1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
π3π
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．
22π3π
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．
222．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 π{x|x∈R且x≠＋kπ，2k∈Z} 值域 [－1,1] ππ在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)22单调性 π3π上递增；在[＋2kπ，＋222kπ](k∈Z)上递减 π当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax2最值 π＝1；当x＝－＋2kπ(k∈Z)2时，ymin＝－1 奇偶性 对称中心 对称轴方程 周期
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R 振幅 A 周期 2πT＝ ω频率 1ωf＝＝ T2π相位 ωx＋φ 初相 φ 奇函数 (kπ，0)(k∈Z) πx＝＋kπ(k∈Z) 22π 偶函数 π(＋kπ，0) (k∈Z) 2x＝kπ(k∈Z) 2π 奇函数 kπ(，0)(k∈Z) 2 π 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 [－1,1] 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 R ππ在(－＋kπ，＋22kπ)(k∈Z)上递增 定义域 R R 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：
x 0－φ ω0 0 π－φ2 ωπ 2A π－φ ωπ 0 3π－φ2 ω3π 2－A 2π－φ ω2π 0 ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下：
1
函数y＝sin x，x∈[－π，π]的单调性是( )
2A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
ππππ
－，上是增函数，在－π，－和，π上都是减函数 B．在2222C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
ππππ
，π和－π，－上是增函数，在－，上是减函数 D．在2222答案 B
2．函数y＝tan 2x的定义域是( )
πkππ
x≠kπ＋，k∈Z D.xx≠＋，k∈Z C.x824
πkππ
x≠kπ＋，k∈Z B.xx≠＋，k∈Z A.x428
答案 D
πkππ
解析 由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
224
kππ
x≠＋，k∈Z. ∴y＝tan 2x的定义域为x24
2π
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，
3则下列结论正确的是( )
A．f(2) 又当x＝时，2x＋φ＝＋φ＝2kπ－(k∈Z)， 33211π ∴φ＝2kπ－(k∈Z)， 6π 又φ>0，∴φmin＝， 6 ππ 故f(x)＝Asin(2x＋)．于是f(0)＝Asin ， 66π 4＋ f(2)＝Asin64＋π＝Asin5π－4， ＝Asinπ－66 π13π－4＋＝Asinf(－2)＝Asin66－4 13π－4＝Asin4－7π. ＝Asinπ－66 π5π7πππ 又∵－<－4<4－<<， 26662ππ －，上单调递增， 又f(x)在22∴f(2) x＋的最大值为________，此时x＝__________________. 函数y＝3－2cos4答案 5 3π ＋2kπ(k∈Z) 4 π x＋的最大值为3＋2＝5， 解析 函数y＝3－2cos4π3π 此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)． 44 π 2x－的单调递增区间是( ) 函数f(x)＝tan3kππkπ5πA.2－12，2＋12(k∈Z) kππkπ5πB.2－12，2＋12(k∈Z) π2π kπ＋，kπ＋(k∈Z) C.63 π5π kπ－，kπ＋(k∈Z) D.1212答案 B 解析 πππ 由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)得， 232kππkπ5π －＜x＜＋(k∈Z)， 212212 πkππkπ5π 2x－的单调递增区间为－，＋(k∈Z)，故选B. 所以函数f(x)＝tan3212212 π －2x＋的单调减区间为___________ 函数f(x)＝sin3答案 π5 kπ－，kπ＋π )1212解析 π 2x－， 由已知函数为y＝－sin3 π 2x－的单调增区间． 欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin3πππ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 232π5π 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 1212 π5π kπ－，kπ＋(k∈Z)． 故所给函数的单调减区间为1212 π2x－π中，2x＋，在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos④y＝tan最小正周期为π的所有函数为( ) 64A．①②③ B．①③④ C．②④ 答案 A 解析 ①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π； ②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π； π2π 2x＋的最小正周期T＝＝π； ③y＝cos62ππ 2x－的最小正周期T＝，因此选A. ④y＝tan42 ππ ω＞0，|φ|＜的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)23象关于原点对称，则函数f(x)的图象( ) π5π A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称 1212π5π ，0对称 D．关于点，0对称 C．关于点1212答案 B D．①③ 解析 2π 由题意知＝π，∴ω＝2； ω π2π x－＋φ]＝sin2x＋φ－π，此时关于原点对称， 又由f(x)的图象向右平移个单位后得到y＝sin[23332π2π2ππππ ＋kπ＜，∴k＝－1，φ＝－， ∴－＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴323323 ππππ5πππ 2x－.当x＝时，2x－＝－，∴A、C错误；当x＝时，2x－＝，∴B正确，D错误．∴f(x)＝sin 3123612 (2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A．y＝cos2x＋π2 B．y＝sin2x＋π2 C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x 解析 选项A中，y＝cosπ 2x＋2＝－sin 2x，符合题意． 