四边形专项训练解析附答案

一、选择题

1．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（ ）

A．4 【答案】D 【解析】 【分析】

B．25 C．6 D．26 利用旋转的性质得出四边形 AECF的面积等于正方形 ABCD的面积，进而可求 出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案． 【详解】

QADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置．

四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20，

ADDC25，

QDE2，

RtADE中，AEAD2DE226 故选：D． 【点睛】

本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应 边关系是解题关键．

2．如图，在矩形ABCD中， AB4,BC6,点E是AD的中点，点F在DC上，且

CF1,若在此矩形上存在一点P，使得VPEF是等腰三角形，则点P的个数是（ ）

A．3 【答案】D 【解析】 【分析】

B．4 C．5 D．6

根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当EF为腰，E为顶角顶点时，②当EF为

腰，F为顶角顶点时，③当EF为底，P为顶角顶点时，分别确定点P的位置，即可得到答案． 【详解】

∵在矩形ABCD中，AB4，BC6，CF1，点E是AD的中点，

EF32184．

∴VPEF是等腰三角形，存在三种情况：

①当EF为腰，E为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在BC上存在两个点P，在AB上存在一个点P，共3个，使VPEF是等腰三角形； ②当EF为腰，F为顶角顶点时，

Q186,

在BC上存在一个点P，使VPEF是等腰三角形；

③当EF为底，P为顶角顶点时，点P一定在EF的垂直平分线上， ∴EF的垂直平分线与矩形的交点，即为点P，存在两个点． 综上所述，满足题意的点P的个数是6． 故选D． 【点睛】

本题主要考查等腰三角形的定义，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义和矩形的性质，学会分类讨论思想，是解题的关键．

3．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接CF，DG，则

DG（ ） CF

A．

2 3B．

2 2C．3 3D．3 2【答案】B 【解析】 【分析】

连接AC和AF，证明△DAG∽△CAF可得【详解】 连接AC和AF，

DG的值． CF

则

ADAG2， ACAF2∵∠DAG=45°-∠GAC，∠CAF=45°-GAC， ∴∠DAG=∠CAF． ∴△DAG∽△CAF． ∴

DGAD2． CFAC2故答案为：B. 【点睛】

本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形．

4．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是( ) A．8 【答案】A 【解析】

试题分析：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180，解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数． 解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°， 由题意得：x+3x=180， 解得x=45，

这个多边形的边数：360°÷45°=8， 故选A．

考点：多边形内角与外角．

B．9

C．10

D．12

5．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是 （ ）

A．183 【答案】C 【解析】 【分析】

B．183π C．32316 D．1839

由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可． 【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°， ∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°， ∵DF是菱形的高， ∴DF⊥AB， ∴DF=AD•sin60°=8343， 2∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积

120(43)2=84332316．

360故选：C. 【点睛】

本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．

6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（ ）

A．3 【答案】C 【解析】 【分析】

B．4 C．5 D．6

先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可． 【详解】 解：如图

∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8， ∴AB=3242=5，

作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值， ∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点， ∴E′在AD上，且E′是AD的中点， ∵AD=AB， ∴AE=AE′， ∵F是BC的中点， ∴E′F=AB=5． 故选C．

7．四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝20°，则∠CAD的度数是（）.

A．25° 【答案】B 【解析】

B．20° C．30° D．40°

∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD，AC⊥BD， ∵DH⊥AB，

1 BD， 2∵∠DHO=20°，

∴OH=OB=

∴∠OHB=90°-∠DHO=70°， ∴∠ABD=∠OHB=70°，

∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°． 故选A．

8．如图，在矩形ABCD中， AB3,BC4,将其折叠使AB落在对角线AC上，得到

折痕AE,那么BE的长度为（ ）

A．1 【答案】C 【解析】 【分析】

B．2

C．

3 2D．

8 5由勾股定理求出AC的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x，则CE=4x，利用勾股定理，即可求出x的值，得到BE的长度． 【详解】

