艺术生高考数学复习学案(83-100)

§83 数系的扩张与复数的四则运算⑴

【基础知识】

1.数的扩展:数系扩展的脉络是： → → ,用集合符号表示为   ，实际上前者是后者的真子集。

2.复数的概念及分类：⑴概念：形如abi(a,bR)的数叫做 ，其中a与b分别为它的 和 。

⑵分类：①若abi(a,bR)为实数，则 ，②若abi(a,bR)为虚数，

则 ,③若abi(a,bR)为纯虚数,则 ；

⑶复数相等:若复数abicdi(a,b,c,dR) ； ⑷共轭复数：abi与cdi(a,b,c,dR)共轭 ;

｜zz｜3.复数的加、减、乘、除去处法则：设||zz1| 2|2a(a为正常数,2a<|z1-z2|）则

⑴加法: z1z2(abi)(cdi)＝ ； ⑵减法: z1z2(abi)(cdi)＝ ； ⑶乘法： z1•z2(abi)•(cdi)＝ ；

nmnmn⑷乘方： z•z ;(z) ；(z1•z2) ；

⑸除法：

z1abiz1abi ＝ ； z2cdiz2cdi4。复平面的概念:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 ， 叫做实 轴， 叫做虚轴；实轴上的点表示 ，除原点外，虚轴上的点都表示 . 5。复数的模：向量OZ的模叫做复数zabi(a,bR)的 （或 ），

记作 (或 )，即|z||abi|＝ ；

复数模的性质:⑴|z1||z2||z1z2||z1||z2|；⑵|z||z||z||z|z•z; 6。 常见的结论：

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2222

⑴i的运算律：i24n1，i4n1＝i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1,in+in+1+in+2+in+3=0；

⑵(1i) ；

1i1i ; ; 1i1i⑶设＝13i,则3＝ ；2＝ ;12＝ ； 22【基本训练】

1．若(a2i)ibi，其中a,bR,i是虚数单位,则ab等于 ． 2．设复数z11i,z2x2i(xR)，若z1z2为实数，则x等于 ． 3．若zcosisin(i是虚数单位)，则使z21的值可能是 ． 4．

221i1i等于______________。 22(1i)(1i)5．已知复数z032i,复数z满足z2i•z05z，则复数z _______________. 6．i是虚数单位,i2i3i4i【典型例题】

例1．已知：复数z(a7a6)(a5a6)i(aR),试求实数a分别取什么值时，复数z分别为:

⑴实数；⑵虚数；⑶纯虚数；⑷复数z在复平面上对应的点在x轴上方；

练习：复数z的实部和虚部都为整数，且满足z +

例2。计算下列各题：

222348i8 = ____________.

1010是实数，1 < z + ≤6，求复数z。 zz第 2 页 共 48 页

⑴

(22i)4(13i)5 ⑵

23i,22007() 1i123i⑶

(23i)(23i)1i623i ⑷( )(1i)(512i)1i32i

【课堂检测】

1．下列命题中：⑴两个复数一定不能比较大小；⑵zmni，当且仅当m0,n0时，

z为虚数;⑶如果z12z220,则z1z20;⑷如果z1,z2,z3C,则

(z1z2)2(z2z3)20,其中正确的的命题的个数是 ．

2．

12i1i200514＝_____; = ______；复数()(1)＝________；

1ii3i3

1复数z的共轭复数是______；

1i13i,则1zz2z3223．已知复数zz2008 ．

4．若复数(1bi)(2i)是纯虚数（i是虚数单位，b是实数)，则b ______________。 5．设f(n)(1in1in)()(nZ)，则集合中的元素个数为 ． 1i1i

z2azb1i，求实数a、b的值。 6．已知复数z1i，如果2zz1

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§84 数系的扩张与复数的四则运算⑵

【基础训练】

1．若复数zm(m1)(m1)i是纯虚数，则实数m的值为 ． 2．复数z21i1在复平面内所对应的点在 ． 1i1313i, vi,给出下列命题⑴uv1;⑵u3v32；⑶22223．若u111;⑷vu2其中正确的命题是 ． uv4．如果z1、z2C且满足|z1||z2||z1z2|1，则|z1z2| ． 【典型例题】

例3．设z为虚数，z1是实数,且12, z⑴求|z|的值及z的实部的取值范围； ⑵设u

练习：设x、y是实数,且

例4。 若关于x的方程x(t3ttx)i0有纯虚数根，求实数t的值和该方程的根。

2练习：关于x的方程x(2i)x1mi0,(mR)有一实根为n，设复数

221z2，求证:u为纯虚数；⑶求u的最小值． 1zxy5，求xy的值。 1i12i13i第 4 页 共 48 页

z(2mi)(12ni),求m、n的值及复数z的值．

例5．设关于x的方程x(tani)x(2i)0。

（1）若方程有实数根,求锐角和方程的实根； （2）证明：对任意k

练习：已知关于t的方程t(2i)t2xy(xy)i0,(x,yR).

（1）当方程有实根时,求点(x,y)的轨迹方程；（2）若方程有实根，求此实根的取值范围。 【课堂检测】 1．复数

222(kZ),方程无纯虚数根。

1i在复平面上对应的点位于第_______象限。 i10，则z = _____________。 12i32．复数（m2 – 3m – 4) + （m2 – 5m – 6）i表示的点在虚轴上,则实数m的值是___________。 3．若复数z满足|z｜ — z=

24．若复数z满足方程z20，则z _______；

5．若关于x的一元二次实系数方程xpxq0有一根为1i(i为虚数单位）,则

2q ．

6．设z86i，求z16z【课堂作业】

1．已知复数z1、z2满足|z1| = ｜z2| = 1，且z1 + z2 = i,求z1、z2 。

2．已知复数z满足｜z – （4 – 5i)｜ = 1，求｜z + i|的最大值与最小值. 3．已知复数z、w满足w =

23100的值. zz,(1+3i）z为纯虚数,|w｜ = 52，求w。 2i4．已知f(z)2zz3i,f(zi)63i。 求f(z).

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5．已知关于x的方程x2 – (6 +i）x + 9 + ai = 0（a∈R）有实数根b。 （1)求实数a、b的值；

(2)若复数z满足|z- a – bi｜ — 2|z｜ = 0，求z为何值时,|z｜有最小值，并求出｜z|的值.

§85 复数的几何意义⑴

【基础知识】

1。复平面内两点间的距离公式：

两个复数 的就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离；设两个复数

z1、z2在复平面内对应点分别为Z1、Z2,d为点Z1、Z2间的距离，则d ；

2.常见的复数对应点的轨迹有:已知复平面内定点z1、z2，及动点z ①方程|zz1||zz2|表示 ； ②|zz1|r(r0为常数）表示 ；

｜zz｜③|zz1|表示 ； 22a(a为正常数，2a>|z1-z2|）｜zz｜④||zz1|表示 ; 2|2a(a为正常数,2a<|z1-z2|）【基础训练】

1．满足条件|z – i| = ｜3 + 4i｜的复数z在复平面内对应点的轨迹是____________。 2。若关于x的方程x2 – mx + 2 = 0有一个虚根1 + i，则实数m的值为__________。 3．已知z3ai，且|z2|2，则实数a的取值范围是_____________。

4．已知复数z满足｜z + 1| + |z – 1｜ = 2，则z在复平面内对应点的轨迹是____________。 5．“复数abi(a,bR)为纯虚数”是“a0”的 条件． 6． 若(

35,)，则复数(cossin)(sincos)i在复平面内所对应的点在44第_________象限。

7．ABC三个顶点所对应的复数z1、z2、z3，复数z满足|zz1||zz2||zz3|，则复数z对应点的是ABC的 ．

｜z1+z｜＝｜z1-z｜8．非零复数z1、z2满足关系22，则

【典型例题】

例1．已知复数z满足z2i、

z1一定是__________. z2z2均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)在复平面2i上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围．

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练习：已知集合M(a3)(b1)i,8,N3i,(a1)(b2)i，同时满足M∩

22MNM,MN,求整数a、b．

例2.已知四边形OABC，顶点O、A、C对应的得数为0、32i、24i，试求： ⑴AO表示的复数， BC表示的复数；⑵对角线CA表示的复数；⑶求B点对应的复数．

练习：1。复平面上三点A、B、C分别对应复数1,2i，5 + 2i,则A、B、C所构成的三角形是____________.

