山东省2021届高三开学质量检测

数学

试卷满分：150分 考试时长：120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1．设集合A＝{x|lnx<1}，B＝{x|x2－4x－12≥0}，则A∪(

RB)＝

A．(－∞，6) B．(－2，6) C．(0，6] D．(0，e)

1z＝ z1i13i13i3iA． B． C． D．

22222．已知复数z＝1＋i，z为z的共轭复数，则

3．马林·梅森(Marin ersenne，1588－1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时

欧洲科学界一位独特的中心人物．梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p－1作了大量的计算、验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2 p －1(其中p是素数)的素数，称为梅森素数。在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，至少有．．一个为梅森素数的概率是 A．

5191 B． C． D． 11622224．已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩Z近似地服从正态分布N(453，992)，

估计这些考生成绩落在(552，651]的人数约为

(附：Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中

“物不知数”问题的解法传至欧洲。1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”此定理讲的

是关于整除的问题，现将1到1009这1009个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有 A．100项 B．101项 C．102项 D．103项

6．已知△ABC中，AB＝4，AC＝43，BC＝8，动点P自点C出发沿线段CB运动，到达

点B时停止，动点Q自点B出发沿线段BC运动，到达点C时停止，且动点Q的速度是动点P的2倍．若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中

APAQ的最大值是

A．

747 B．4 C． D．23 22b的取值范围是 k7．已知直线y＝kx＋b恒在函数y＝ln(x＋4)的图象的上方，则

A．(3，＋∞) B．(－∞，3] C．(－∞，3) D．[3，＋∞)

8．已知m∈R，过定点A的动直线mx＋y＝0和过定点B的动直线x－my－m＋3＝0交于点

P，则|PA|＋3|PB|的取值范围是

A．(10，210] B．(10，30] C．[10，30) D．[10，210] 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。 9．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是

111111≤ B．ab<2 C．≥1 D．2≤ ab4abab2810．将函数f(x)＝cos(ωx－)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，且

22A．0<

g(0)＝－1，则下列说法正确的是 A．g(x)为奇函数 B．g(－

)＝0 2]上单调递增，则ω的最大值为5 5C．当ω＝5时，g(x)在(0，π)上有4个极值点 D．若g(x)在[0，

x2y21，过其右焦点F的直线l与双曲线交于两点A，B，则 11．已知双曲线C：

916A．若A，B同在双曲线的右支，则l的斜率大于

4 3B．若A在双曲线的右支，则|FA|最短长度为2 C．|AB|的最短长度为

32 3D．满足|AB|＝11的直线有4条

12．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC＝2，AB＝3，∠BAC＝90°，点D，E分

别是线段BC，B1C上的动点(不含端点)，且

ECDC，则下列说法正确的是 B1CBC

A．ED//平面ACC1 B．四面体A－BDE的体积是定值 C．异面直线B1C与AA1所成角的正切值为134 D．二面角A－EC－D的余弦值为 213三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．高三一班周一上午有四节课，分别安排语文、数学、英语和体育。其中语文不安排在第

一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共有 种。

14．已知四面体A－BCD中，AB＝CD＝5，AC＝BD＝10，BC＝AD＝13，则其外接球的体积为 。 15．已知数列{an}满足an＝

Ssin1，{an}的前n项的和记为Sn，则60＝ 。

cosncosn1S3016．某中学开设了剪纸艺术社团，该社团学生在庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切的圆，

其半径分别为3＋1，3－3，3－1(单位：cm)，则三个圆之间空隙部分的面积为 cm2。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．(10分)

已知数列{an}的前n项和为Sn＝

321nn。 22(1)求数列{an}的通项公式；

(2)数列bn＝[lgan]，[x]表示不超过x的最大整数，求{bn}的前1000项和T1000。 18．(12分)

在①

bcosB1，②2bsinA＝atanB，③(a－c)sinA＋csin(A＋B)＝bsinB这三个条件中a3sinA任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答。

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 。 (1)求角B；

(2)若a＋c＝4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积。 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 19．(12分)

如图，在几何体ABCD－EFGH中，HD⊥底面ABCD，HD//FB，AB//DC，AD⊥DC，AB＝1，DC＝2，∠BCD＝45°，HD＝2，FB＝1，设点M在棱DC上，已知AM⊥平面FBDH。

(1)求线段DM的长度；

(2)求二面角H－AM－F的余弦值。 20．(12分)

2020年1月底，为严防新型冠状病毒疫情扩散，有效切断病毒传播途径，坚决遏制疫情蔓延势头，确保人民群众生命安全和身体健康，多地相继做出了封城决定。某地在1月23日至29日累计确诊人数如下表：

由上述表格得到如右散点图(1月23日为封城第一天)。

(1)根据散点图判断y＝a＋bx与y＝c·dx(c，d均为大于0的常数)哪一个适宜作为累计确诊人数y与封城后的天数x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；并根据上表中的数据求出回归方程；

(2)随着更多的医护人员投入疫情的研究，2月20日武汉影像科医生提出存在大量核酸检测呈阴性(阳性则确诊)，但观其CT肺片具有明显病变，这一提议引起了广泛的关注，2月20日武汉疾控中心接收了1000份血液样本，假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性样本的概率为0．7，核酸试剂能把阳性样本检测出阳性结果的概率是0．99(核酸检测存在阳性样本检测不出来的情况，但不会把阴性检测呈阳性)，求这1000份样本中检测呈阳性的份数的期望。 参考数据：

17其中ωi＝lgyi，i，参考公式：

7i1对于一组数据(u1，ω1)，(u2，ω2)，…，(un，ωn)，其回归直线u的斜率和截距的

最小二乘估计公式分别为unuiii1nnui12inu2,u。

21．(12分)

x2y2已知椭圆C：221(ab0)过点P(2，1)，且该椭圆的一个短轴端点与两焦点F1，

abF2为等腰直角三角形的三个顶点。 (1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点。若直线PA与直线PB的斜率之积为1，证明：直线l过定点。 22．(12分)

已知函数f(x)＝lnx＋mx＋1，g(x)＝x·(ex－1)。

(1)若f(x)的最大值是0，求函数f(x)的图象在x＝e处的切线方程； (2)若对于定义域内任意x，f(x)≤g(x)恒成立，求m的取值范围。