函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( A. kπ－14，kπ＋3 4，k∈Z B. 2kπ－13 4，2kπ＋4，k∈Z C.k－14 ，k＋3 4，k∈Z D.2k－14，2k＋3 4，k∈Z 解析 由图象知，周期T＝2×514－4＝2， ∴ 2π ω ＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝ππ2＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝4， ∴f(x)＝cosπ πx＋4. 32 ) ) 13π13 2k－，2k＋，k∈Z.由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－ πx＋，下列说法正确的是( ) 对于函数f(x)＝sin2A．f(x)的周期为π，且在[0,1]上单调递增 B．f(x)的周期为2，且在[0,1]上单调递减 C．f(x)的周期为π，且在[－1,0]上单调递增 D．f(x)的周期为2，且在[－1,0]上单调递减 答案 B π πx＋＝cos πx，则周期T＝2，在[0,1]上单调递减，故选B. 解析 因为f(x)＝sin2πxπ2．函数y＝2sin6－3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A．2－3 B．0 C．－1 D．－1－3 答案 A πππ7π解析 ∵0≤x≤9，∴－≤x－≤， 3636ππ3x－∈－，1. ∴sin632 ∴y∈[－3，2]，∴ymax＋ymin＝2－3. π 2x－，下列说法正确的是( ) 关于函数y＝tan3A．是奇函数 π 0，上单调递减 B．在区间3π C.6，0为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为π 答案 C π 2x－是非奇非偶函数，A错误； 解析 函数y＝tan3π 0，上单调递增，B错误； 在区间3π 最小正周期为，D错误． 2πππ 2×－＝0， ∵当x＝时，tan636 π ∴6，0为其图象的一个对称中心，故选C. 函数y＝cos 2x＋sin2x，x∈R的值域是( ) 1 A．[0,1] B．[，1] C．[－1,2] D．[0,2] 2答案 A 1－cos 2x 解析 y＝cos 2x＋sin2x＝cos 2x＋ 2＝ 1＋cos 2x . 2 ∵cos 2x∈[－1,1]，∴y∈[0,1]． 函数f(x)＝sin(－2x)的单调增区间是___________________________________________． π3π kπ＋，kπ＋(k∈Z) 答案 44解析 由f(x)＝sin(－2x)＝－sin 2x， π3π 2kπ＋≤2x≤2kπ＋ (k∈Z)得 22π3π kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)． 44 π 2x＋的图象与x轴交点的坐标是__________________． 函数y＝tan4kππ 答案 2－8，0(k∈Z) π 解析 由2x＋＝kπ(k∈Z)得， 4kππ x＝－(k∈Z)． 28πkππ 2x＋的图象与x轴交点的坐标是－，0(k∈Z)． ∴函数y＝tan428 π1π 把函数y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度，那 623么所得图象的一条对称轴方程为( ) ππ A．x＝－ B．x＝－ 24π C．x＝ 8答案 A 解析 π1π 将y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x＋)；再将图象向右 626πππππ 平移个单位长度，得到函数y＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x－)，故x＝－是其图象的一条对称轴方程 33622 π D．x＝ 4 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为__________． πT7πππ 答案f(x)＝2sin(2x＋)解析 由题图可知A＝2，＝－＝，所以T＝π，故ω＝2，因此f(x)＝2sin(2x 341234773ππ π，－2为最小值点，∴2×π＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|＜π，∴φ＋φ)，又121223π ＝. 3 π 故f(x)＝2sin(2x＋)． 3 ππ2π 设函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则下列说法正确的是 223________．(填序号) 3π2π ①f(x)的图象过点(0，)；②f(x)在[，]上是减函数； 2123 5π ③f(x)的一个对称中心是(，0)；④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y＝3sin ωx的图象． 12答案 ①③ 2π2π4π 解析 ∵周期为π，∴＝π⇒ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x＋φ)，f()＝3sin(＋φ)， ω33 4πππ4π5π114π3πππ 则sin(＋φ)＝1或－1.又φ∈(－，)，＋φ∈(，π)，∴＋φ＝⇒φ＝，∴f(x)＝3sin(2x＋)． 32236632663ππ3π ①：令x＝0⇒f(x)＝，正确．②：令2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z 2262 π2ππ2ππ2πππ ⇒kπ＋ ③：令x＝⇒f(x)＝3sin π＝0，正确．④：应平移个单位长度，错误． 1212 xπxπ 已知函数f(x)＝23sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)． 2424(1)求f(x)的最小正周期； π (2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最 6小值． xπxπ 解 (1)f(x)＝23sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)＝3cos x＋sin x[3分] 2424 π2π ＝2sin(x＋)，[5分]于是T＝＝2π.[6分] 31ππ (2)由已知得g(x)＝f(x－)＝2sin(x＋)，[8分] 66 ππ7ππ1π ∵x∈[0，π]，∴x＋∈[，]，∴sin(x＋)∈[－，1]，[10分]∴g(x)＝2sin(x＋)∈[－1,2]．[11分] 666626故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分] π 2x－的部分图象可能是( ) 函数y＝cos3 答案 D ππ 2x－，∴当2x－＝0， 解析 ∵y＝cos33 ππ 即x＝时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x＝时取得最大值的只有D. 66 π x－，x∈R. 已知函数f(x)＝sin2x－sin26(1)求f(x)的最小正周期； ππ －，上的最大值和最小值． (2)求f(x)在区间341－cos 2x 解 (1)由已知，有f(x)＝－ 21113＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x 2222＝ π311 2x－. sin 2x－cos 2x＝sin6442 π 2x－1－cos3 2 2π 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. 2 πππππ1－，－上是减函数，在区间－，上是增函数，且f－＝－， (2)因为f(x)在区间636434ππππ1331 －＝－，f＝，所以f(x)在区间－，上的最大值为，最小值为－. f63424442 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容