2。复平面内有三点A、B、C，点A对应的复数为2i，向量BA对应的复数为12i，向量BC对应的复数是3i，求C点对应的复数． 【课堂检测】 1．若｜z｜ = 1,则

z一定是___________. 21z2．如果ABC是锐角三角形，则复数z(cosBsinA)i(sinBcosA)对应的点位于 ．

3．已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C分别对应复数0，1 + i，3 – i. 试求： （1）AO和CA表示的复数;（2）点B对应的复数。

§86复数的概念及几何意义⑵

【典型例题】

例3．设复数zxyi(x,yR),在下列条件下求动点Z(x,y)的轨迹．

⑴ |2zi|2； ⑵|z1i||z1i|; ⑶|z5i||z5i|8； ⑷ |z1|2|z1|； ⑸|zi||zi|22； ⑹||z1||z1|⑺ z3i; ⑻ z3cos4isin．

例4．已知z∈C,｜z – 2｜ = 1,求｜z + 2 + 5i｜的最大值和最小值.

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2；

练习：1．已知复数z满足|z34i|2，则|z|的最大值为 ． 2．已知复数z(x2)yi(x,yR)的模为3，则为 ．

2例5．设复数z1xyi(x,yR,y0)，z2cosisin(R)，且z12z1R，

y2的最大值和最小值分别x1z1在复平面上所对应的点在直线yx上，求|z1z2|的取值范围．

例6．已知复数zxyi(x,yR)满足方程|z22i||z22i|6, ⑴．求动点P(x,y)的轨迹方程;

⑵．试问是否存在直线l，使l与动点P(x,y)的轨迹交于不同的两点M与N,且线段MN恰被直线x【课堂检测】

1.已知|z1| = 1，｜z2| = 1，|z1 + z2｜ =

1平分？若存在，求出直线l的斜率取值范围；若不存在，请说明理由; 23，求|z1 – z2|.

2。复平面内有A、B、C三点，点A对应的复数为2i,向量BA对应的复数为12i，向量BC对应的复数是3i,求C点对应的复数。

3。复数z1满足z1•z22iz23ai(aR,z2为z1的共轭复数）,且其对应的点在第二象限,求a的取值范围。

§87命题的四种形式及充分条件与必要条件⑴

【基础知识】

1。原命题：若p则q；逆命题为: ；否命题为: ；逆否命题为： ； 2。 四种命题的真假关系:两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；四种命题中真命题或假命题的个数必为 个． 3。 充分条件与必要条件:

⑴如果pq,则p是q的 ,q是p ；

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⑵如果pq,qp，则p是q ；

⑶如果 ,则p是q的充分而不必要条件； ⑷如果 ， 则p是q的必要而不充分条件; ⑸如果 ，则p是q的既不充分也不必要条件；

【基础训练】

1．设集合M{x|0x3}，N{x|0x2}，那么“aM\"是“aN” 的 条件．

2．设原命题“若a+b≥2，则a，b 中至少有一个不小于1”则原命题与其逆命题的真假情况是 。

3．命题:“若a+b=0（a , b∈R），则a=b=0”的逆否命题是 。 4。设a∈R,则a>1是

2

2

1<1 的 条件． a条件

5．若a与bc都是非零向量，则“abac\"是“a（bc）”的 6。一次函数ym1x的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件nn是 。

7．已知p，q都是r的必要条件,s是r的充分条件，q是s的充分条件，则s是q的 条件,r是q的 条件,p是s的 条件。

8．用充分、必要条件填空：①x≠1且y≠2是x+y≠3的 ②x≠1或y≠2是x+y≠3的 ． 【典型例题】

例1．填空：

⑴AB是（A∩C）(B∩C）成立的 条件． ⑵在空间四点中，无三点共线是四点共面的 条件．

⑶“在△ABC中，A＝60°,且 cosB＋cosC＝1\"是“△ABC是等边三角形”的 条件． ⑷设集合A＝｛长方体｝,B＝｛正四棱柱｝,则“x∈A”是“x∈B\"的 条件.

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⑸一元二次方程ax2x10,(a0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 . ⑹命题甲：ax2ax10的解集是实数集R；命题乙:0a1，则命题甲是命题乙成立的 条件.

⑺已知h0，设命题甲为:两个实数a,b满足ab2h,命题乙为:两个实数a,b 满足

22a1h且b1h，那么甲是乙的 条件.

⑻给出下列命题①实数a0是直线ax2y1与2ax2y3平行的充要条件；②若

“若xy0，则a,bR,ab0是abab成立的充要条件；③已知x,yR，

x0或y0\"的逆否命题是“若x0或y0则xy0\" ；④“若a和b都是偶数,则ab是偶数\"的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_______________。

【课堂检测】

1.设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 条件． 2。 以下同个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点,k为非零常数，

|PA||PB|k,则动点P的轨迹为双曲线；②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，

O为坐标原点，若OP1③方程2x25x20的(OAOB),则动点P的轨迹为椭圆；

2x2y2x21与椭圆y21有相同两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线

25935的焦点.其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号）

3。设，，为两两不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线,给出下列四个命题:(1)若

，，则//；（2)若m,n,m//,n//,则//；（3)若//,l,则l//；（4)若l,m,n,l//,则m//n.

其中真命题的个数是______________。

§88命题的四种形式及充分条件与必要条件⑵

【典型例题】

例2．已知c〉0，设P：函数y=cx在R上单调递减,Q：不等式x+｜x－2c｜〉1的解集为

R，如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．

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练习：设有两个命题： ①关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立；②函数f(x）

=－（5－2a)x是减函数．若命题有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是 ． 例3．（对任意实数a，b，c，给出下列命题：

①“ab”是“acbc”充要条件；②“a5是无理数”是“a是无理数”的充要条件③“a>b”是“a2〉b2\"的充分条件；④“a〈5”是“a〈3\"的必要条件。其中真命题的个数是 ．

练习:有下列四个命题：

①“若xy0,则x,y互为相反数\"的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q1,则x22xq0有实根”的逆命题;

④“不等边三角形的三个内角相等\"的逆否命题;其中真命题的个数是 ． 例4．求证:关于x的方程x2axb0有两均小于2的实数根的充分不必要条件是

2a2且b4.

练习：已知a0,b0，试求对任意x1，不等式ax【课堂检测】

1．“直线与平面内无数条直线垂直”是“直线与平面垂直”的 条件

xb恒成立的充要条件 x12。 判断命题“若m0,则x2xm0有实数根”的逆否命题的真假;

【课堂作业】

1．已知函数f(x)4sin(24x)23cos2x1,条件p:4x2，条件

q:|f(x)m|2，若p是q的充分条件,求实数m的取值范围.

2。 设有两个命题:（1）关于x的不等式x2ax40对一切xR恒成立;（2）函数f(x)(52a)是减函数,若命题有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围.

x2§89逻辑连接词及全称、存在量词⑴

【考点及要求】了解逻辑连接词“或\"、“且”、“非”的含义，学会用它们正确表示相关的

数学命题;常用的全称、存在量词及全称、存在性命题的基本形式,对全称、存在性命题的否定.