解：在矩形ABCD中，AB3,BC4， ∴∠B=90°，

∴AC32425，

由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF， ∴CF=5-3=2，

在Rt△CEF中，设BE=EF=x，则CE=4x， 由勾股定理，得：x2(4x)， 解得：x∴BE2223； 23． 2故选：C． 【点睛】

本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质，利用勾股定理正确求出BE的长度．

9．如图，小莹用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，BC长为10cm．当小莹折叠时，顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE)．则此时EC=( )cm

A．4 【答案】D 【解析】 【分析】

B．2 C．22 D．3

根据矩形的性质得AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC﹣BF=4，设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中利用勾股定理得到:42+x2=（8﹣x）2，然后解方程即可． 【详解】

解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°． ∵长方形纸片ABCD折纸，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）， ∴AF=AD=10，DE=EF，

在Rt△ABF中，AB=8，AF=10，∴BF=∴CF=BC﹣BF=4． 设CE=x，则DE=EF=8﹣x， 在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2， ∴42+x2=（8﹣x）2，解得x=3 ∴EC的长为3cm． 故选：D 【点睛】

本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，根据勾股定理得出方程是解题关键．

AF2AB26

10．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（ ）

A．40 【答案】B 【解析】 【分析】

根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO=∠DAO，得到AD=CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO=3，于是得到结论． 【详解】

∵AB＝AD，点O是BD的中点， ∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO， ∵∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD，

B．24

C．20

D．15

∴∠BAC＝∠ACD， ∴∠DAC＝∠ACD， ∴AD＝CD， ∴AB＝CD，

∴四边形ABCD是菱形， ∵AB＝5，BO∴AO＝3， ∴AC＝2AO＝6， ∴四边形ABCD的面积故选：B． 【点睛】

本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

1BD＝4， 216×8＝24， 2

11．下列命题中是真命题的是（ ） A．多边形的内角和为180° C．全等三角形的对应边相等 【答案】C 【解析】 【分析】

根据多边形内角和公式可对A进行判定；根据矩形的性质可对B进行判定；根据全等三角形的性质可对C进行判定；根据平行线的性质可对D进行判定． 【详解】

A.多边形的内角和为(n-2)·180°（n≥3），故该选项是假命题， B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题， C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，

D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题， 故选：C． 【点睛】

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键．

B．矩形的对角线平分每一组对角

D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等

12．如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（ ）

A．1 【答案】D 【解析】 【分析】

B．

3 4C．

2 3D．

1 2由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长． 【详解】

∵AD是△ABC角平分线，CG⊥AD于F， ∴△AGC是等腰三角形， ∴AG=AC=3，GF=CF， ∵AB=4，AC=3， ∴BG=1，

∵AE是△ABC中线， ∴BE=CE，

∴EF为△CBG的中位线，

11BG=， 22故选：D． 【点睛】

∴EF=

此题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理，解题关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

13．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝④OE＝

1BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△AOE；21BC,成立的个数有（ ） 4

A．1个 【答案】C

B．2个 C．3个 D．4

【解析】 【分析】

利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=BE=线合一进行推理即可． 【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形，

1BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三2

∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠EAD=60° ∴△ABE是等边三角形， ∴AE=AB=BE，∠AEB=60°， ∵AB=

1BC， 21BC， 2∴AE=BE=

∴AE=CE，故①正确； ∴∠EAC=∠ACE=30° ∴∠BAC=90°， ∴S△ABC=

1AB•AC，故②错误； 2∵BE=EC，

∴E为BC中点，O为AC中点， ∴S△ABE=S△ACE=2 S△AOE，故③正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC=CO， ∵AE=CE， ∴EO⊥AC， ∵∠ACE=30°， ∴EO=∵EC=

1EC， 21AB， 2∴OE=

1BC，故④正确； 4故正确的个数为3个， 故选：C． 【点睛】

此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是解题关键．

14．已知YABCD(ABBC)，用尺规在ABCD内作菱形，下列作法错误的是( )

A．如图1所示，作对角线AC的垂直平分线EF，则四边形AECF为所求

B．如图2所示，在AB，DC上截取AEAD，DFDA，则四边形AEFD为所求 C．如图3所示，作ADC、ABC的平分线DE，BF，则四边形DEBF为所求 D．如图4所示，作BDEBDC，DBFDBA，则四边形DEBF为所求 【答案】C 【解析】 【分析】

根据平行四边形的性质及判定、菱形的判定逐个判断即可． 【详解】

解：A、根据线段的垂直平分线的性质可知AB＝AD， 一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意； B、根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；

C、根据两组对边分别平行四边形是平行四边形，不符合题意； D、根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意． 故选：C． 【点睛】

本题考查了复杂作图，解决本题的关键是利用平行四边形的性质及判定、菱形的判定．

15．如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（ ）.

