之

1

是凸函数

6、必须掌握的几种常见函数的图象

①二次函数y=ax2+bx+c（a0）（懂得利用定义域及对称轴判断函数的最值，） ②指数函数yax（a0且a1）（理解并掌握该函数的单调性与底数a的关系） ③幂函数yxa（a0且a1）（理解并掌握该函数的单调性与幂指数a的关系） ④对数函数y=logax（a0且a1）（理解并掌握该函数的单调性与底数a的关系）

a（a为正的常数）（懂得判断该函数的四个单调区间） xa⑥背靠背函数y=x-（a为正的常数）

x⑦三角函数y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx（能根据图象判断这些函数的单调区间） ⑤对勾函数y=x或yAcosx正弦型函数y=Asinx+的图象和性质要熟记。（1）振幅|A|，周期T2 || 若fx0A，则xx0为对称轴。

0为对称中心，反之也对。 若fx00，则x0，

（2）五点作图：令x依次为0，3 ，，，2，求出x与y，依点（x，y）作图。

22（3）根据图象求解析式。（求A、、值）

先根据振幅，求出A，再求周期，然后得出的值，最后利用五点法求

⑧抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如

函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：

(1)借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：

①正比例函数型：f(x)kx(k0) ---------------f(xy)f(x)f(y)；

2

xf(x)②幂函数型：f(x)x2 --------------f(xy)f(x)f(y)，f()；

yf(y)f(x)③指数函数型：f(x)ax ------------f(xy)f(x)f(y)，f(xy)；

f(y)x④对数函数型：f(x)logax -----f(xy)f(x)f(y)，f()f(x)f(y)；

y⑤三角函数型：f(x)tanx ----- f(xy)(2)赋值法、结构变换法

f(x)f(y)

1f(x)f(y)如：①xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。

（先令xy0f(0)0再令yx，……）

②xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。 （先令xytf(t)(t)f(t·t) ∴f(t)f(t)f(t)f(t) ∴f(t)f(t)……）

③证明单调性：f(x2)fx2x1x2…… 7、函数中的最值问题： Ⅰ.二次函数最值问题

结合对称轴及定义域进行讨论。

① 已知函数f（x）=x22ax1,x[1,2]，求f（x）的最小值 ② 已知函数f（x）=x22x1,x[a,2a]，(a0)求f（x）的最小值 Ⅱ.利用均值不等式

y2

典例：已知x、y为正数，且x=1，求x1y2的最大值

2

2

分析：x1y2=x（1y）=

222y22x（1y2）2

（即设法构造定值x=1）

221y2x21y22=32故最大值为32 =2x（）244222 3

a2b2ab2ab注意如下结论：aba，bR

22abⅢ.三角换元法

上题亦可用三角代换求解即设x=cos，

y2=sin求解

Ⅳ.通过求导，找极值点的函数值及端点的函数值，通过比较找出最值。

如：求函数y=lnx-x+1的最大值 Ⅴ.利用函数的单调性

典例：求t23解，解略） Ⅵ.数形结合

例：已知x、y满足x2y24，求8、周期问题

函数y=f（x）满足 f（x+a）= f（x），周期为a f（x+a）= -f（x）周期为2a f（x+a）=1周期为2a(以上a皆不为0) f(x)11x的最小值（分析：利用函数y=在（1，+）的单调性求2t2xy5的最值 x6若定义在R上的函数有两条对称轴，则该函数为周期函数，周期为两条对称轴距离的两倍 一般说来，周期函数加绝对值或平方，其周期减半．（如ysin2x,ysinx的周期都是, 但ysinxcosx则不是）

函数ysinx2,ysinx,ycosx都不是周期函数

二、不等式

1．穿根法解不等式

用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

如：x1x1x20

2． 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 如：解不等式logax1

23 4

3. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 例如：解不等式|x3|x11

 （解集为x|x1） 24．会用不等式|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问题

5．不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：af(x)恒成立af(x)的最小值 af(x)恒成立af(x)的最大值 af(x)有解af(x)的最小值

af(x)有解af(x)的最大值

还有以下四种类型须作了解

①x1(a,b),x2(c,d)使得

f(x1)g(x2)恒成立x1(a,b),x2(c,d)时，

f(x1)ming(x)min

②x1(a,b),x2(c,d)使得

f(x1)g(x2)恒成立x1(a,b),x2(c,d)时，

f(x1)ming(x)max

③x1(a,b),x2(c,d)使得

f(x1)g(x2)恒成立x1(a,b),x2(c,d)时，

f(x1)maxg(x)min

④x1(a,b),x2(c,d)使得

f(x1)g(x2)恒成立x1(a,b),x2(c,d)时，

f(x1)maxg(x)max

三、圆锥曲线 1、 离心率

圆（离心率e=0）、椭圆（离心率01）。 2、 焦半径

椭圆：PF1=a+ex0、PF2=a-ex0（左加右减）（其中P为椭圆上任一点，F1为椭圆左焦点、F2为椭圆右焦点）

5

双曲线：PF1= |ex0+a|、PF2=| ex0-a|（左加右减）（其中P为双曲线上任一点，F1为双曲线左焦点、F2为双曲线右焦点）双曲线焦点到其渐近线距离为b