【基础知识】

1。常见词语的否定：如:“等于、大于、小于、是、都是、至多一个、至少一个、任意的、

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所有的、至多n个、任意两个、或、且”的否定分别是: 2．复合命题形式的真假判别方法； p q 非p P或q P且q 真 真 真 假 假 真 假 假 3．命题的否定与否命题的区别,全称性命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称性命题. 【基础训练】

1.指出命题“23\"的形式是 ， 判定它的真假为 。写出该命题的否定为 。

2。写出命题“xR， ax4x10”的否定形式 。

2

23. 命题p：存在实数m，使方程x＋mx＋1＝0有实数根,则“非p\"形式的命题是 __ _______________．

4. 判断下列命题的真假：

⑴xR,xx10; ⑵xQ,212121xx是有理数; 347⑶,R,sin()sinsin； ⑷xZ,yQ,3x2y10; ⑸a,bR,方程axb0恰有一实数解．

【典型例题】

例1。 在下列结论中,①\"pq\"为真是\"pq\"为真的充分不必要条件；

②\"pq\"为假是\"pq\"为真的充分不必要条件； ③\"pq\"为真是\"p\"为假的必要不充分条件; ④\"p\"为真是\"pq\"为假的必要不充分条件；

正确的是________ _______．

练习:由下列各组命题构成的“p或q\"、“p且q”“非p”形式的命题中,“p或q\"为真,“p且q\"为假,“非p”为真的是 （ ） A．p：3是偶数，q:4是奇数; Bp：3+2=6， q：5＞3；

C．p：QR, q：NZ ; Dp：菱形对角线互相平分，q：菱形对角线互相垂直 例2．写出下列命题的否定并判别真假。

（1） 全等的三角形是相似三角形. （2） 若x，y都是奇数,则x+y是偶数. （3） 若xy=0，则x=0或y=0. (4） 至少有一个实数x，使得sinxcosx2 练习：对于下述命题p,写出“非p”形式的命题,并判断“p”与“非p“的真假： ⑴p:91∈A∩B（其中全集U=N＊，A={质数}，B=｛正奇数}）.

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⑵p：底面是正多边形的棱锥是正棱锥。 ⑶p：任意正整数都是质数或合数。 ⑷p:三角形有且仅有一个外接圆。 【课堂检测】

1．若命题“p且q”为假,且“非p”为假，则_______________． 2．如果BA,那么A是B的_______________条件．

3．“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的_______________条件．

4．命题“不论m取什么实数，xxm0必有实数根”的否定是____________________ ________________，这是一个_______命题(填“真”或“假\")

5．设命题p：|4x－3|≤１;命题：q:x2－（2a+1)x+a（a+1）≤0．若┐p是┐q的必要而不充分条件,则实数a的取值范围是 ．

2

§90逻辑连接词及全称、存在量词⑵

【典型例题】

例3．已知两个命题p：3是13的约数;q:3是方程x4x30的解．试写出这组命题构成的“p或q”,“p且q”，“非p”形式的复合命题,并判断它们的真假．

练习：写出由下述各命题构成的“p或q\"，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所

构成的这些复合命题的真假.

⑴p:连续的三个整数的乘积能被2整除， q：连续的三个整数的乘积能被3整除. ⑵p：对角线互相垂直的四边形是菱形, q:对角线互相平分的四边形是菱形。 例4. 已知命题P：方程xmx10有两个不等的负实根。命题Q:方程

224x24(m2)x+1=0无实根.若“P或Q”为真,“P且Q”为假，求实数m的取值范围。

练习：已知p:x8x200,q:x2x1m0(m0)，且非p是非q的必要不充分条件,求实数m的取值范围。

22

例5．设a,b，c，d∈R，求证：ac=2（b+d)是方程x+ax+b=0与方程x+cx+d=0中至少有一个有实根的充分但不必要条件. 【课堂检测】

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222

1．在下列命题中：

⑴xR,x0. ⑵xR，使得x+x+1<0。 ⑶若tan= tan，则=。

2

2⑷若ac=b则a、b、c成等比数列； 其中真命题的序号为 . 2。已知函数f(x）与g（x）的定义域都是R,则f（x）〉g(x）恒成立的充分不必要条件 是 。 A．x∈R，f(x）〉g（x） B. 存在无数个x∈R，使得f(x)>g(x） C．x∈R，都有f(x)〉g（x）+1 D. 不存在x∈R，使f(x)≤g(x) 【课堂作业】 1.已知p:12

x12,q:x22x1m20(m0)，若p是q的必要不充分条3件,求实数m的取值范围。

1命题q:不等式2x11axa)的定义域为R；

16对一切正实数均成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围。

2。 设命题P：函数

f(x)lg(ax2x§91合情推理和演绎推理⑴

【基础知识】

1. 推理一般包括合情推理和演绎推理;

2。合情推理包括 和 ；

归纳推理：从个别事实中推演出 ，这样的推理通常称为归纳推理;归纳推理的思维过程是： 、 、 。

类比推理：根据两个(或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也 或 ,这样的推理称为类比推理，类比推理的思维过程是： 、 、 。

3。演绎推理：演绎推理是 ，按照严格的逻辑法则得到的 推理过程；三段论常用格式为：①M是P，② ，③S是P;其中①是 ,它提供了一个个一般性原理;②是 ，它指出了一个个特殊对象;③是 ，它根据一般原理,对特殊情况作出的判断.

4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程． 【基本训练】

222

1. 前提：当n=0时，n—n+11=11； 当n=1时，n—n+11=11; 当n=2时，n—n+11=13；

222

当n=3时,n-n+11=17； 归纳推理；当n=4时，n—n+11=23;当n=5时，n—

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n+11=31；

11，11，13,17，23，31都是质数。

结论对于所有的自然数 的值都是质数。

2。蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.

由此猜想： 。 3。三角形的内角和是180度,凸四边形的内角和是360度，凸五边形的内角和是540度,……

由此猜想:凸n边形的内角和是 .

4. 金受热后体积膨胀, 银受热后体积膨胀, 铜受热后体积膨胀， 铁受热后体积膨胀,金、银、铜、铁是金属的部分小类对象,它们受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼此距离加大，从而导致体积膨胀，所以,所有的金属受热后都 。 5．归纳推理的一般模式：S1具有P,S2具有P，……，Sn具有P, (S1,S2，…，Sn是A类事物的对象）所以 ． 6。已知:矩形的对角线的平方等于长与宽的平方和,

类比推理结论： 。 【典型例题】

222

例1．观察，1+3=4=2， 1+3+5=9=3, 1+3+5+7=16=4，1+3+5+7+9=25=5， ……

结论： ．

练习：1.观察下列等式,并从中归纳出一般的结论:

⑴

11112111311114 ⑵ ⑶  ⑷  2226326124261220522334424②33③4 33881515；结论: ．

结论： ． 2.阅读下列各式:①2④55552424例2.在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，则a＝b•cosCc•cosB，类

比到空间图形：在三棱锥PABC中，三个侧面PAB、PBC、PAC与底面ABC所成的二面角分别为、、,相应的结论是 ． 练习：若三角形内切圆的半径为r，三边长分别为a、b、c,则三角形的面积

1S＝r(abc)；根据类比推理的思想，若四面体内切球的半径为R,四个面的面积为

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S1、S2、S3、S4，则四面体的体积为V＝ ．

【课堂检测】 1。

221222223,,331332333，由此猜想： .

2.磨擦双手（S1 ）能产生热（P），敲击石头(S2 ）能产生热（P) ，锤击铁块（S3 ）能产生热（P) ， ；所以,物质运动能产生热。

111，那么在四＝AD2AB2AC2面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由。

3。 在ABC中，ABAC,ADBC于D点，求证：§92合情推理和演绎推理⑵

例3. 凸n边形有多少条对角线？

凸四边形有 条对角线，凸五边形有 条对角线，凸五边形有 条对角线, 凸六边形有 条对角线,比凸五边形多 条；……凸n边形有多少条对角线？ 猜想：凸n边形的对角线条数比凸n—1边形多 条对角线.

由此，凸n边形对角线条数为 。 练习：在同一平面内，两条直线相交，有一个交点；

三条直线相交，最多有几个交点？ 四条直线相交，最多有几个交点？

五条直线相交，最多有几个交点？…… n条直线相交，最多有几个交点？

例4.如图有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.

⑴每次只能移动1个金属片；

⑵较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测；把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?

例6.已知数列an的第1项a11且an1an(n1、2、3an1），试归纳出这个数列的

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通项公式。

练习：已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1⑴问数列1,an2SnSn10(n2) 2Sn211 24n1222⑶求证:S1S2S3是否为等差数列？⑵求an和Sn；

Sn

【课堂作业】

数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E，然后用归纳法推理得出它们之间的关系。

多面体 面数（F） 顶点数（V) 棱数（E） 三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔

§93直接证明与间接证明⑴

【基本训练】

1.命题“对于任意角,cossincos2“的证明：

44“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos2”过程应

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用了 .

