维普资讯 http://www.cqvip.com 第３卷第２期 ２ ０ ０ ７年４月 沈阳工程学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈｅｎｙａｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｖｏ１．３ Ｎｏ．２ Ａｐｒ．２００７ 一类常系数线性微分方程的特解公式 周 坚，赵士银 （江苏宿迁学院，江苏宿迁２２３８００） 摘要：利用比较系数法，推导出二阶常系数微分方程Ｙ ＋Ｐｙ ＋ｑＹ （口ｃｏｓ触十ｂｓｉｎ／／ｒ）ｅ“的特解的一般公式 关键词：微分方程；特解；特征根；欧拉公式 中图分类号：Ｏ１７５．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３—１６０３（２００７）０２～０１９６—０２ 在求二阶常系数微分方程Ｙ ＋ ＋ｑＹ＝ＯＴ ＋Ｐｙ ＋ｑＹ＝ ｅ（ａ ｉ卢） （２） （口ｃｏｓ／Ｒｒ＋ｂｓｉｎ／￣ｒ）ｅ 的特解时，若按常用方法先设出 含有待定系数的特解，然后带入原方程，通过比较系数 法求出待定系数，则解题过程比较繁琐．这里提供了一 个可直接定出此类方程特解的公式，从而达到化繁为 简的目的． 定理１ 方程Ｙ ＋Ｐｙ ＋ｑｙ＝ＯＴ（ａｃｏｓ／￣＋ｂｓｉｎ／￣ｏｒ）ｅ （１） 的特解与 ＋Ｐｙ ＋ｑＹ＝ ｅ（ ） （３） 的特解之和．下面先求方程（２）的特解 ，设 ＝ｘ（ａ０＋ａｌｏＴ）ｅ（ａ＋ｉ卢） 从而 （４） （ ） ＝［（ａ０＋２ａｌＯＴ）＋（口＋ｉｐ）（ａｌ ｏｔ＋ａ０） ＋ ６１ ］ｅ（ａ＋ｉ１ｆ） （５） （６） 的特解为 ［ ｌ 一 ］ｅ（口＋ （Ｙ ） ＝［２ａｌ＋２（口＋ｉｐ）（ａｏ＋２ａｌｏｔ）＋（口＋ ｉ ） （口ｌ ＋ａ０ｏｔ）］ｅ（ａ＋ｉ卢） ａ＋ｉＪ９不是特征根 将式（４）、（５）、（６）带入方程（２）并整理得： ｛［ 【 或者 一 ］ｅ（口＋ ２口ｌ＋２（口＋ｉｂ＇）（ａｏ＋２ａｌ ）＋（口＋ｉｐ） （ａ０ｏｔ＋ ａｌ ）＋Ｐ（ａ０＋２ａｌ ）＋Ｐ（口＋ｉｐ）（ａｏｏｔ＋ 口ｌ ）＋ｑｏｔ（ａ０＋口ｌｏｔ）＝ ａ＋ｉＪ９是单特征根 『Ｒｅ｛（ Ｊ 一 一 ｝ 比较系数得： ＋Ｐ（ａ０＋２ａｌ ）＋Ｐ（口＋ｉｐ）（ａｏｏｔ＋ａｌｏｔ ） ａ—ｉ 不是特征根 ｛（ 【 其中口。＝ 而 ，口・＝ 卢 ．，即 一 ＝ 同理可得方程（３） ‘ 一。 。 、 ｅ（ａ－ｉ１ｆ）ｒ．又 ａ—ｉ口是单特征根 ｆ（ ）＝ ＋ ＋ｑ，ｇ（ ）＝２２＋Ｐ． 一 （ ４＿ ｇ（口＋ｉ卢） ２ｇ （口＋ｉ ） 的特解 注意到 ＝ ＝ ＝ 一 证明 只证ａ＋ｉ 是单特征根情形．由欧拉公式 ｆｃｏｓ触：Ｔｅｉｌｆｘ＋ｅ－ｉｌｆｘ ，故有方程（１）的特解Ｙ ＝．ｙ ＋ ｛【 ｓｉｎ — ｉ ＿。ｅ－ｉ／／ｒ可将方程（１）改写为 ＋ ＋ ｘｅ｛［ ＝ 一 ］ｅ（ａ＋ｉ１ｆ）ｘ｝，或者 ＝ （ａ＋ｉ１ｆ）’ｒ＋ ｚｅ（ａ－ｉ卢 ，则方程（１）的 ｛［ 一羔 ］ｅ（ａ－ｉ￣）ｘ｝． ＋ｑＹ＝ｂｏｔｓｉｎ／Ｒｒ的特解为： 特别地，若方程（１）中ａ＝ａ＝０有： 推论１ 方程Ｙ ＋ 特解应等于： 收稿日期：２００６—０９—０１ 作者简介：周坚（１９７６一），女，江苏宿迁人，硕士研究生 维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期 周 坚，等：一类常系数线性微分方程的特解公式 ・１９７・ Ｒｅ｛［黹＋ ｉｐ不是特征根 ｂｉｘ＋ 例１ 求方程 一２ｙ ＋２ｙ＝ｘｅ ＣＯＳＸ的一个特解． 