正弦定理与余弦定理练习题

1．已知△ABC中，a=4，b43,A30，则B等于（ ）

A．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120°2．已知锐角△ABC的面积为33，BC=4，CA=3，则角C的大小为（ ）A．75° B．60° C．45° D．30°

3．已知ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，若(2ac)cosBbcosC0，则角B的大小为（ ）A．

B．

C．

634．在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边.若

6．已知ABC中，BC6,AC8,cosCA．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形

7．在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且B2C，2bcosC2ccosBa，则角A的大小为（

A．

2 B．

3 ）

C．

 75，则ABC的形状是（ ）96A.

10．在ABC中，a，，bc分别为角A，，BC所对边，若a2bcosC，则此三角形一定是（ ）A．等腰直角三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形

A．正 B．直角 C．等腰直角 D．等腰12．在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B等于（ ）A．B=45°或135° B．B=135°

C．B=45° D．以上答案都不对

11．在△ABC中，cos2=

1221 B. C. D.4334，则△ABC为（ ）三角形．

8．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定9．在ABC中，sinA:sinB:sinC3:2:4，那么cosC（ ）

4 D．

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知a=5A．105° B．60° C．15° D．105° 或 15°

，c=10，A=30°，则B等于（ ）

1

6A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500 sinC=2，b2a23ac，则B=( )sinA25 D．36 13．在ABC,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosCcsinBcosA）

1b,且ab,则B（ 215．已知在ABC中，cos2A．直角三角形

）A. 17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝A． 3－1 B．3 C. 2 D. 1

3，a＝3，b＝1，则c＝( )

评卷人得分

一、解答题（题型注释）

 4，b2a2151515 B. C. D. 1564218．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A19．在△ABC的内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知（1）求B；

（2）若b=2，△ABC的周长为2

（1）求tanC的值；

（2）若ABC的面积为3，求b的值.

+2，求△ABC的面积．

Bb2ABC ABCA,B,Ca,b,cabcosCcsinB（1）求sinA；（2）若a 23，△ABC的面积S＝，且b>c，求b，c．

22sin(2AB)22cos(AB).

sinA22．已知△ABC的内角A，，BC的对边分别为a，，bc，且满足

21．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3b2c23a22bc2

，

16．已知ABC内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若cosB1,b2,sinC2sinA，则ABC的面积为（ 412c.2B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角

Abc，则ABC的形状是（ ）22c25A.6 B.3 C.3 D.6

14．设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若bcosCccosBasinA, 则△ABC的形状为（ ）

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定

 （Ⅰ）求

b的值；a （Ⅱ）若a1，c7，求△ABC的面积.

23．在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a2，c5，cosB（1）求b的值；（2）求sinC的值．二、填空题24．已知在

3．5ing27．在AC中，已知A43，AC4，30，则AC的面积是 ．28．在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，SC的大小为___________.

ar26．在

中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，若

e 3

25．△ABC中，若a2b2c2bc，则A＝ .

，则b=___________．

ll ti i tir29．在ABC中，已知

abc，则这个三角形的形状是 cosAcosBcosC be32(ab2c2)，则4中，，，，则___．

参考答案

1．D【解析】

试题分析：

B600或B1200，选D.

考点：正弦定理、解三角形2．B【解析】

试题分析：SABC试题分析：由正弦定理可得，

a2c2b22a21，又B0,，所以B120.cosB22ac4a2考点：1.正弦定理；2.余弦定理.

5．D【解析】解：∴sinC=•sinA=

=

，

×=

∵0＜C＜π，

∴∠C=45°或135°，∴B=105°或15°，故选D．

【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的过程中一定注意有两个解，不要漏解．6．D【解析】

，

sinCc22222c2a，又ba3acb7a，由余弦定理可得，sinAa 考点：1.正弦定理；2.两角和的正弦公式；3.已知三角函数值求角.4．C【解析】

于A为三角形内角，所以A0,sinA0,所以cosB试题分析：由已知和正弦定理得(2sinAsinC)cosBsinBcosC0,展开化简得2sinAcosBsinA0，由

12，B，选C.234

考点：三角形面积公式

3．C【解析】

113ACBCsinC34sinC33,则sinC，所以C600，选B.222 abbsinA43sin30，sinBsinAsinBa4043123；ab，BA300，42 62258275cosB0AB682682526596试题分析：由余弦定理得，所以最大角为B角，因为，