2。2ABC中，已知cosAcosBsinAsinB,则ABC一定是 三角形。 3.用反证法证明“如果ab，那么是 .

4。ac或bd是abcd的 条件。

5.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应该是 。 6。命题“ABC中，若AB，则ab”的结论否定应该是 。 【典型例题】

例1。 设a、b为互不相等的正数,且ab1，分别用分析法、综合法证明：练习:求证：323a3b”反设的内容

114 ab65 222例2。设a、b是两相异的正数,求证:关于x的一元二次方程(ab)x4abx2ab0没有实数根.

练习：设f(x)3ax2bxc，若abc0,f(0)f(1)0， ⑴求证：方程有f(x)0实根；⑵22【课堂检测】

1.在锐角三角形ABC中,求证：sinAsinBsinCcosAcosBcosC。

§94合情推理和演绎推理⑵

b1。 a2. 三角形ABC的三边a、b、c的倒数成等差数列,求证：B90。

【典型例题】

3. 若a、b、c、x、y、z均为实数，ax2y求证:a、b、c中至少有一个大于0。

练习：若x0,y0，且xy2，求证：

22,by22z3,cz22x6,

1x1y2或2中至少有一个成立.例yxx2y24。若M、N是椭圆C：221(ab0)上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任

ab意一点，当直线PM、PN的斜率都存在时,记为kPM、kPN,那么kPMkPN之积是与点P位置

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x2y2无关的定值；试对双曲线221(a0,b0)写出具有类似特征的性质，并证明 。

abe练习：已知椭圆的两焦点为F1(3,0)、F2(3,0)，离心率为

⑴求此椭圆的方程；

⑵设直线l:yxm，若l与此椭圆相交于P、Q两点，且PQ等于椭圆的短轴长，求m的值；

⑶以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC,这样的直角三角形是否存在?若存在，请说明有几个?若不存在，请说明理由 。

【课堂检测】

23 。 2

21。①sin10cos40sin10cos403322；②sin6cos36sin6cos36,44由上面两题的结构规律,你能否提出一个猜想?并证明你的结论.

2.列方程：x＋4ax－4a＋3＝0， x＋（a－1）x＋a＝0， x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。

【课堂作业】

1。求证:2是无理数。

2。f(x)ax2bx3cx(a、b、cR)的图象关于原点对称，且当x1时，f(x)取

3222222。 3⑴求a、b、c的值;

极小值⑵当x[1,1]时，图象上是否存在两点,使得过两点的切线互相垂直？并证明你的结论.

§95平面的性质与直线的位置关系

【考点及要求】 1．掌握平面的基本性质,能够画出空间两条直线的各种位置关系，能够根据图形想象它们的位置关系。

2．掌握两条直线平行和垂直关系的有关概念，并能用上述概念进行论证和解决有关

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问题。

【基本训练】

1．下列命题中，正确的是 ( ） A 首尾相接的四条线段在同一平面内 B 三条互相平行的线段在同一平面内 C 两两相交的三条直线在同一平面内

D 若四个点中的三个点在同一直线上，那么这四个点在同一平面内 2．“a，b为异面直线\"是指：①a∩b = Φ,但a不平行于b；②a平面α，b平面β且a∩b =Φ;③a平面α,b平面β且α∩β=Φ；④a平面α，b平面α;⑤不存在任何平面α，能使aα且bα成立．上述结论中,正确的有( ） A ①④⑤ B ①③④ C ②④ D ①⑤

3．正方体的一条对角线与正方体的棱可组成异面直线的有________对. 4．在空间四边形ABCD中，E、H分别为AB、AD的中点,F∈BC，G∈CD，且CF:CB = CG:CD = 2：3，那么四边形EFGH是______________；若BD = 6cm,四边形EFGH的面积为28cm2，则EH与FG间的距离为______________.

5．如图所示的水平放置的平面图形的直观图，所表示的图形ABCD是（ ） A。任意梯形 B。直角梯形 C。任意四边形 D.平行四边形

【典型例题讲练】 例1．已知:如图，不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b,D∈c.

求证：AD与BC是异面直线．

例2．三个平面α，β，γ两两相交,a,b，c是三条交线. （1）若a∩b = P,求证:a，b，c三线共点；

（2）若a∥b，用反证法证明直线a,b,c互相平行。

例3．如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a。 （1)求异面直线A1B与B1C所成角的大小;

（2）若P、Q、R分别是棱CC1，A1D1,A1B1的中点， 求过这三点的截面的周长。

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【课堂检测】

1．如果a，b是异面直线,P是不在a，b上的任意一点，下列四个结论：①过P一定可作直线l与a，b都相交；②过P一定可作直线l与a，b都垂直;③过P一定可作平面α与a，b都平行；④过P一定可作直线l与a，b都平行. 其中正确的结论有_______个。

2．①互相垂直的两条直线，有且只有一个公共点；②经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④两条平行线之一垂直一直线，则另一条也垂直此直线。 上述命题中，正确命题有_________个。

3．设a，b,c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c必 ( ) A 相交 B 异面 C 平行 D 不平行

4．A,B，C为空间三点，经过这三点 （ ） A 能确定一个平面 B 能确定无数个平面

C 能确定一个或无数个平面 D 能确定一个平面或不能确定平面 5．下列推理错误的是 （ ） A A∈l,A∈α，B∈l，B∈αlα

B A∈α,A∈β,B∈α,B∈βα∩β= AB C lα，A∈lAα

D A、B、C∈α，A、B、C∈β且A、B、C不共线α与β重合 6．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下 列结论：①AB⊥EF ②AB与CM成600 ③EF与MN是异 面直线 ④MN∥CD，其中正确的是 （ ）

A ①② B ③④ C ②③ D ①③

7．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、C1B1的中点,AC∩BD = P， A1C1∩EF = Q。 求证：(1）D、B、F、E四点共面；

(2）若A1C交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线。

8．空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状是 （ ） A。平行四边形 B。长方形 C。菱形 D。正方形 【课后作业】

§96 直线与平面的位置关系

【考点及要求】 1．了解空间线面平行、垂直的有关概念，能正确判断空间线面的各种位置关系. 2．理解空间线面平行、垂直的判定定理。

3．理解空间线面平行、垂直的性质定理并能加以证明.

第 21 页 共 48 页

【基本训练】

1．直线a⊥平面α,直线b∥α，则a与b的关系是( ） A a∥b B a⊥b C a、b一定相交 D a、b一定异面

2．若直线l∥平面α，则下列命题中正确的是（ ) A

B l平行于α内的唯一确定的直线 l平行于α内的所有直线

C l平行于任一条平行于α的直线 D l平行于过l的平面与α的交线 3．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的（ ） A 充分条件 B 必要条件

C 充要条件 D 既是充分条件又是必要条件

4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面之一是（ ） A 平面DD1C1C B 平面A1DB

C 平面AB1C1D D 平面A1DB1

5．已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥c,b⊥c，则a⊥b;③若a∥β，bβ，则a∥b；④若a与b异面，且α∥β，则b与β相交；⑤若a与b异面,则至多有一条直线与a、b都垂直。 其中真命题有_______________.

6．长方体ABCD—A1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1，CC1相交于E、F两点，则四边形EBFD1的形状为______________. 【典型例题讲练】

例1．如图，ABCD,ABEF均为平行四边形，M，N分别为对角线AC，FB的中点。 求证：MN∥平面CBE.

例2、已知:如图，AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点， AD⊥平面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F，求证:BD⊥ 平面AEF．

例3、已知,如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心。 求证：OE⊥平面ACD1。

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【课堂小结】 【课堂检测】

1．对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中真命题是 ( ） 若m⊥α，m⊥n，则n∥α B 若m∥α，n∥α,则m∥n

C 若mα,n∥α,则m∥n D 若m、n与α所成角相等，则m∥n

2．已知正△ABC的边长为

A

43，则到三个顶点的距离都为1的平面有 （ ) 3

D 7个

A 1个 B 3个 C 5个

3．如图所示，直角三角形ABC的直角顶点C 在平面α内，斜边AB∥α，并且AB与平面α间的 距离为6，A与B在α内的射影分别为A1、B1，

且A1C = 3，B1C = 4，则AB = ________________， ∠A1CB1 = ______________．

4．α，β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出四个论断： ①α∩β= b ②aβ ③a∥b ④a∥α

以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_________________（写序号即可)。

5．已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点,求证：PD∥平面MAC．

6．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证: （1）C1O∥面AB1D1； （2)A1C⊥面AB1D1.

