2022届山西省晋中市高三下学期3月一模试题 数学(文)解析

晋中市2022年3月普通高等学校招生模拟考试 数学试题（文科）

（时间：120分钟满分：150分） 注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、准考证号填写在答题卡相应的位置． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上．

4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设复数z11i，则复数z的共轭复数z等于 A．12iB．12iC．32iD．32i

2．已知集合Axx3x2≤0，B1,0,1，则AA．1,0B．1,1C．1D．1,0,1,2 3．命题“x0R，x04x06≤0”的否定为

2A．xR，x04x06≤0B．xR，x4x60 2C．x0R，x4x60D．x0R，x04x06≥0

2222B等于

4．某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加2022年“希望杯”全国数学邀请赛，他们取得成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的中位数是84，乙班学生成绩的平均数是86，则xy的值为

A．36B．12C．10D．24

5．设alog20.3，blg，clog121，则 3A．acbB．bacC．cbaD．abc

6．已知等比数列an的各项均为正数，且2a13a216，2a2a3a4，则

log2a1log2a2log2a3log2a100等于

A．11000B．5050C．5000D．10000

7．执行如图所示的程序框图，若输出的a的值为17，则输入的最小整数l的值为

A．9B．12C．14D．16

8．2022年北京冬奥会成功举办．中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领相关户外用品行业市场增长．下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中正确的是

A．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降 B．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加

C．2016年与2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等 D．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次增长率为12.6%

9．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在

222确定x2，则2中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程2xx1122等于

A．1B．2C．3D．4

10．如图所示，圆柱的轴截面是正方形ABCD，母线BC4，若点E是母线BC的中点，F是AB的中点，则下列说法正确的是

A．EF∥ACB．点F到平面ABCD的距离为2 C．BF⊥ACD．BF与平面ABCD所成的角的大小为11．已知函数fx23sin坐标缩短为原来的

 3xxsinsinx，将函数fx的图象上所有点的横42421，纵坐标不变，然后再向左平移0个单位长度，所得的图象关于y43D． 842轴对称，则的值可能为 A．

24B．24C．

12．已知函数fx2xlnxxax3a0，若fx≥0恒成立，则a的取值范围为 A．4,B．4,C．0,4D．0,4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量a，b满足a2，b1，且ab3，则a与b的夹角等于． 14．若圆锥的底面直径为6，母线长为5，则其内切球的表面积为．

15．已知圆E的圆心为a,2，直线l1：xy10，l2：xy10与圆E分别交于点A，B与C，D，若四边形ABCD是正方形，则圆E的标准方程为． 16．已知数列an满足a14，an12an，数列bn的通项公式为bnn1，记数列anbn的2an1n29n36*nN前n项和为Sn，若存在正数k，使对一切恒成立，则k的取值范围为． ≤2kSnn三、解答题：共70分．解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题是必考题，每个考生都必须作答．第22、23题是选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）

2022年2月4日，冬奥会在北京与张家口开幕，如图，四边形ABCD是主办方为运动员精心设计的休闲区域的大致形状，区域四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道AC，D2B，AD4，CD6，B3．

（1）求氢能源环保电动步道AC的长； （2）若BC4，求花卉种植区域总面积． 18．（本小题满分12分）

PAAB如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，

过点B作BE⊥AC，交AD于点E，点F，G分别为线段PD，DC的中点．

2，AD2，

（1）证明：AC⊥平面BEF； （2）求三棱锥F-BGE的体积． 19．（本小题满分12分）

某农场主拥有两个面积都是200亩的农场——“生态农场”与“亲子农场”，种植的都是黄桃，黄桃根据品相和质量大小分为优级果、一级果、残次果三个等级．农场主随机抽取了两个农场的黄桃各100千克，得到如下数据“生态农场”优级果和一级果共95千克，两个农场的残次果一共20千克，优级果数目如下：“生态农场”20千克，“亲子农场”25千克． （1）根据所提供的数据，判断是否有95%的把握认为残次果率与农场有关？ （2）种植黄桃的成本为5元/千克，且黄桃价格如下表： 等级 价格（元/千克） 优级果 0 一级果 8 残次果 －0.5（无害化处理费用） ①以样本的频率作为概率，请分别计算两个农场每千克黄桃的平均利润；

