年初中奥数题及答案
初中奥数题试题一
一、选择题（每题分，共分）
．如果，都代表有理数，并且＋，那么 ( ) ．，都是 ．，之一是 ．，互为相反数 ．，互为倒数 答案：
解析：令，－，满足(－)，由此、互为相反数。 ．下面的说法中正确的是 ( ) ．单项式与单项式的和是单项式 ．单项式与单项式的和是多项式 ．多项式与多项式的和是多项式 ．整式与整式的和是整式 答案：
解析：²，都是单项式．两个单项式，²之和为²是多项式，排除。两个单项式²，之和为是单项式，排除。两个多项式与－之和为是个单项式，排除，因此选。 ．下面说法中不正确的是 ( ) . 有最小的自然数
．没有最小的正有理数 ．没有最大的负整数 ．没有最大的非负数 答案：
解析：最大的负整数是，故错误。
．如果，代表有理数，并且＋的值大于－的值，那么 ( ) ．，同号 ．，异号 ．＞ ．＞ 答案：
．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) ．个 ．个 ．个
．无数个 答案：
解析：在数轴上容易看出：在－π右边的左边（包括在内）的整数只有－，－， －，共个．选。
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．有四种说法：
甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。
这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) ．个 ．个 ．个 ．个 答案：
解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故错误。 ．代表有理数，那么，和－的大小关系是 ( ) ．大于－ ．小于－
．大于－或小于－ ．不一定大于－ 答案：
解析：令，马上可以排除、、，应选。 ．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) ．乘以同一个数 ．乘以同一个整式 ．加上同一个代数式 ．都加上 答案：
解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于的数，所以排除。我们考察方
程－，易知其根为．若该方程两边同乘以一个整式－，得(－)(－)，其根为及，不与原方程同解，排除。同理应排除．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对，这里所加常数为，因此选．
．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了，第三天又较第二天增加了，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) ．一样多 ．多了 ．少了
．多少都可能 答案：
解析：设杯中原有水量为，依题意可得， 第二天杯中水量为×(－)； 第三天杯中水量为()×()××；
第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为 ∶，
所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选。
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．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将( ) ．增多 ．减少
．不变．增多、减少都有可能 答案：
二、填空题（每题分，共分） ．²－²。 答案：²－² ()×(－)
()×。
解析：利用公式²²（）()计算。
．－＋－－－…－。 答案：－－－－…－ (－)(－)(－)(－)…(－)
－。
解析：本题运用了运算当中的结合律。
．当－，时，代数式 ²的值是。 答案：
解析：原式(－)²－。把已知条件代入代数式计算即可。
．含盐的盐水有千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐时，秤得盐水的重是克。 答案：（克）
解析：食盐的盐水千克中含盐×（千克）， 设蒸发变成含盐为的水重克， 即千克，此时，×()× 解得：（克）。
遇到这一类问题，我们要找不变量，本题中盐的含量是一个不变量，通过它列出等式进行计算。 三、解答题
1.甲乙两人每年收入相等，甲每年储蓄全年收入的，乙每月比甲多开支元，三
5年后负债元，求每人每年收入多少？ 答案：
：
解得，
答：每人每年收入元。
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所以的末四位数字的和为＋＋＋。
．一个人以千米小时的速度上坡，以千米小时的速度下坡，行程千米共用了小时分钟，试求上坡与下坡的路程。
答案：设上坡路程为千米，下坡路程为千米．依题意则：
由②有， ③
由①有，将之代入③得 。
所以(千米)，于是(千米)。
答：上坡路程为千米，下坡路程为千米。 ．求和：
。
答案：第项为
所以
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。 ．证明：质数除以所得的余数一定不是合数。 证明：设＋，≤＜，
因为为质数，故≠，即＜＜。
假设为合数，由于＜，所以的最小质约数只可能为，，。 再由＋知，当的最小质约数为，，时，不是质数，矛盾。 所以，一定不是合数。
解：设
由①式得()()，即
()()。
可知＜．由①，＞，且为整数，所以，，．下面分别研究，。 ()若时，有
解得，，与已知不符，舍去．
()若时，有
因为或都是不可能的，故时无解． ()若时，有
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解之得
故＋。
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初中奥数题试题二
一、选择题 ．数是 ( ) ．最小整数 ．最小正数 ．最小自然数 ．最小有理数 答案：
解析：整数无最小数，排除；正数无最小数，排除；有理数无最小数，排除。是最小自然数，正确，故选。
为有理数，则一定成立的关系式是 ( ) ．＞ ．＞ ．＞ ．≥ 答案：
解析：若，×排除；排除；＜排除，事实上因为＞，必有＞．选。 ××()的值是 ( ) ． ． ． ． 答案：
解析：××()
()× ，选。
.在，，，与这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( ) ． ． ． ． 答案：
解析：，，，与中最大的数是，绝对值最大的数是，()×()，选。 二、填空题
．计算：()()()×()÷()。 答案：()()()×()÷()()() 。 .求值：()。 答案：()。