§95平面的性质与直线的位置关系

【考点及要求】 1．掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系,能够根据图形想象它们的位置关系。

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2．掌握两条直线平行和垂直关系的有关概念,并能用上述概念进行论证和解决有关问题.

【基本训练】

1．下列命题中,正确的是 （ ) A 首尾相接的四条线段在同一平面内 B 三条互相平行的线段在同一平面内 C 两两相交的三条直线在同一平面内

D 若四个点中的三个点在同一直线上,那么这四个点在同一平面内 2．“a，b为异面直线”是指：①a∩b = Φ，但a不平行于b；②a平面α，b平面β且a∩b =Φ;③a平面α，b平面β且α∩β=Φ；④a平面α,b平面α;⑤不存在任何平面α，能使aα且bα成立．上述结论中，正确的有（ ) A ①④⑤ B ①③④ C ②④ D ①⑤

3．正方体的一条对角线与正方体的棱可组成异面直线的有________对。

4．在空间四边形ABCD中，E、H分别为AB、AD的中点,F∈BC,G∈CD，且CF:CB = CG:CD = 2:3，那么四边形EFGH是______________；若BD = 6cm，四边形EFGH的面积为28cm2，则EH与FG间的距离为______________。

5．如图所示的水平放置的平面图形的直观图，所表示的图形ABCD是（ ） A.任意梯形 B。直角梯形 C。任意四边形 D.平行四边形

【典型例题讲练】

例1．已知：如图，不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c。

求证:AD与BC是异面直线．

例2．三个平面α，β,γ两两相交，a,b，c是三条交线。 (1）若a∩b = P，求证：a，b，c三线共点;

(2)若a∥b,用反证法证明直线a，b，c互相平行.

例3．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a. （1)求异面直线A1B与B1C所成角的大小；

（2）若P、Q、R分别是棱CC1，A1D1,A1B1的中点, 求过这三点的截面的周长。

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【课堂小结】 【课堂检测】

1．如果a，b是异面直线，P是不在a,b上的任意一点,下列四个结论：①过P一定可作直线l与a，b都相交；②过P一定可作直线l与a，b都垂直；③过P一定可作平面α与a,b都平行；④过P一定可作直线l与a，b都平行. 其中正确的结论有_______个。

2．①互相垂直的两条直线，有且只有一个公共点；②经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③垂直于同一直线的两条直线互相平行;④两条平行线之一垂直一直线，则另一条也垂直此直线. 上述命题中,正确命题有_________个。

3．设a,b，c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c必 ( ) A 相交 B 异面 C 平行 D 不平行

4．A，B，C为空间三点，经过这三点 ( ） A 能确定一个平面 B 能确定无数个平面

C 能确定一个或无数个平面 D 能确定一个平面或不能确定平面 5．下列推理错误的是 （ ) A A∈l,A∈α,B∈l，B∈αlα

B A∈α，A∈β，B∈α，B∈βα∩β= AB C lα,A∈lAα

D A、B、C∈α，A、B、C∈β且A、B、C不共线α与β重合 6．一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有下 列结论：①AB⊥EF ②AB与CM成600 ③EF与MN是异 面直线 ④MN∥CD,其中正确的是 （ ）

A ①② B ③④ C ②③ D ①③

7．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、C1B1的中点,AC∩BD = P， A1C1∩EF = Q。 求证：（1）D、B、F、E四点共面;

(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P、Q、R三点共线.

8．空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状是 （ ） A.平行四边形 B.长方形 C.菱形 D。正方形 【课后作业】

§96 直线与平面的位置关系

【考点及要求】 1．了解空间线面平行、垂直的有关概念，能正确判断空间线面的各种位置关系。

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2．理解空间线面平行、垂直的判定定理.

3．理解空间线面平行、垂直的性质定理并能加以证明. 【基本训练】

1．直线a⊥平面α，直线b∥α，则a与b的关系是( ) A a∥b B a⊥b C a、b一定相交 D a、b一定异面

2．若直线l∥平面α，则下列命题中正确的是（ ） A l平行于α内的所有直线 B l平行于α内的唯一确定的直线

C l平行于任一条平行于α的直线 D l平行于过l的平面与α的交线 3．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的（ ） A 充分条件 B 必要条件

C 充要条件 D 既是充分条件又是必要条件

4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面之一是（ ) A 平面DD1C1C B 平面A1DB

C 平面AB1C1D D 平面A1DB1

5．已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c;②若a∥c，b⊥c，则a⊥b;③若a∥β，bβ，则a∥b；④若a与b异面,且α∥β，则b与β相交；⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a、b都垂直. 其中真命题有_______________.

6．长方体ABCD—A1B1C1D1中,经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1,CC1相交于E、F两点，则四边形EBFD1的形状为______________. 【典型例题讲练】

例1．如图,ABCD,ABEF均为平行四边形,M，N分别为对角线AC，FB的中点. 求证:MN∥平面CBE。

例2、已知:如图,AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点， AD⊥平面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F，求证:BD⊥ 平面AEF．

例3、已知，如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心。 求证：OE⊥平面ACD1。

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【课堂小结】 【课堂检测】

1．对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中真命题是 （ ） A 若m⊥α,m⊥n，则n∥α B 若m∥α，n∥α，则m∥n

C 若mα，n∥α，则m∥n D 若m、n与α所成角相等，则m∥n 2．已知正△ABC的边长为

43，则到三个顶点的距离都为1的平面有 ( ） 3

D 7个

A 1个 B 3个 C 5个

3．如图所示，直角三角形ABC的直角顶点C 在平面α内，斜边AB∥α，并且AB与平面α间的 距离为6，A与B在α内的射影分别为A1、B1，

且A1C = 3，B1C = 4，则AB = ________________， ∠A1CB1 = ______________．

4．α，β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线,给出四个论断： ①α∩β= b ②aβ ③a∥b ④a∥α

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题_________________（写序号即可）。

5．已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M为PB的中点，求证：PD∥平面MAC．

6．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证: （1）C1O∥面AB1D1； （2)A1C⊥面AB1D1。

§97平面与平面的位置关系(1）

【考点及要求】 1．掌握两个平面平行、垂直的判定定理;

2．掌握两个平面平行、垂直的性质定理，并能进行论证和解决有关问题.

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【基本训练】

1．以下命题：

①垂直于同一条直线的两个平面平行；

②一个平面内的两相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行,则这两个平面平行

③与同一条直线成等角的两个平面平行；

④一个平面上不共线三点到另一平面的距离相等，则这两个平面平行;

⑤两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行。 其中正确命题的序号是______________。

2．已知m、n是直线，α,β，γ是平面,给出下列命题： ①若α⊥β，α∩β= m,n⊥m，则n⊥α或n⊥β； ②若α∥β,α∩γ= m，β∩γ= n，则m∥n；

③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线; ④若α∩β= m,m∥n，且nα,nβ，则n∥α且n∥β。 其中所有正确的命题序号是_____________。

3．已知平面α∥β，直线aα,点P∈β，则平面β内过点P的直线中 （ ） A 不存在与a平行的直线 B 不一定存在与a平行的直线 C 有且只有一条与a平行的直线 D 有无数条与a平行的直线

4．已知PA⊥正方形ABCD所在的平面,垂足为A，连结PB，PC，PD,AC，BD,则互相垂直的平面有 （ ） A 5对 B 6对 C 7对 D 8对

5．在正四面体P—ABC中,D，E，F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中,不成立的是 （ ） A BC∥平面PDF B DF⊥平面PAE

C 平面PDF⊥平面ABC D 平面PAE⊥平面ABC 6．如图,直线AC，DF被三个平面α，β，γ所截，若AC 与α成30°角，AB = 4，BC = 12，DF = 10，则平面β，γ间距 离为__________,DE = __________，EF = _________。 【典型例题讲练】

例1．已知：平面α∥平面β，AB，CD是异面直线， A∈α，C∈α,B∈β，D∈β，E，F分别为AB，CD的 中点，求证：EF∥α∥β。

例2．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE = CA = 2BD,M是EA中点。 求证：（1）DE = DA;（2）平面MBD⊥平面ECA;（3)平面DEA⊥平面ECA.

