高中数学联合竞赛模拟试题五

第一试

一、选择题（每小题6分，共计36分）

y 1. 数集M＝{s|s＝x2＋bx＋c，x∈R}与N＝{t|t＝y2－by＋c，y∈R}

的关系为

B A A.M∩N B.M＝N

1 C.M∪N D.不能确定

2. 已知函数y＝2x2在[a，b](a＜b)上的值域为[0，2]，则点(a，b)的x C 轨迹是图中的 O －1 A.线段AB，BC B.线段AB，OC C.线段OA，BC D.线段OA，OC

11cosθisinθcosθisinθ3. 复数z1＝的关系为 ,z21cosθisinθ1cosθisinθ1cosθisinθ1cosθisinθA.z1＞z2 B.z1＝z2 C.z1＜z2 D.不能比较大小

4. 设△ABC的三个内角的对边分别为a，b，c，如果a2＝b(b＋c)，b2＝c(c＋a)，那么下列等式中不成立的是

111A.∠A＝2∠B＝4∠C B.

abc1C.cosC－cosB－cosA＝ D.sin2A＋sin2B＋sin2C＝2

25. 给定四棱锥S－ABCD，其中底面四边形不是平行四边形，用

S 一个与四条侧棱都相交的平面截这个四棱锥，截得四边形

D' A'B'C'D'，记集合M＝{四边形A'B'C'D'为平行四边形}，则有 A' C' A.M为空集 B.M为无穷集合

B' C.M为单元素集合 D.M的元素个数不确定

6. 红、黄、蓝变色灯的拉线开关是这样设定的：接上电源就出

A D 现红色，拉第一次开关后灯变为黄色，拉第二次开关后灯变为蓝色，拉第三次开关后灯又变为红色，如此循环往复。现C 在对编号为1，2，3，……，1997的1997盏变色灯通上电源，

B 先将编号为2的整数倍的灯的开关拉一下，然后将编号为3

的整数倍的灯的开关拉一下，最后将编号为5的整数倍的灯的开关拉一下，三次拉完后，黄色灯的盏数为 A.1530 B.1464 C.932 D.866 二、填空题(每小题9分，共计54分)

已知(－1)n23n≡bn(mod9)(0≤bn≤8)，则bn的取值集合为__________. D

xxxx

1. 方程log5(3＋4)＝log4(5－3)的解集为___________.

A 2. 如图，三棱柱上有一个空间五边形ABCDE，AB的中点为A1，BC的E A4 A3

中点为A2，CD的中点为A3，DE的中点为A4，连结A1A3，A2A4，M

M N MNA1

是A1A3的中点，N是A2A4的中点，则＝___________.

AEC

4x2A2 B 3. 双曲线y2－x2＝1与y＝的交点为___________.

x24. 对于Sn＝{1，2，3，…，n}的每一个非空子集A，我们将A中的每一个元素k(1≤k≤n)都乘

以(－1)k，然后求和，则所有这些和的总和为___________.

5. 在直角坐标系内，Rt△OAB三个顶点的坐标为O(0，0)，A(1，0)，B(1，2).于斜边OB内任取一点C(x，2x)(0＜x＜1)，过C作CD⊥OA于D，CE⊥AB于E，记△OCD的面积为S1(x)，矩形CDAE的面积为S2(x)，△CEB的面积为S3(x)，又对同一个x，记f(x)为S1(x)、S2(x)、S3(x)中的最大值，当C在线段OB内变化时，f(x)的最小值为___________.

－＋

三、(20分)函数y＝(x＋3)＋lg[103＋10x(x4)]是否有最小值？若有，请求出来，若无，请作出

证明。

四、(20分)对于曲线C1:3(x2＋2y2)2＝2(x2＋4y2)上除原点外的每一点P，求证：存在过P点的直

线与椭圆C2:x2＋2y2＝2相交于点A、B，使△AOP与△BOP均为等腰三角形.

五、(20分)某县位于沙漠地带，人与自然长期进行顽强的斗争，到1997年底全县的绿化率已经

达到30%(成为绿洲)，从1998年开始，每年将出现这样的局面，原有沙漠面积的16%被栽上树，改造为绿洲，而原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠。

⑴设全县面积为1，而1997年底绿洲面积为a1＝30%，经过n年绿洲面积为an＋1，求证：

44 an＋1＝an

525⑵至少需要经过多少年的努力，才能使全县的绿化率超过60%(年数取整，四舍五入)。

第二试

一、（50分）在锐角△ABC中，BD是AC边上的高，E是AB边上一点，满足∠AEC＝45°，

BD＝2CE，求证：DE∥BC的充要条件是CE＝AC＋AD.

21二、（50分）若|lgx|＞|lg4x|＞|lg2x|，则x

42 三、（50分）有n(n≥6)名乒乓球选手进行单循环赛(无平局)，比赛结果显示：任意5人中既有

1人胜于其余4人，又有1人负于其余4人，问恰胜两场的人数有几个？