为正整数，的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是。则的最小值等于。
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答案：
解析：的末四位数字应为的末四位数字．即为，即末位至少要个，所以的最小值为。
.不超过()²的最大整数是。 答案：
解析：()²，不超过的最大整数为。
.一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是，则这个质数是。 答案：
解析：个位数比十位数大的两位数有，，其中只有是质数。 三、解答题
．已知，求＋的值。 答案：原式
()() ×＋×。 ．某商店出售的一种商品，每天卖出件，每件可获利元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价元，每天就少卖出件。试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？
答案：原来每天可获利×元，若每件提价元，则每件商品获利(＋)元，但每天卖出为()件。
如果设每天获利为元， 则 ＝(＋)() ＋
(＋)＋＋ ()＋。
所以当时，最大元，即每件提价元，每天获利最大为元。
．如图－所示，已知⊥，平分∠，平分∠，∠＋∠°。求证：⊥。
证明：∵平分∠，平分∠及∠＋∠°， ∴∠＋∠°， ∴ ∥。 又∵ ⊥， ∴⊥。
.求方程｜｜｜｜｜｜的整数解。
答案：｜｜｜｜｜｜｜｜，即 ｜｜(｜｜)(｜｜)， 所以(｜｜)(｜｜)。
因为｜｜＋＞，且，都是整数，所以
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.王平买了年利率％的三年期和年利率为％的五年期国库券共元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为％)
答案：设设王平买三年期和五年期国库券分别为元和元，则
因为 ，
所以 (＋×)(＋)()(×)， 所以 ＋， 所以 ，
所以 (元)，(元)。 . 对，的哪些值，方程组答案：因为 (－)＝， ①
至少有一组解？
为一切实数时，方程组有唯一解．当，时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解。
当，≠时，①无解。
所以，≠，为任何实数，或，时，方程组至少有一组解。
初中奥数题试题三
一、选择题
.下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是 ( ) . ²与²
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²与 ² ²与² 与 答案：
解析：字母相同,并且相同字母的指数也相同的两个式子叫同类项。 .()()()等于 ( ) ． ． ． ． 答案：
解析：()()()
，选。
.两个次多项式的和是 ( ) ．次多项式 ．次多项式 ．次多项式
．不高于次的多项式 答案：
解析：多项式与²之和为²是个次数低于次的多项式，因此排除了、、，选。 .若＜，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是 ( ) ．，，， ．，，， ．，，， ．，，， 答案：
解析：由＜，知＜，所以＞。于是由小到大的排列次序应是＜＜＜，选。
()，，()，则 ( ) ．＞＞ ．＞＞ ．＞＞ ．＞＞ 答案：
解析：易见，＜，()＞＞，所以＜＜，选。
．若＜，＞，且＜，那么下列式子中结果是正数的是 ( ) ．()() ．()() ．()() ．()() 答案：
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因为＜，＞．所以，．由于＜得＜，因此＞，＜。＜，＜。所以应有()()＞成立，选。 ．从减去的一半，应当得到( ) ． ． ． ． 答案： 1解析：2a5b（4a4b），选。 2．，，，都是有理数，并且，，那么与 ( ) ．互为相反数 ．互为倒数 ．互为负倒数 ．相等 答案： 解析：因为，所以，即，互为相反数，选。 ．张梅写出了五个有理数，前三个有理数的平均值为，后两个有理数的平均值是，那么张梅写出的五个有理数的平均值是 ( ) 答案： 解析：前三个数之和×， 后两个数之和×。 所以五个有理数的平均数为（）÷，选。 二、填空题（每题分，共分） ．()()()()()()。 答案： 解析：前个数，每四个一组，每组之和都是．所以总和为。 .若²²，²²，则代入到代数式[()]中，化简后，是。 答案：。 解析：因为[()] () () 以²²，²²代入， 原式()[(²²)(²²)] ()。 ．小华写出四个有理数，其中每三数之和分别为，，，，那么小华写出的四个有理数的乘积等于。 答案：。 --
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解析：设这四个有理数为、、、，则
abc=2a+b+d=17 a+c+d=-1b+c+d=-3有（），即。
分别减去每三数之和后可得这四个有理数依次为，，，，所以，这四个有理数的乘积×()××。 ．一种小麦磨成面粉后，重量要减少，为了得到公斤面粉，至少需要公斤的小麦。 答案：
解析：设需要公斤的小麦，则有 （％）
三、解答题
答案：原式化简得()，当≠时，
答案：
. 液态农药一桶，倒出升后用水灌满，再倒出混合溶液升，再用水灌满，这时农药的浓度为％，求桶的容量。 答案：
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去分母、化简得，即)()，
. ．设是△内一点．求：到△三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围。 答案：
如图－所示。在△中有＜＋， ① 延长交于．易证＋＜＋， ②
由①，② ＜＋＜， ③ 同理 ＜＋＜＋， ④
＜＋＜＋。 ⑤
③＋④＋⑤得＋＋＜(＋＋)＜(＋＋)。
所以 。
. 甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行千米，甲经过小时到东站，乙经过小时到西站，求两站距离。
答案：设甲步行速度为千米小时，乙步行速度为千米小时，则所求距离为()千米；
依题意得：
由①得， ③
由②得＋，将之代入③得
即 (＋)()．解之得
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于是
所以两站距离为×＋×(千米)。
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