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【课堂小结】

【课堂检测】

1．若α,β表示平面,a，b表示直线，则a∥α的一个充分条件是（ ） α⊥β，且a⊥β

B α∩β= b，且a∥b

D α∥β，且aβ B 必要但不充分条件 D 既不充分也不必要条件

（ ）

C a∥b，且b∥α

A

2．平面α⊥平面β,α∩β= l，点P∈α，点Q∈l,那么PQ⊥l是PQ⊥β的( ) A 充分但不必要条件 C 充要条件

3．设α，β为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线,且lα,mβ，有如下的两个命题：①若α∥β,则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β。 那么

A ①是真命题，②是假命题 C ①②都是真命题

D ①②都是假命题

( )

B ①是假命题，②是真命题

4．如图，已知四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD， 则图中所有互相垂直的平面共有

A．8对 B．7对 C．6对 D．5对

5．设平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β,直线AB与CD 交于S，若AS = 18,BS = 9，CD = 34,则CS = _____________.

§98平面与平面的位置关系(2）

例3．已知：如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC,E是点A在平面PBC内的射影.

（1)求证：PA⊥平面ABC;（2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.

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例4．直三棱柱ABC—A1B1C1中,B1C1 = A1C1,AC1⊥A1B，M,N分别是A1B1，AB的中点（如图）. (1）求证：C1M⊥平面A1ABB1；(2)求证:A1B⊥AM；

(3）求证：平面AMC1∥平面NB1C。

【课后作业】

1．如图，在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD． 底面各边都相等，M是PC上的一动点,当点M满足 _______________________时,平面MBD⊥平面PCD。

2．如图，ABCD，ABEF均为平行四边形,M，N

分别为对角线AC，FB上的点,且有

AMAC, FNBF求证：MN∥平面CBE。

3．如图,M，N，P分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC，CC1，CD的中点，求证：平面A1AP⊥平面MND.

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4．如图(1）四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB,∠BCD=45°，∠BAD=90°，如图（2）将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD．

求证：平面PBC⊥平面PDC．

5．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1 D1的中点．

求证：（1）AP⊥MN;

(2)平面MNP∥平面A1BD．

§99-100 三视图与直观图

【考点及要求】 1．了解空间图形的两种不同表示形式（三视图和直观图),了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系。

2．能画出简单空间图形及实物的三视图与直观图,能识别三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图。 【基本训练】

1．①平行投影得到的图形与原图形全等；②中心投影得到的图形与原图形相似；③三视图中俯视图的上，下,左，右对应物体的后，前,左,右；④物体惟一确定它的三视图．其中正确的叙述有（ ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．水平放置的圆柱形物体的三视图是 （ ）

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3．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为l,那么这个几何体的体积为 ( ）

A 1

B

C

1 21 3 D

1 64．已知△ABC的水平放置的直观图是等腰的Rt△A＇B＇C＇， 且∠A＇= 90°，A＇B＇=

A 2

5．一个三棱锥各棱长均相等，球内切于这个三棱锥,过球心所作截面图不可能是

2（如图),则△ABC的面积是( ） B 22 C 42 D 1

6．由正方体木块搭成的几何体的三视图如下，则该几何体由_____块小正方体木块搭成

【典型例题讲练】

例1．如图，是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．

例2．如图所示是水平放置的某平面四边形OABC的直观图，其中A（2，0),B(1,1)，C（0，1），O（0,0），试判断该四边形的形状，并求其面积．

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例3．下图是一个几何体的三视图，尺寸如图所示,求该几何体的表面积（不考虑接触点）。

课堂检测】

1．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1,D1C1的中心,G是正方形BCC1B1

的中心，则空间四边形AEFG在该正方体的面上的正投影不可能是 （ ）

2．下面是一个物体的三视图，该物体是所给结果中的

( ）

A．正方体 B．长方体 C．圆锥 D．四棱锥 3．如图一个空间几何体的正视图，侧视图，俯视图是全等的等腰直角三角形,且直角边的边长为1，那么这个几何体的体积等于 ( )

1 241C

6A

1 121D

3B

4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底面为450,腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）

A

21+ 22 B 1+

2 2C 1+2

D 2+2

5．如图下左图所示,正四面体D—ABC（四个面是全等的等边三角形，每个顶点在底面的投影是这个等边三角形的中心)，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一

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点，则△SQD在四个面的射影可能是_______________（把你认为正确的序号都填上,正四面体及在四个面的射影如下右图所示,射影为①②③④中阴影部分三角形)．

6．四面体PABC中，PA、PB、PC两两垂直，则P在平面ABC的正投影是△ABC的___________．

7．某建筑物由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如下图所示，试问： (1）该楼有几层，共有多少个房间? （2）画出此楼的大致现状．

8．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，求它的体积的最小值与最大值。

9．一个几何体的三视图如图所示：其中，正视图中△ABC的边长是2的正三角形,俯视图为正六边形,请画出该几何体的直观图，并求出它的体积．

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§101—102 抽样方法

【考点及要求】

1．通过实际问题情境理解随机抽样的必要性和重要性，并了解从总体中抽取样本的三种基本方法；

2．通过实例了解分布的意义和作用，会用样本的频率分布估计总体. 【基本训练】

1．在下列问题中，各采用什么抽样方法抽取样本较为合适？ (1)从20台彩电中抽取4台进行质量检查；

(2)科学会堂有32排座位，每排有40个座位（座位号为0l一40），一次报告会坐满了听众，会后为了听取意见,拟留下32名听众进行座谈；

（3)实验中学有180名教工，其中有专职教师144名，管理人员12名,后勤服务人员24名，今从中抽取一个容量为15的样本．

2．为了了解某次数学竞赛中1000名学生的成绩，从中抽出一容量为100的样本，则每个样本被抽到的概率是

3．一个单位有职工360人,其中业务人员276人，管理人员36人，后勤人员48人，为了了解职工的住房情况，要从中抽取一个容量为30的样本，若采用分层抽样的抽样方法，则应从后勤人员中抽取 人

4．一个总体中有100个个体，随机编号为0，l,2，…，99,依编号顺序平均分成l0个小组，组号依次为l，2,3,…，l0．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第l组中随机抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同．若m=6,则在第7组中抽取的号码是 ．

5．将容量为100的样本数据，按由小到大排列分成8个小组，如下表所示: 组号 频数 1 10 2 13 3 14 4 14 5 15 6 13 7 12 8 9 第3组的频率和累积频率分别为

6．下图是容量为100的样本的频率分布直方图,试根据图中的数据回答下列问题：

（1）样本数据落在［2,6）内的频率为 ; （2）样本数据落在［6，10）内的频数为 ． 【典型例题】 例1．一批产品中,有一级品100个,二级品60个，三给品40个,分别用系统抽样和分层抽样方法，从这批产品中抽取一个容量为20的样本.

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例2．在学校开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日,评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计．绘制了频率分布直方图(如图所示），已知从左到右各长方形的高的比为2:3：4:6:4:l,第三组的频数为12，请解答下列问题：

（1)本次活动共有多少件作品参加评比？ (2)哪组上交的作品数最多？有多少件?

