勾股定理培优题

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勾股定理

一. 知识要点 1、 勾股定理

勾股定理在西方乂被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴含着丰富的文化价值，勾股 定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理”・

勾股定理反映了直角三角形(三边分别为b、6其中C为斜边)的三边关系，即 它的变形式为产#F或

勾股定理是平面儿何中最重要的儿何定理之一，在儿何图形的计算和论证方面，有着重要的应 用，它沟通了形与数，将儿何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法. 2、 勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长$、b、C满足44\"则这个三角形是以c为斜边的直角三角形. 勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这种方法与前面学过的一些判 定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的，实际上利用il•算证明儿何问题在儿何里也是很重要 的，这是里体现了数学中的重要思想一一数形结合思想，突破了利用角与角之间的转化计算直角的 方法，建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法，它将数形之间的联系体现得淋漓尽致•因此 也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”・ 二. 基本知识过关测试

1 •如果直角三角形的两边为3, 4,则第三边$的值是 ____________ ・ 2•如图，图形月是以直角三角形直角边◎为直径的半圆，阴影5二 ___________ ・

3•如图，有一个圆柱的高等于12皿，底面半径3cm —只蚂蚁要从下底面上万点处爬至上底与厂点 相对的S点处，所需爬行的最短路程是 ___________ . 4.如图.在△磁中,CD丄也于D,丽=5, CD=2yj3 , Z万防30° ,则川二 _______________ . 5•作长为血,, 75的线段.

6•在下列各组数中 ①5，12, 13 :②7, 24, 25；③3訂42, 5:；④3日，4G 5a；⑤a2+l, 2a(a>l):⑥力-/, 2mn, zzf+n:(/»>/?>0)可作直角三角形三边长的有 ____________ 组. 7•如图，四边形月砲中，倨1, BU2, CX2、Q3, ABLBC,则四边形月砲的面积

第7题图

试判断△应刊勺形状.

是 __________ ・

三. 综合•提高•创新

【例1】(1)在三角形纸片遊中，ZC90° , ZA=30° , AO3,折叠该纸片，使点力与点方重 合，折痕与M、M分别相交于点0和点疋(如图),折痕眩的长是多少？

(2) 如图，在矩形月砲中，倨8, Q10,按如图所示折叠，使点0落在肚上的点疋处，求折痕 肿的长.

(3) 如图，正三角形的边长为2,弭是朋边上的中点，尸是 兀边上任意一点，刊+刊的最大值 和最小值分别记作S和T.求*T2的值.

【练】如图，四边形個⑦是长方形，把沿M折叠到△血D , ADr与BC交于E,若加=4, 0G3,求处

【例2】(1)如图，△初。中，Z6^60° ,妙70, A(=30,求肚的长.

(2) 如图，在四边形月磁中，九片2, GM, ZA=60° , Z庐Z》90° ,求四边形月砲的面积.

【练】如图，△遊中，J=150° ,停2, 56^=713 ,求M的长.

A

【例3】(1)如图，厶4庞中，AB=A(=209 於32, D为BC上一点,ADX.AB,求GZ

(2)如图，在Rt △/!庞中，Z6^90° , D、疋分别是应；如7中点，血^=5, 於2佰，求,45

B

【例4】如图，△個C中，Z如存90° , G?丄肋于0,设AUb, BOa. 於c, CBh、求证:

(2) a+6(3) 以尹氏力和丹力为边的三角形是直角三角形.

【例5】(1)如图，月砲为矩形，P为矩形宓9所在平面上一点，求证：P4PB=PD-PC.

(2)锐角△遊中，初丄BC于0 若Z庐2ZG 求证：AC =AB ^AB- BC.

ZZ

变式：如图，月於是庞的恭边上的中线，求证：AB +AC =2 (AM +BM ).

2:

22

A

(3)如图，△遊中，AB=AC,尸为线段兀上一动点，试猜想初S AP. PB.刖 有何关系，并加 以证明.

变式：若点尸在肚的延长线上，如图，(3)中结论是否仍然成立？并证明.