②由于农场主精力有限，决定售卖其中的一个农场，请你根据以上数据帮他做出决策．（假设两个农场的产量相同）

nadbc2参考公式：K，其中nabcd．

abcdacbd附表：

2PK2≥k0 k0 0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 20．（本小题满分12分）

已知函数fxxlnx．

（1）求曲线yfx在点e,fe处的切线方程；

（2）求函数fx的最小值，并证明：当b0时，b≥．（其中e为自然对数的底数）

b1e1e21．（本小题满分12分）

222在平面直角坐标系xOy中，已知直线3x4y550与圆C1：xyr相切，另外，椭圆

3x2y2C2：221ab0的离心率为，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于C，D两点．且

2abCD1．

（1）求圆C1的方程与椭圆C2的方程；

（2）经过圆C1上一点P作椭圆C2的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆C1相交于M，N两点（异于点P），求△OAB的面积的取值范围．

（二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]

3xt2在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点0为极点，y11t2x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）直线l与曲线C交于A，B两点，设点P0,1，求PAPB的值． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数fx12xx． （1）求fx≥x的解集；

（2）若fx2x4x2a≥0恒成立，求a的取值范围． 试卷类型：A

23．

12cos2晋中市2022年3月普通高等学校招生模拟考试 数学答案（文科）

1．A

[因为z11i112ii2．C

[由题意可知，Axx23x2≤0xx1x2≤0x1≤x≤22212i，所以z12i，故选A．]

，

B1,0,1，则AB1，故选C．]

3．B

[因为命题“x0R，x04x06≤0”是特称命题，所以其否定是全称命题，即为“xR，

2x24x60”，故选B．]

4．D

[因为甲班学生成绩的中位数是84， 所以根据茎叶图可得80x为中位数， 即80x84， 解得x4．

又因为乙班学生成绩的平均数是86， 即

76818180y91919686，

7解得y6，故xy4624，故选D．] 5．D

[因为alog20.3log210， 即a0，0lg1blglg101， 即0b1，clog121log23log221， 3即c1，所以abc，故选D．] 6．B

[设等比数列an的公比为q， 因为等比数列an的各项均为正数， 所以q0， 因为2a2a3a4， 所以2a2a2qa2q，

22即qq20，

解得q2或q1（舍去）， 因为2a13a216， 即2a13a1q16， 解得a12，

所以通项公式为ana1qnn122n12n，

所以log2anlog22n， 所

以

log2a1log2a2log2a3B．] 7．A

log2a10012310011001005050．故选

2[第一次循环，a2213，a3t不成立；第二次循环，a2315，a5t不成立；第三次循环，第四次循环，a2519．a9t不成立；a29117，a17t，成立，所以9≤t17，输入的最小整数t的值为9．] 8．B

[对于A，2016年至2018年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年增加，2018年至2021年同比增长率逐年下降，故A错误；对于B，由条形图可知，2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故B正确；对于C，由条形图可知，2016年与2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是2015年滑雪人次为800万，2020年滑雪人次为1750万，同比增长基数差距大，同比增长人数不相等，故C错误；对于D，由统计图可知，2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的增长率约为9．A [令21970900100%118.9%，故D错误．]

900x，

11221即2x，

x2即x2x10，解得x1， 故211221，故选A．]

10．B

[如图所示，设O是AB的中点，连接OE，OF，在正方形ABCD中，BC4，可得OB2，在△ABC中，可得OE∥AC，则EF与AC不平行，选项A错误；因为F是AB的中点，所以OF⊥平面ABCD，所以点F到平面ABCD的距离为2，选项B正确；∠ABF是BF与平面ABCD所成的角，其大小为