(3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率最高？

例3．为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级部分学生的本学年考试成绩进行考察．为了全面地反映实际问题,采取以下三种方式进行(已知该校高三年级共有14个教学班,并且每个班 内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同）．

①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的学习成绩；

②每个班都抽取1人,共计14人,考察这14个学生的成绩；

③把学校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别。从中抽取100名学生进行考查 (已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有105名,良好学生有420名，普通学生有175名）．

根据上面的叙述,试回答下列问题：

（1）上面三种抽取方式中,其总体、个体、样本分别指什么?每一种抽取方式抽取的样本中,其样本容量分别是多少？

（2）上面三种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？ （3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤．

三、课堂检测 四、课后作业

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作业

1．某单位有职工100人,不到35岁的有45人，35岁到49岁的25人,剩下的为50岁以上的人，现在抽取20人进行分层抽样，各年龄段人数分别是

2．从存放号码分别为l,2，…，l0的卡片的盒子中，有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：

则取到的号码为奇数的频率是

3．将一个总体的100个个体编号为0，1，2,3,…，99，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,…,9，要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组(号码为0-9)随机抽取的号码为2，则所抽取的10个号码为

4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如右图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500,3000）（元)月收入段应抽出 人．

5．采用简单随机抽样，从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，每个个体被抽到的可能性为

6．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.125，则该组样本的频数为 7．为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况,从中抽取100名运动员.就这个问题，以下几种说法(1)2000名运动员是总体；（2）每个运动员是个体；（3）所抽取的100名运动员是一个样本；（4）样本容量为100;(5）每个运动员被抽到的概率相等；（6)这个抽样可采用按年龄进行分层抽样。其中正确的序号有：

8．一个单位有职工160人，其中业务员120人，管理人员16人，后勤服务人员24

第 37 页 共 48 页

人。为了了解职工的某种情况，从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本,并写出过程.

9．如图所示的是某单位职工年龄（取正整数)的频数分布直方图，根据图形提供的信息,回答下列问题：

（1）该单位共有职工多少人?

（2)不小于38岁但小于44岁的职工人数占总人数的百分比是多少? (3)如果42岁的职工有4人，那么年龄在42岁以上的职工有多少人?

§103—104用样体估计总体

【考点及要求】

1．会根据实际问题的需求，合理地选取样本，掌握从样本数据中提取基本的数字特

征的方法；

2．理解样本数据平均数、方差及标准差的意义和作用，能用样本特征数估计总体的情况。

【基本训练】

1．已知一组数据为20、30、40、50、50、60、70、80，其平均数、中位数和众数分别为

2．已知5个数据3，5，7，4，6,则该样本标准差为 3．如果数据x1,x2,,xn的平均数为x,方差为S2，则2x13,2x23,,2xn3的平均数和方差分别为

4．某商贩有600千克苹果出售，有以下两个出售方案:

①分成甲级200千克，每千克售价2.40元，乙级400千克,每千克售价1.20元;

第 38 页 共 48 页

②分成甲级400千克，每千克售价2。00元，乙级200千克,每千克售价1.00元。 两种出售方案的平均价格分别为x1和x2，则x1与x2的关系为

5．期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N那么

M为 N

6．某人5次上班途中所花的时间（单位:分钟）分别为x,y,10，11,9，已知这组数据的

平均数为10，方差为2，则|xy|的值为

例题讲解

例1．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下: 甲的得分：12，15，24,25，3l，31,36，36，37,39，44,49,50; 乙的得分:8，13，14,16,23,26，28，33，38,39，59． （1）制作茎叶图，并对两名运动员的成绩进行比较;

(2）计算上述两组数据的平均数和方差，并比较两名运动员的成绩和稳定性; （3）能否说明甲的成绩一定比乙好，为什么?

例2．为了解某校初中毕业男生的体能状况，从该校初中毕业班学生中抽取若干名男生进行铅球测试,把所得数据(精确到0．1米）进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如下图）已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0。10，0。14，0。28，0。30．第6小组的频数是7．

（1)请将频率分布直方图补充完整;

（2）该校参加这次铅球测试的男生有多少人？

（3）若成绩在8．0米以上（含8．0米)的为合格，试求这次铅球测试的成绩的合格率；

(4）在这次测试中，你能确定该校参加测试的男生铅球成绩的众数和中位数各落在哪

个小组内吗？

第 39 页 共 48 页

作业

1．如果两组数x1,x2,,xn和y1,y2,,yn的样本平均数分别是x和y，那么一组数

x1y1,x2y2,,xnyn的平均数是 2．某班有50名学生,某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分，标准差是S，后来发现记录有误，某甲得70分误记为40分，某乙50分误记为80分,更正后重新计算得标准差为S1，则S与S1之间的关系是 3．一组数据中的每一个数据都减去80,得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数是

,方差是

．

4．某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，这亩地西瓜约600个，在西瓜上市时随机摘了10个成熟的西瓜，称得如下：

西瓜质量(单位：千克） 西瓜数量（单位:个） 则这10个西瓜的平均质量是

5.5 1

5。4 2 5。0 3 4。9 2 4。6 1

4。3 1 千克。 千克，这亩地西瓜产量约是

5．已知一个样本1，3，2,5,x，若它的平均数是3，则这个样本的标准差为

6．一教练员出了一份含有3个问题的测验卷,每个问题1分。班级中30％的学生得了3分;50%的学生得了2分；10%的同学得1分；另外还有10％的学生没得分。

（1）如果班级中有10人,平均分是多少？

（2）不告诉你班级中有多少人，你能算出平均得分吗？

7．下面是一个班在一次测验时的成绩，分别计算男生和女生的成绩和平均值,中位数以及众数.试分析一下这个班级学习情况。

男生：55,55，61,65,68，68,71，72，73,74，75，78,80，81，82,87，94

女生：53，66,70，71，73,73,75，80,80,82，82，83，84，85，87,88，90，93,94,97.

8．某鱼塘放养鱼苗10万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为95％，一段时间

第 40 页 共 48 页

后准备打捞出售，第一次从网中取出40条，称得平均每条鱼重2.5kg;第二次网出25条，称得平均每条鱼重2.2kg；第三次网出35条，称得平均每条鱼重2.8kg，请你根据这些数据，估计鱼塘中的鱼的总重量约是多少?

§105-106回归分析与独立性检验

【基本训练】

1．下列关系中,带有随机性相关关系的是

(1）正方形的边长与面积之间的关系; （2)水稻产量与施肥之间的关系； (3）人的身高与年龄之间的关系；

（4)降雪量与交通事故的发生率之间的关系。

2．回归分析中，相关指数r2的值越大，说明随机误差平方和 .

3．随机变量X2的值k,其值越大，说明两个分类变量间有关系的可能性________________。

ˆ22.5x，则变量x增加一个单位时，y就4．设有一个回归方程为y__________________（平均增加/平均减少)____________个单位。 5．若由一个2×2列联表中的数据计算得=4。013,那么有 个变量有关系。

6．线性回归方程ybxa过定点

2 的把握认为两

7．实验测得四组(x,y）的值（1,2)，（2，3)，（3,4），（4,5)，则y与x之间的回归直线

方程为 【典型例题】

例1 某厂的生产原料耗费x与销售额y(单位：百万元）之间有如下的对应关系： x y 2 30 4 40 6 50 8 70 （1）问x与y之间是否具有线性相关关系,若有,则求其回归直线方程； （2)若实际销售额不少于50百万元，则原料耗费应该不少于多少?

例2 某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：

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(I）如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太积极参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?

(Ⅱ)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关?并说明理由．

例3 为了对2006年我市中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学（已折算为百分制)、物理、化学分数对应如下表，

（1）若规定85分（包括85分）以上为优秀，求这8位同学中数学和物理分数均为优秀的概率；

（2）用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度； （3）求y与x、z与x的线性回归方程（系数精确到0．01)，并用相关指数比较所求回归模型的效果．

作业

1．r是相关系数,则下列结论正确的个数有 个。

（1）r[1,0.75]时,两变量负相关很强； （2）r[0.75,1]时，两变量正相关很强；

（3）r(0.75,0.3]或[0.3,0.75)时，两变量相关性一般; （4)r=0。1时，两变量相关很弱。

2．若施化肥量x与水稻产量y的回归直线方程y5x250，当施化肥量为80kg时，预计的水稻产量为

3．有300人按性别和是否色弱分类如下表

男 女 第 42 页 共 48 页

 正常 色弱 142 13 2155 5 ,根据 ，可以有95%的把握认为

由此表可求得的值约为 色弱与性别有关.