A．1个 【答案】D

B．2个

C．3个

D．4个

【解析】

分析：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．证明△DFE≌△FCG 得EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；

详解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．

∵CD=2AD，DF=FC， ∴CF=CB， ∴∠CFB=∠CBF， ∵CD∥AB， ∴∠CFB=∠FBH， ∴∠CBF=∠FBH，

∴∠ABC=2∠ABF．故①正确， ∵DE∥CG， ∴∠D=∠FCG， ∵DF=FC，∠DFE=∠CFG， ∴△DFE≌△FCG， ∴FE=FG， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB=90°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBG=90°， ∴BF=EF=FG，故②正确， ∵S△DFE=S△CFG，

∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确， ∵AH=HB，DF=CF，AB=CD， ∴CF=BH，∵CF∥BH， ∴四边形BCFH是平行四边形， ∵CF=BC，

∴四边形BCFH是菱形， ∴∠BFC=∠BFH，

∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD， ∴FH⊥BE，

∴∠BFH=∠EFH=∠DEF， ∴∠EFC=3∠DEF，故④正确， 故选D．

点睛：本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性

质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

16．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（ ）

A．6cm 【答案】D 【解析】

B．4cm C．3cm D．2cm

分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解． 详解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处， ∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1， 又∵∠BAD=90°， ∴四边形ABEB1是正方形， ∴BE=AB=6cm， ∴CE=BC-BE=8-6=2cm． 故选：D．

点睛：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．

17．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）

D．150°

A．110° 【答案】B 【解析】 【详解】 解：∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠EFB=20°，

B．120° C．140°

图b中∠GFC=180°-2∠EFG=140°， 在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，

故选B．

18．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，下列说法错误的是（ ）

A．△ABD≌△ECD C．DA＝DE 【答案】D 【解析】 【分析】

B．连接BE，四边形ABEC为平行四边形 D．CE＝CD

根据平行线的性质得出∠B=∠DCE，∠BAD=∠E，然后根据AAS证得△ABD≌△ECD，得出AD=DE，根据对角线互相平分得到四边形ABEC为平行四边形，CE=AB，即可解答． 【详解】 ∵CE∥AB，

∴∠B=∠DCE，∠BAD=∠E， 在△ABD和△ECD中，

B=DCEBAD=E BD=CD∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴DA=DE，AB=CE， ∵AD=DE，BD=CD，

∴四边形ABEC为平行四边形， 故选：D． 【点睛】

此题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定，解题的关键是证明△ABD≌△ECD．

19．如图，VABC中，ABAC5，AE平分BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则DE的长为（ ）

A．2 【答案】B 【解析】 【分析】

B．2.5 C．3

D．5 根据等腰三角形三线合一可得AE⊥BC，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE的长度． 【详解】

解：∵ABAC5，AE平分BAC， ∴AE⊥BC，

又∵点D为AB的中点，

1AB=2.5， 2故选：B． 【点睛】

∴DE=本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．

20．如图，YABCD的对角线AC与BD相交于点O，ADBD，ABD30，若AD23．则OC的长为（ ）

A．3 【答案】C 【解析】 【分析】

B．43 C．21 D．6

先根据勾股定理解Rt△ABD求得BD6，再根据平行四边形的性质求得OD3，然后根据勾股定理解Rt△AOD、平行四边形的性质即可求得OCOA【详解】 解：∵ADBD ∴ADB90

∵在Rt△ABD中，ABD30，AD23 ∴AB2AD43 ∴BD21．

AB2AD26

∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OBOD11BD3，OAOCAC

22∴在Rt△AOD中，AD23，OD3 ∴OA故选：C 【点睛】

本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．

AD2OD221

21．

∴OCOA