贝努利不等式的推广及证明

・４０・　中学数学月刊　２００８年第２期　贝努利不等式的推广及征明　常国良（江苏省泰兴中学２２５４００）　《普通高中数学课程标准（实验）》选修课　当　≥Ｏ时，（１帆）　≥１，ｉ＝１，２，３，…，ｎ一１．　程４“不等式选讲”的内容与要求的第７款　所以１＋（１帆）＋（１帆）　＋…＋（１帆）　＞凡，　是：会用数学归纳法证明贝努利不等式：　（１帆）　≥１＋砒（　＞一１，ｎ是正整数）．了解　当ｎ为实数时贝努利不等式也成立．笔者发　现此不等式成立的条件还可进一步改进推　广．　推广１当　＞一２，且ｎ为正整数时，　（１＋　）　≥ｌ＋ｎｘ．　（１）　证法１当ｎ＝ｌ时，不等式（１）成立；　当ｎ≥２时，设．厂（　）＝（１＋　）　一仡　一１，贝０　ｆ　（　）＝凡（１＋　）ｎ－ｌ＿ｎ＝ｎ【（１＋　）　一１】．　因为　＞一２，所以当ｘ＞０时，（１帆）　＞１，　即．厂　（　）＞Ｏ；当一２＜ｘ＜０时，一ｌ＜ｌ＋ｘ＜ｌ，有（１＋　）　一　≤Ｉ　１＋　Ｉ　＜１，最ｐ．厂　（　）＜Ｏ．　又．厂（　）在ｘ＝０处连续且可导，所以当　＞一２时，．厂（　）的最小值为　（Ｏ）＝Ｏ，　故ｆ（ｘ）＝（１帆）　砒一１　＞Ｉ０．　综上，当　＞＿２，且ｎ为正整数时，（１慨）　≥　ｌ＋ｎｘ．　证法２（数学归纳法）　当ｎ＝ｌ时，不等式（１）成立；　假设ｎ＝ｋ时，不等式（１）成立，即（１帆）＾≥　ｌ＋ｋｘ，从而（１拟　ｌ—ｋｘ＞￣Ｏ．　当凡＝ｋ＋１时，（１＋　）　”一１一（．ｊ｝＋１）　＝　【（１拟）　一１　】＋（１慨　Ｌ＜１慨）　ｆ（１慨　１】．　当　≥Ｏ时，（１帆）　＞１，所以　［（１帆）　一１　１　≥Ｏ：　当一２＜ｘ＜０时，（１帆）　≤Ｉ　１帆　＜１，（１＋　）　一１＜０，所以　【（１＋　）　１】＞０．　所以当ｎ＝ｋ＋ｌ时，不等式也成立．　综上，不等式（１）成立．　证法３由等比数列前ｎ项求和公式可　得ｑ　一ｌ＝（ｑ一１）（１＋ｑ＋ｑ　＋…＋ｑ　一　），ｑ∈Ｒ，ｎ为　正整数．所以当　＞一２时，　（１＋　）“一１一砒　【１＋（１帆）＋（１＋　）　＋…＋（１帆）　卜砒　．＝　【１＋（１＋　）＋（１＋　）２＋…＋（１＋　）ｎ－Ｉ　ｎ】．　所以（１帆）　１一砒≥Ｏ；　当一２　＜Ｏ时，（１帆）　≤Ｉ　１慨Ｉ　＜１，ｉ＝　１，２，３，…，ｎ一１．　所以１＋（１＋　）＋（１＋ｘ）２＋…＋（１＋　）　＜凡，　所以（１帆）　１一ｎｘ＞０．　即当　＞一２，且ｎ为正整数时，不等式（１）　成立．　推广２对任意正偶数ｎ，且　∈Ｒ，有　（１帆）　≥ｌ＋ｎｘ．　例已知ａ＞０，ｎ为正整数．　设．厂＾（　）＝　一（　一０）　，对任意ｎ≥０，证明　／　＋－（凡＋１）＞（凡＋１　（凡）．　（￥）　这是２００３年全国高考（江苏卷）第２１　题，内容新、题型新，集中考查了导数和不等　式证明等知识，解答的思路和方法较多，这里　仅给出利用贝努利不等式证明的方法，供参　考．　证明对ｘ＞ｌ，因　＞Ｏ＞一１，一　＞一１，由　贝努利不等式，得　（　＋｝　ｎ　，　１　一ｎ　，　两边同乘　，得　（　＋１）　＞　‘＋，ｔ　，（　一１）　＞　‘＿，ｔ　，　所以（　＋１）　‘＿　＞仡　且ｎｘｎ－　＞ａ　‘＿（　一１）　若０≥１，则分别取ｘ＝ｎ及ｘ＝ｎ＋ｌ—ａ，　￣ＪＪ（ｎ＋１）　—＿几，｜＞凡，广　＞凡（凡＋１—０）　一＞（凡＋１—０）＾＿＿　（凡一０）　，　即得（￥）式：（凡＋１）　（叶１　），｜＞，　（凡吧）　；　若０＜ａ＜ｌ，分别取　＝旦　及　，　则（　卟（　）　＞　凡（　）ｎ－ｌ＞（　卜（　一　）　，　同乘矿即得（￥）式：（凡＋１）　（肼１　），｜＞，　（凡—口）