4．对于线性相关系数r,下列说法正确的是

（1）|r|(0,)，|r|越大，相关程度越高；反之，相关程度越低 (2)|r|(,),r越大,相关程度越高；反这,相关程度越低

（3）|r|1，|r|越接近于1,相关程度越高;|r|越接近于0,相关程度越低 (4）|r|1,|r|越接近于1，相关程度越低；|r|越接近于0，相关程度越高 5、某猪场用80头猪检验某种疫苗是否有预防效果，结果是注射疫苗的44头中有12头发病,32头未发病;未注射的36头中有22头发病,14头未发病,则相应的列联表是

合计 合计 注射疫苗的猪的发病率为____________，未注射疫苗的猪的发病率为___________.

6、有一组y与x的数据 x y

7．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元），有如下的统计资料: 使用年限x 维修费用y 2 2。2 -5 5 —3 3 -1 1 0 0 1 1 3 3 5 5 问y与x的样本相关系数r是多少？这是否说明y与x没有关系？

3 3。8 4 5。5 5 6.5 6 7。0 若由资料知y与x呈线性相关关系。

试求：(1）线性回归方程ybxa的回归系数a,b； （2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

8．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨）与相应

第 43 页 共 48 页

的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据:

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ybxa； （3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2)求出的线性回归方程，预测生产l00吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4。5=66.5）

§107-108．古典概型

【基本训练】

1．在10件同类产品中有8件正品和2件次品，现从中任意抽出3件，则以下几个事件:①3件都是正品 ②至少有1件是正品 ③3件都是次品 ④至少有1件是次品.其中为随机事件的有__________________。（填序号）

2．书架上有6本语文书，9本数学书，从中任取一本，则取出的书是语文书的概率为________________.

3．从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是_______________。

4．先后抛掷三枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率为_______________。

5．一个三位数字的密码锁,每位上的数字都可在0到9这十个数字中任选，某人忘记了密码的最后一个号码，开锁时在对好前两位数码后，随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为_______________。

6．在9张卡片上分别写着数字1,2，3，4，5，6,7，8,9,将它们混和后,再任意排成一排，则得到的九位数能被2或5整除的概率是_______________。

7．从鱼塘中打一网鱼共m条,做上记号后放回塘中，又打了一网鱼共n条，其中k条有记号，估计鱼塘中鱼的条数为_________________. 【典型例题】

例1、某批乒乓球产品质量检查结果如下表所示： 抽取球数 优等品数 优等品频率 50 45 100 92 200 194 500 470 1000 954 2000 1902 5000 4740 (1）计算表中乒乓球优等品的频率； (2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率约是多少?

例2、每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数1，2，3，4，5,6)。 （1）连续抛掷2次,求向上的数不同的概率; （2）连续抛掷2次,求向上的数之和为6的概率.

例3、将一个各面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体,从这些小正

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方体中任取一个，求下列事件的概率:

(1）三面涂有颜色；（2）恰有两面涂有颜色;（3）恰有一面涂有颜色;(4）至少有一面涂有颜色.

例4、盒中有10个晶体管，其中2个是次品，每次随机地抽取1只，做不放回抽样，连续抽两次,求下列事件的概率。

（1)2个都是正品；（2）1个正品，1个次品；(3）第二次抽取的是次品.

作业

1．某厂产品的合格率约为98％，该厂生产的8000件产品中不合格产品约有_________件.

2．盒中有3只螺丝钉，其中有1只是坏的，现从盒中随机地抽取2只螺丝灯，则两只都是好的概率为______________.

3．把两封不同的信投入A、B两个邮箱，A、B两邮箱中各有1封的概率为____________. 4．甲、乙、丙三人随意坐在一排座位上，乙正好坐在中间的概率为____________。 5．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，向上的点数分别为x、y，则log2xy = 1的概率为_______________.

6．某学生做两道选择题,已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为_____________。

7．袋中有红、黄、白、黑颜色不同大小相同的四个小球。 （1）从中任取一球，求取出白球的概率； （2)从中任取两球，求取出的是白球、红球的概率;

（3)从中先后各取一球，求先后取出的分别是红球、白球的概率.

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8．某射手在同一条件下进行射击,结果如下表： 射击次数n 击中靶心次数m 击中靶心频率10 8 50 20 100 48 200 90 500 220 800 360 m n（1）计算表中各个击中靶心的频率；

(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？

（3)这个射手射击1600次，估计击中靶心的次数约是多少？ 9．某班数学兴趣小组有男生和女生各2名,现从中任选2名学生去参加校数学竞赛,求： (1）恰好有一名参赛学生是男生的概率; （2)至少有一名参赛学生是男生的概率； （3）至多有一名参赛学生是男生的概率。

§109—110．几何概型

【考点及要求】

1．了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想;了解几何概型的基本概念、特点和意义，理解并能运用几何概型的概率计算公式。

2．了解互斥事件、对立事件的概念，了解两个互斥事件概率的加法公式并会用相关公式进行简单的概率计算。 【基本训练】

1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，则下列各组的两个事件中①至少有1个白球；都是白球;②至少有1个白球；至少有1个红球；③恰有1个白球；恰有2个白球;④至少有1个白球；都是红球。 其中互斥而不对立的两个事件是____________________。

2．某厂的三个车间的职工代表在会议室开会，第一、二、三车间的参会人数分别是10、12、9，一个门外经过的工人听到代表在发言，则发言人是第二或第三车间职工代表的概率为__________。

3．某工厂的产品中,任取一件是二级品的概率是7%，是三级品的概率是3％，除二级品、三级品外其余都是一级品和次品，并且一级品数是次品数的9倍，则出现一级品的概率是_____________。

4．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，则至少有1名女生当选的概率为___________。

5．在1×104km2的海域中有40km2的大陆架储藏着石油，假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是_____________。

6．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断， 那么剪得两段的长都不小于1m的概率是__________。

7．在长方体ABCD—A1B1C1D1内任意取点， 则该点落在四棱锥B1—ABCD内部的概率是 _______________. 【典型例题】

例1．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上 第 46 页 共 48 页 概率 0。1 0.16 0。3 0。3 0。1 0。04 (1）至多2人排队等候的概率是多少？ （2）至少3人排队等候的概率是多少？

例2．如右图,设M为线段AB的中点，在线段AB上任取一点C,求AC，CB,AM三条线段能构成三角形的概率。

例3．将两颗骰子投掷一次，求：（1）向上的点数之和是8的概率；（2）向上的点数之和不小于8的概率；（3)向上的点数之和不超过10的概率。

例4．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的. 如果甲船停泊时间为4小时，乙船停泊时间为2小时，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率。

作业

1．同时抛掷两枚骰子,则至少有一个5点或6点的概率为_____________.

2．某人睡午觉醒来，发觉手表停了,他打开收音机,想听电台报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10分钟的概率为____________。

3．长为4、宽为3的矩形ABCD的外接圆为圆O，在圆O内任意取点M，则点M在△ABC内的概率是___________。

4．如图，甲、乙、丙三人玩转盘游戏，规定指针指向 A区域甲胜，指针指向B区域乙胜，指针指向C区域丙胜． 甲或乙取胜的概率是____________。

5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1内有-个内切球D,则在正方体ABCD-A1B1C1D1内任取点M， 点M在球O内的概率是____________．

6．从数字1，2,3，4，5中随机抽取3个数字（不允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为______________。

7．某单位36人中A型血12人,B型血10人，AB型血8人,O型血6人，如果从这个单位随机地找出两人,那么这两人具有不同血型的概率为______________。

8．把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数,并记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b，试就方程组axby3解答下列问题：

x2y2（1)求方程组只有一个解的概率;(2）求方程组只有正整数解的概率.

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9．在半径为1的圆周上随机取三点A，B,C，求三角形ABC是锐角三角形的概率。

10．某班数学兴趣小组有男生和女生各2名,现从中任选2名学生去参加校数学竞赛,求：

（1）恰好有一名参赛学生是男生的概率; （2）至少有一名参赛学生是男生的概率； （3）至多有一名参赛学生是男生的概率.

11．正四面体ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD内部的一点。

1V”的事件为X,求概率P（X)； 411(2）设“VP—ABC≥V且VP-BCD≥V\"的事件为Y,求概率P（Y)。

44（1）设“VP—ABC≥

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