解 这里ａ＝ ＝ａ＝１，ｂ＝０，Ｐ＝一２，ｑ＝２，ａ ±ｉ口＝１±ｉ是特征方程 一２Ａ＋２＝０的单根，ｇ（ａ） ＝２Ａ一２，由定理１可知它的一个特解为： ｉｐ不是单特征根 或者 ｙ 一Ｒｅ 南＝一 Ｊｅ（１＋ Ｒｅ｛［ 一 ｝ ］ｅ＿－摩｝ ：甜ｃ 盼的特解为： 寺 （ｃｏｓ ＋ＸＳｉｎ ） 例２ 求方程 ＋９ｙ＝ｘｓｉｎ３ｘ的一个特解． 解 这里ｂ＝１， ＝３，Ｐ＝０，ｑ＝９，±ｉｐ＝±３ｉ是 特征方程 ＋９＝０的单根，ｇ（ ）＝２ ，由推论１可 ｉｐ不是特征根 ［ｂｉｘ 知它的一个特解为： ｘｉ＝ ｉｐ不是单特征根 若方程（１）中ｂ＝ａ＝０有： 一＋ 推论２ 方程 ＋ＰＹ ＋ Ｒｅ＝ ｛［ 一而ａｇ（ｉ１ｆ） ｉｐ不是特征根 （一ｃｏｓ３ ＋ｌｓｉ ） 例３ 求方程 ＋ ：ｘｃｏｓ２ｘ的一个特解． 解 这里ａ＝１，卢＝２，Ｐ＝０，ｑ＝１，±ｉ卢＝±２ｉ不 是特征方程 ＋１＝０的根，且ｆ（Ａ）＝ ＋１，ｇ（ａ） １ １２￣＇一南 ｉｐ是单特征根 或者 Ｒｅ＝２Ａ由推论２可知它的一个特解为： ＝Ｒｅ １ Ｉ／２，，一 ＝一｛［ 一舞 ］ｅ叫 号∞ｓ２ ＋ｓｉｏ＿２ 例４ 求方程 一５ｙ ＋６ｙ＝ｘｅ２ 的一个特解． 解 这里口＝１，ａ＝２，Ｐ＝一５，ｑ：６，ａ＝２是特 ｉｐ不是特征根 ．）， ｛［ 一 南 ｝ ＋ ：ａｘｅ 的一个特解为： 征方程 ５ ＋６＝０的单根，且ｇ（ａ）＝２Ａ一５由推 论３可知它的一个特解为： ｙ ＝ ｉｐ是单特征根 若方程（１）中 ＝０有： 推论３ 方程 ＋ （赢一 ＝ （１＿专一 参考文献 ｔ１］同济大学数学教研室．高等数学：下册［Ｍ］．４版．北京：高 等教育出版社，１９９６：２８０—２８１． ［２］王高雄．常微分方程［Ｍ］．２版．北京：高等教育出版社， １９８３：１３０～１４６． ｛口［ ＋ ｘ， １ａ是特征根 ２ｇ（－ａ） 一 一 Ｊ ｊ’， 口是单特征根 ａ是重特征根 甜ｊ ６’ Ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ ａ ｋｉｎｄ ｏｆ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｌｉｎｅａｒ ｄｉ ｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑ ｕａｔｉｏｎ ＺＨＯＵ Ｊｉａｎ，Ｚ．ＨＡＯ Ｓｈｉ－ｙｉｎ （Ｓｕｑｉａｎ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｓｕｑｉａｎ ２２３８００，Ｃｈｉｎａ） ＡｂｓｔＩ．ａｃｔ：Ｂｖ ｃｏｎｔｒａ【Ｓｔ ｃ（）ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｄｅｒｉｖｅｓ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｃｏｅｆｆｉ— ｃｉｅｎｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｙｎ＋ＰＹ’＋ｑＹ＝Ｘ（ａｃｏＳｆ３Ｘ＋ｂｓｉｎｔ３ｘ）ｅａｘ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｏｌｓｕｔｉｏｎ；ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｒｏｏｔ；Ｅｕｌｅｒ ｆｏｒｍｕｌａ