抛物线：抛物线上任一点到焦点的距离都等于该点到准线的距离（解题中常用） 3．圆锥曲线中的面积公式：（F1 、F2为焦点）

设P为椭圆上一点，F1PF2=，则三角形F1PF2的面积为：b2tan三角形中利用余弦定理整理即可 注：|PF1| |PF2|cos22

2=b2为定值

设P为双曲线上一点，F1PF2=，则三角形F1PF2的面积为：b2cot

2注：|PF1| |PF2|sin22=b2为定值

x2y21与4．圆锥曲线与圆锥曲线相切问题不可用判别式判断（会产生增根）如：4(x3)2y21

5.若已知两个圆相交，则两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程 过圆x2+y2=r2上一点（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2， 若点（x0，y0）在已知圆外，则x0x+y0y=r2 表示切点弦 四、数列求和

裂项法：若an是等差数列，公差为d（ai0）则求snbbb时可用a1a2a2a3anan1裂项法求解，即sn=

bn111111b（）=

a1a2a2a3anan1a1an1d求导法： （典例见高三练习册p86例9）

倒序求和：（典例见世纪金榜p40练习18）

分组求和：求和：1-2+2-4+3-8+4-16+5-32+6-…分析：可分解为一个等差数列和一个等比数列然后分组求和

1求通项：构造新数列法典例分析：典例见世纪金榜p30例4——构造新数列即可

an累加法求通项 累乘法求通项

五、集合与简易逻辑

1.从集合角度来理解充要条件：若AB，则称A为B的充分不必要条件，此时B为A的必要不充分条件，（越大越必要，越小越充分）若A=B，则称A为B的充要条件

6

2．集合 A、B，AB时，你是否注意到“极端”情况：A或B；求集合的子集时是否忘记.

3．对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n， 2n1， 2n2. 2n1，CI(AB)CIACIB，4． CI(AB)CIACIB。 “p且q”的否定是“非p或非q”，

“p或q”的否定是“非p且非q”。在反证法中的相关“反设”你清楚吗？ 5．“≥”的涵义你清楚吗？不等式(x2)x22x30的解集是x|x3对吗？

附：简易逻辑之——否定词：（所谓否定，即事物的对立面） 原词 = > < 是 都是 至多有一个 至多有n个 至少有一个 任意的 否定    不是 不都是 至少有两个 至少有n+1个 一个也没有 某个 原词 任两个 p或q 能 否定 某两个 P且q 不能 注：以上否定词只是针对一般的情况而言而非绝对，遇到特殊问题还需具体分析

六、二项展开式系数：

C012…Cnn024n15n=2（其中Cn+ Cn+ Cn +…=2；C13n1n+Cn+Cn+n +Cn+ Cn+…=2

） 例：已知(1x)(1x)2(1x)3(1x)10a0a1xa22xa1010x 求a1a2a9?

七、离散型随机变量的期望与方差 E（a+b）=aE+b；E（b）=b D（a+b）=a2D；D（b）=0 D=E2—（E）2 特殊分布的期望与方差

（0、1） 分布：期望：E=p；方差D=pq 二项分布： 期望E=np；方差D=npq

注：期望体现平均值，方差体现稳定性，方差越小越稳定。 八、向量与直线

1．向量在几何中的一些应用

①给出MAMBMP,等于已知MP是AMB的平分线/

MAMB

7

②在平行四边形ABCD中，给出(ABAD)(ABAD)0，等于已知ABCD是菱形; ③在平行四边形ABCD中，给出|ABAD||ABAD|，等于已知ABCD是矩形; ④在ABC中，给出OAOBOC，等于已知O是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； ⑤在ABC中，给出OAOBOC0，等于已知O是ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； ⑥在ABC中，给出OAOBOBOCOCOA，等于已知O是ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； ⑦在ABC中，给出OPOA(222ABAC)(R)等于已知AP通过ABC的内心； |AB||AC|⑧在ABC中，给出aOAbOBcOC0,等于已知O是ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

1⑨在ABC中，给出ADABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中线;

2引申：

若三棱锥三个侧面与底面所成的角相等，则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的内心

若三棱锥三条侧棱与底面所成的角相等，则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的外心

若三棱锥三条侧棱两两垂直，则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的垂心 若该三棱锥为正三棱锥，则其顶点在底面的射影为底面三角形的中心 2.三点共线，四点共面的判断 3.直线及角的一些概念

①：直线的“到角”（按逆时针方向旋转）公式：l1到l2的角为tan=

k2k1|

1k2k1k2k1；“夹角”

1k2k1公式为tan=|



（“到角”可以为钝角，而“夹角”只能为0，之间的角）

2

②：异面直线所成角的范围：（0，

] 2③：直线倾斜角范围[0，）

④：直线和平面所成的角[0，]

2⑤：向量夹角、二面角范围：[0，]

⑥：锐角：（0，）

2⑦：0到的角表示（0，]

22

8

） 2附：三角和差化积及积化和差公式简记 S + S = S C S + S = C S C + C = C C C — C = — S S 九、立体几何

1．球与正方体的三种关系

球内切于正方体——直径等于正方体棱长

球与正方体十二条棱相切——直径等于面对角线 正方体内接于球——直径等于正方体体对角线

2．正四面体问题——通常将正四面体置于正方体中考虑

附：三角形面积公式： 11abc1S=底高=absinC==r（a+b+c）=（R为外接圆半径，r为内切圆半径）224R2⑧：第一象限角（2k，2k+

=l(la)(lb)(lc)(l为三角形周长的一半)（这就是著名的海伦公式）

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