(4) 在等腰Rt/XABC的斜边初所在的直线上取点尸并设s二AP+B, 试探求尸点位置变化时，s与 2/的大小关系，并证明.

变式：若点尸在场的延长线上，如图中，(4)中结论是否仍然成立？并证明.

c

【例6】(1)如图，△個7中，〃为历边上的中点，以0为顶点作Z&F90。, DE、莎分别交

0AB、川7于以/ % 且 BF+FC二E& 求证：ZBA090 ・

(2)在Rt/\\ABC中，Z场090° , A&-AC, E尸分别是恭上两点，若Z£4/^45° ,试推断比 CF、疗之间的关系，并证明.

变式一:将(2)中△应/旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立？试证明.

变式二：如图，中ZE4/M5。, AGVEF于G 且G&2、G匸3、求

A

【例7】(1)在△/!庞中，Z川存90° , AOBC,尸为△/!庞内一点，且刊二3, Pi PB2、求Z 眈的度数.

(2)如图，在四边形月砲中，ZABO3Q , Z〃C60° , AD^CD,求证丽二AS^BC.

Q

【例8】在等腰△/!庞中，A&-AC,边月万绕点月逆时针旋转角度皿 得到线段血 (1)如图1,若Z54030° , 30° B C

(2)如图2,若Z场090° , 0° 【例9】(1)已知点P在一、三象限的角平分线上，且点尸到点A (3, 6)的距离为用二15,求点尸 的坐标；

(2)已知直角坐标平面内的△遊三个顶点的坐标分别为力(-1, 4),万(-4, -2) , <7(2,- 2),试判断△宓的形状；

(3)求代数式JF +J(3-x)2 +4的最小值;

(4) 已知日>0, 6>0,求以&W ,苛+4庆，7^77眉为三边长的三角形的面积.

自我归纳:

D

四、课后练习

1 •如图，一艘货轮向正北方向航行，在点月处测得灯塔弭在北偏西30° ,货轮以每小时20海里的 速度航行，1小时后到达万处，测得灯塔”在北偏西45°，问该货轮到达灯塔正东方向0处时，货 轮与灯塔”的距离是多少？

2•在△遊中，J=30° , ^=45° , BUZcnu 求 3. (1)如图，把长方形沿月砲对角线折叠，重合部分为△翊1) 求证和：△啟为等腰三角形； 2) 若 A»2、BU& 求血： 川7及ZU%的面积.

东

(2)如图，折叠长方形月砲的一边肋，使点刀落在虑边上，已知 停8cm CE^Xcm.求初

4•如图，△遊是等腰三角形，ZBAO9Q° , QAC, •是恭上的两点，且ZDAB=A5° ,若松6, EU8,求％的长.

5.如图，在等腰三角形中，AB-AC, 〃是斜边％的中点，E、尸分别为月5 /1C边上的点，且％丄 DF. (1) 求证：BE+CF=EF；

(2) 若 於12, C気 试求△必尸的面积.

6・如图，等腰 RtAABC中，ZA=90° , P为△ABC 内一点」PA=19 皆3,

,求 ACPA.

c

A B

7. (1)如图1,已知点尸是矩形宓9内一点，求证：PR+PC二P珀PD.

(2)①如果点尸移动到矩形的一边或顶点时，如图2, (1)中结论仍成立;

②如果点尸移动到矩形月砲的外部时，如图3, 并给出证明.

(1)中结论仍成立•请在以上两个结论中任选一个

归纳结论:

8. 如图，△遊中，初是％边的中点，血是 恭边上的高，求证：AB-AC=2BC• DE.

9. 求代数式V?石+ J(9_e +4的最小值.

10. 试判断，三边长分别为2/+2m 2n+l, 2/+2hl (n>0)的三角形是否为直角三角形?

11・已知 by x, y 都为正数，求证：&2 + (b-y)2 + J(d一x)2 + ),2 ^yja2 +b2 .

12•如图，Rt△遊的两直角边/15=4, A(=39 △遊内有一点只PDIBC予D PEVAC于E PFIAB 于斤 且兰+兰+竺二12,求刃、PE、〃的长.

PF PE PD