，选项D错误；BF与AB不垂直，也得不出BF⊥AC，选项C错误．] 4

11．A [由题意可知，

xxfx23sinsinsinx

4242xx23sincossinx

42423sinxsinx3cosxsinx

22sinx，

3将函数fx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的

1，纵坐标不变，可得y2sin4x的

34图象，然后再向左平移0个单位长度，可得y2sin4x4图象关于y轴对称，可得4的图象，因为所得的33k2kZ，则24kkZ，取k0，得424．故选A．]

12．D

[因为fx≥0恒成立，

即fx2xlnxxax3≥0恒成立，

22xlnxx2332lnxx恒成立， 即a≤xx设hx2lnxx则h'x2x13x0， x3x3x1， x2x2当x0,1时，h'x0，hx在0,1上单调递减， 当x1,时，h'x0，hx在1,上单调递增， 所以hxminh14， 则0a≤4．故选D．] 13．

2 3解析

由条件ab3， 可得ab23，

22即a2abb3， 得到ab1， 所以cosa,b2ab1，

2ab所以a,b14．9 解析

2． 3圆锥的轴截面如图所示，

则圆锥的高h534，设内切球的半径为r， 根据面积相等，可得圆锥轴截面的面积为得到r221164r556， 223， 223所以内切球的表面积为S4r249．

215．x2y21 解析

设半径为r，这时圆E的标准方程为xay2r．

22222由题意知，圆心E在直线xy0上， 所以a2．

又l1，l2两直线间的距离d且四边形ABCD是正方形， 所以2r2d224，

221111222，

解得r1，

所以圆E的标准方程为x2y21． 16．, 解析

因为an12an， 即

2223an12， an所以数列an为公比为人的等比数列， 又因为a14， 所以ana1q所以anbn2n12n1，

n1n1n12n，nN*， 223所以Sn2232421n12n，①

2Sn222323424②－①得，Sn42223n12n1，② 2nn12n1

4412n112n1n12n1n2n1，

所以Snn2．

因为不等式an1n29n36kS≤n2对一切nN*恒成立， n所以2k≤n29n36n对一切nN*恒成立，

即

2k≤n36n9对一切nN*恒成立， 只需满足

2k≤n36n9， min因为n36n9≥2n36n93， 当且仅当n36n时，即n6时，等号成立， 所以

2k≤3， 所以k≥23，

故k的取值范围是2,3． 17．解 （1）因为B3，D2B，

所以D23， 在

△

ADC

中

，

由

余

弦

定

理

可

AC2AD2DC22ADDCcosD42622461276，

所以AC219．

（2）因为BC4，在△ABC中，由余弦定理可得AC2AB2BC22ABBCcosB，即76AB21624ABcos3，

得AB24AB600，

解得AB10或AB6（舍去）， 即AB10． 因为B3，所以sinBsin332， 知

所以SABC因为D113ABBCsinB104103， 2222， 323， 32所以sinDsin所以SADC1ADDCsinD 2134663， 22所以花卉种植区域总面积为SABCSADC10363163． 18．（1）证明 因为BEAC， 所以DACBEA2，

又因为DACDCA所以DCABEA，

2，

所以RtBAE∽RtADC， 所以

ADCD， ABAE又因为AD2，ABCD所以AE1，

所以点E为线段AD的中点， 所以EF∥PA，

2，

又因为PA平面ABCD，AC平面ABCD， 所以PAAC， 所以EFAC， 又EFBEE，EF，BE平面BEF，

所以AC平面BEF． （2）解

由（1）可知EF∥PA且EF又因为PA平面ABCD， 所以EF平面ABCD，

12PA， 22SBEGS矩形ABCDSABESEDGSBCG2222232， 2424所以V三棱锥FBGE19．解

12321． 3244（1）作出2×2列联表如下： 农场 生态农场 亲子农场 总计 非残次果 95 85 180 2残次果 5 15 20 总计 100 100 200 20095158552因为K5.5563.841，

