三角函数和差公式

⒈同角三角函数的基本关系式倒数关系: tanα ·＝cot1 αsinα ·＝csc1 αcosα ·＝sec1 α商的关系：

sinα/cos＝αtanα＝secα/cscαcosα/sin＝αcotα＝cscα/secα平方关系：

sin^2(α）＋cos^2(α）＝1 1＋tan^2(α）＝sec^2(α）1＋cot^2(α）＝csc^2(α）⒉两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcos＋βcosαsinβsin（α－β）＝sinαcos－βcosαsinβcos（α＋β）＝cosαcos－βsinαsinβcos（α－β）＝cosαcos＋βsinαsinβ

tan（α＋β）＝（tanα＋tanβ）/（1－tantan（α－β）＝（tanα－tanβ）/（1＋tan倍角公式

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· ·）tanβ）tanβαα⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α）－sin^2(α）＝2cos^2(α）－1＝1－2sin^2(α）2tanα

tan2α＝—————1－tan^2(α）半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）1－cosα

sin^2(α＝—————/2)21＋cosαcos^2(α/2)＝—————21－cosαtan^2(α/2)＝—————1＋cosα万能公式⒌万能公式2tan(α/2)sinα＝——————1＋tan^2(α/2)1－tan^2(α／2) cosα＝——————1＋tan^2(α/2)

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2tan(α/2)tanα＝——————1－tan^2(α/2)万能公式推导附推导：

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(（因为cos^2(α)+sin^2(α）)=1

再把*分式上下同除cos^2(α），可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α))然后用α/2代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式

⒍三倍角的正弦、xx和正切公式sin3α＝3sinα－4sin^3(α）cos3α＝4cos^3(α）－3cosα3tanα－tan^3(α）tan3α＝——————1－3tan^2(α）三倍角公式推导附推导：

tan3α＝sin3α/cos3α

＝(sin2αcos＋αcos2αsinα)/(cos2α-sin2cosααsinα）

α)+sin^2(，

α))......*

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＝(2sinαcos^2(＋α）cos^2(α)sin－αsin^3(α))/(cos^3(－cosα）αsin^2(－α）2sin^2(α)cosα）

上下同除以cos^3(α），得：

tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))sin3α＝sin(2＋α）α＝sin2αcos＋αcos2αsinα＝2sinαcos^2(＋α）(1－2sin^2(α))sinα＝2sinα－2sin^3(α）＋sinα－2sin^2(α）＝3sinα－4sin^3(α）

cos3α＝cos(2α＋α）＝cos2αcos－αsin2αsinα＝(2cos^2(α）－1)cosα－2cosαsin^2(α）＝2cos^3(α）－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))

＝4cos^3(α）－3cosα即sin3α＝3sinα－4sin^3(α）cos3α＝4cos^3(α）－3cosα三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想

正弦三倍角：3元减4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”（音似“正弦”））余弦三倍角：4元3角减3元（减完之后还有“余”）

☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

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α＋βα－β

sinα＋sinβ＝2sin—----cos·—--- 22 α＋βα－β

sinα－sinβ＝2cos—----sin·—---- 22 α＋βα－β

cosα＋cosβ＝2cos—-----cos·—----- 22 α＋βα－β

cosα－cosβ＝－2sin—-----sin·—----- 22

积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式sinα ·＝cosβ

0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）] cosα ·＝sinβ

0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）] cosα ·＝cosβ

0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）] sinα ·＝－sinβ

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0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）] 和差化积公式推导附推导：

首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 同样的,我们还知道

cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 这样,我们就得到了积化和差的四个公式sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

我们把上述四个公式中的

a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把

:

:

a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

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sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

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