222a2b2c21试题分析：sinA:sinB:sinC3:2:4,a:b:c3:2:4cosC2ab4考点：正余弦定理解三角形

10．C【解析】

所以 a2=a2b2c2，即 b2=c2，b=c，所以三角形ABC是等腰三角形．故选C．

考点：余弦定理判断三角形的形状．11．B【解析】

试题分析：根据二倍角的余弦公式变形、余弦定理化简已知的等式，化简后即可判断出△ABC的形状．解：∵cos2=

，∴（1+cosB）=

a2b2c2试题分析：在给定的边与角的关系式中，可以用余弦定理，得a2bA，那么化简可知

2ab 考点：运用正弦和余弦定理解三角形.9．D【解析】

，

5

222abc试题分析：由题可根据正弦定理，得a2＋b22ab 考点：1、正弦定理两角和的正弦公式；2、三角形内角和定理.8．C【解析】

13，B2C,C为锐角,所以C,B,A，故选A.tanC2,tanC33632sinBcosC3sinCcosB,sin2CcosC3sinCcos2C2，2cosC23cosC2sinC2，

试题分析：由正弦定理得2sinBcosC2sinCcossinAsinBCsinBcosCcosBsinC，

所以B角为钝角，选D.

考点：余弦定理

【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件

即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具

即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.7．A【解析】

在△ABC中，由余弦定理得，=，

∴由正弦定理∵b＜a，∴B＜A，则B=45°．故选C13．A【解析】

=得：sinB===，

试题分析：利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=∵sinB≠0，∴sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB=∵a＞b，∴∠A＞∠B，∴∠B=考点：14．B【解析】

6试题分析：bcosCccosBasinAsinBcosCcosBsinCsinAsinBCsinA22sinA1A2，三角形为直角三角形

【解析】试题分析：cos2 a2c2b21a2c24【解析】试题分析：sinC2sinAc2acosBa1,c22ac42ac 考点：正弦定理，二倍角的余弦，两角和的正弦

16．B

cosAsinBsinACsinAcosC0cosC0,C，选AsinCsinC2 考点：三角函数基本公式

15．A

AbcAbcbbb2cos211cosA1cosA22c2ccccll things in their1，26

be1sinB，2ing are goo化简得，2ac+a2+c2﹣b2=2a（a+c），则c2=a2+b2，

∴△ABC为直角三角形，故选：B．12．C【解析】

试题分析：由A的度数求出sinA的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由b小于a，得到B小于A，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．解：∵A=60°，a=4，b=4，

d for sometS111515acsinB122244考点：正余弦定理解三角形

17．C【解析】

考点：余弦定理解三角形18．(1)2；(2)3.

【解析】试题分析：(1)先运用余弦定理求得c获解；（2）利用三角形的面积公式建立关于b方程求解.试题解析：（1）由余弦定理可得abc2bc222（2）因

考点：正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．19．（1）B=

（2）

【解析】解：（1）由正弦定理可得：∴tanB=，∵0＜B＜π，∴B=

；

122221b3，即b3.bcsinA3，故2322 ∴a+c+b=2+2，

即a+c=2，∴ac=，

【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

7

∴S△ABC=acsinB=××

（2）由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，即a2+c2﹣ac=4，

又b=2，△ABC的周长为2+2，

=．

所以

21sinCc22，即sinC，则cosC，所以tanC2；sinAa555=

即b2a2c22bc，将b2a2225121b，再代入b2a2c2可得ab，c代入可得c3322，

2，2 225b，进而求得ab，再运用正弦定理求sinC的值即可33 b2c2a211c23试题分析：由余弦定理可得cosAc22bc22c 20．（1）B=

4. （2）21【解析】试题分析：（1）由题为求角，可利用题中的条件abcosCcsinB，可运用正弦定理化边为角，再联系两角和差公式，可求出角B。

∴sin（B+C）=sinBcosC+sinCsinB，即cosBsinC=sinCsinB，∵sinC≠0，∴ cosBsinB， ∴tanB（2）由（1）可得ACB4333，∴CA,A0,444，由正弦定理可得：