10010018020所以有95%的把握认为黄桃的残次果率与农场有关．

（2）①对于“生态农场”，抽到的产品中盈利为5元的频率为0.2，盈利为3元的频率为0.75，盈利为－5.5元的频率为0.05，所以该农场每千克黄桃的平均利润为； 50.230.755.50.052.975（元）

对于“亲子农场”，抽到的产品中盈利为5元的频率为0.25，盈利为3元的频率为0.60，盈利为－5.5

元的频率为

0.15，所以该农场每千克黄桃的平均利润为

． 50.2530.65.50.152.225（元）

②由于两个农场的产量相同，所以“生态农场”的盈利能力更大，应该售卖“亲子农场”． 20．解

（1）fxxlnx的定义域为0,， 因为f'x1lnxx0， 所以f'e1lne2， 又因为feelnee，

所以曲线yfx在点e,fe处的切线方程为ye2xe，即2xye0． （2）令f'x1lnx0，x0， 解得x1， e111时，f'x0，当x时，f'x0，所以fx在0,上单调递减，在eee当0x1,上单调递增， e所以fxminf1e111ln． eee证明如下：当b0时，有fb≥fxmin， 所以blnb≥，

1e1e即lnb≥ln，

b1e1e1e所以b≥． 21．解

222（1）由题可知，圆C1：xyr的圆心为0,0，因为直线3x4y550与圆C1：

b1ex2y2r2相切，

所以r5534225，

22所以圆C1的方程为xy5，

因为椭圆C2的离心率为3， 2所以ec3， a2即c3a， 22b21， 因为CDa所以b22a， 222又因为abc，

a3a2所以a，

242解得a2，b1，

x2y21． 所以椭圆C2的方程为4（2）设点Ax1,y1，Bx2,y2，Px0,y0．

当直线PA的斜率存在时，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则直线PA的方程为

yk1xx1y1．

由yk1xx1y1222，消去y，得14kx8kykxx4ykx40． 1111111122x4y402264k12y1k1x1414k124y1k1x14．

2令0，整理得4x1k122x1y1k11y120．

则k1x1y1x1y1x1， 224x14y14y1x1xx1y1． 4y12所以直线PA的方程为y化简可得x1x4y1y4y1x1， 即

2x1xy1y1． 4x1xy1y1． 4经验证，当直线PA的斜率不存在时，直线PA的方程为x2或x2，也满足

x2xy2y1． 4xxxx因为Px0,y0在直线PA，PB上，所以10y1y01，20y2y01．

44xx所以直线AB的方程为0y0y1．

4同理，可得直线PB的方程为

x0xy0y1由4，

22x4y422消去y，得3y05x28x0x1616y00．

21616y08x0所以x1x2，x1x2． 223y053y052x0x1x2 所以AB1216y0222215y0564x043y051616y0 22216y03y0522253y13y012504223y0y03y25． 23y05y00又点O到直线AB的距离d|4|x16y2020453y120．

所以SOAB22243y011253y014． 22223y053y553y010令3y01t，t1,4， 则SOAB4t4． 24t4tt又t44,5， t45所以△OAB的面积的取值范围为,1． 22．解

3xt2（1）由（t为参数），消去参数得直线l的普通方程为x3y30， y11t2由曲线C的极坐标方程为

2xcos3及， 212cosysiny2x21． 得曲线C的直角坐标方程为33xty22x21得到5t22t40， （2）把（t为参数）代入

3y11t2设A，B对应的参数分别为t1，t2， 则t1t224，t1t2， 55所以t1，t2异号， 故PAPBt1t2t1t24t1t22221， 5所以PAPB的值为23．解

221． 51时，fx2x1xx1≥x，解得x； 211当0x时，fx12xx13x≥x，解得0x≤；

24（1）当x≥当x≤0时，fx12xx1x≥x，解得x≤0； 故fx≥x的解集为,．

41（2）由于fx12xx，

所以12xx2x4x2a≥0， 即2a≤12x2x4，

因为12x2x4≥12x2x43， 故2a≤3，即a≤3． 23故a的取值范围为,．

2