∴a22sinA,c22sinC，

SABC∵A0,即A考点：（1）利用正弦定理进行边角互化解三角形。（2）利用正弦定理进行边角互化及正弦函数的性质。21．（1） 223（2）b,c132试题解析：（1） ∵3b2c23a22bc，

∴ cosA＝

∴ sinA＝ b2c2a21∴2bc31 又 ∴ ∠A是三角形内角 3 22.38

【解析】试题分析：（1）将已知条件变形结合余弦定理可得到cosA,进而可求得sinA；（2）由余弦定理可得到关于b,c的关系式，由三角形面积得到关于b,c的又一关系式，解方程组可求得其值

 3时，SABC取得最大值为218345，∴2A,444，∴当2A，42 22=2sinAcosA2sin2A=sin2A1cos2A=2sin(2A)1，22sinAcosAsinA242113acsinB22sinA22sinCsin=22sinAsinC22sinAsinA=2244 acb222，

sinAsinCsinBsin4 sinB1，B0,，∴B=.。cosB4 试题解析： （1）∵a=bcosC+csinB, ∴由正弦定理可得: sinA=sinBcosC+sinCsinB，

（2）由（1）已知角B，可借助三角形面积公式求，先运用正弦定理表示出所需的边，再利用正弦三角函数的性

质，化为已知三角函数的定义域，求函数值得最值问题，可解。

（2）∵S＝2213，∴bcsinA＝，∴bc＝①22222133∵ a ，∴由余弦定理可得 b2c22bc2323∴b2c21②

2∵b>c>0，∴联立①②可得b2考点：余弦定理解三角形及三角形面积求解22．（I）【解析】

试题分析：（I）利用两角和的正弦、余弦公式，化简弦定理得到式求面积.试题解析：解析：（Ⅰ）∵

3b.2；（II）2asin(2AB)22cos(AB)，得到sinB2sinA，利用正

sinAb2；（II）由（I）可求得b2，先求出一个角的余弦值，再求其正弦值，最后利用三角形面积公a∴sin[A(AB)]2sinA2sinAcos(AB)，∴sin(AB)cosAsinAcos(AB)2sinA，∴sinB2sinA，∴b2a，∴

b2.a23．（1）17（2）41717【解析】试题分析：由三角形余弦定理b2a2c22accosB，将已知条件代入可得到b的值；（2）由正弦定理

bc，将已知数据代入可得到sinC的值．sinBsinC317，∴b175试题解析：（1）由余弦定理 b2a2c22accosB，得b2425225（2）∵cosB考点：正余弦定理解三角形

34bc175∴sinB，由正弦定理 ，，sinC417455sinBsinCsinC175 11333，即△ABC的面积的.absinC1222222考点：三角函数与解三角形.

∴S△ABCa2b2c21471b2，∴C（Ⅱ）∵a1，c7，2，∴b2，∴cosC.

2ab42a3 sin(2AB)22cos(AB)，∴sin(2AB)2sinA2sinAcos(AB)，

sinA9

3,c1.2 24．

【解析】试题分析：由正弦定理可得，,代入数值可求出,可求

25．

3

试题分析：因

考点：正弦定理及运用．27．43或83,故,由正弦定理可得

ing ar,即

,应填

.

考点：余弦定理的应用；26．【解析】

eir83.考点：正弦定理和余弦定理的妙用．28．

【解析】试题分析：∵根据余弦定理得∴由4S＝

ll things inx4或x8,所以SABC11443sin30043或SABC483sin30083,故答案为43或22 th【解析】试题分析：设BCx,则由余弦定理可得16x48243xcos30,即x212x320,所以

2 be，的面积S＝

A，得 ，

∵，∴C＝

考点：正弦定理解三角形

abcsinAsinBsinC得sinAsinBsinCcosAcosBcosCtanAtanBtanCABC,三角形为等边三角形

试题分析：由正弦定理

ti考点：余弦定理与面积公式.29．等边三角形【解析】

e and10

e g0b2c2a2bc1试题分析：由余弦定理可得，cosA，又0A,所以A=

2bc2bc23oo【解析】

d for，综合得BC>AC,所以由大角对大边的原则，考点：1.正弦定理的运用；2.三角形三边关系；

so，又因为