第2讲 匀变速直线运动的速度与时间的关系
[目标定位] 1.了解匀变速直线运动的概念和特点.2.理解匀变速直线运动速度—时间图象的特征.3.掌握匀变速直线运动的速度与时间的关系，会根据速度公式进行相关计算.
一、匀变速直线运动
1.定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动. 2.匀变速直线运动的v-t图象是一条倾斜的直线. 分类：(1)匀加速直线运动：速度随着时间均匀增加. (2)匀减速直线运动：速度随着时间均匀减小. 想一想：
在图1中，图线a和图线b分别表示什么运动？
图1
答案 a表示匀加速直线运动；b表示匀减速直线运动. 二、速度与时间的关系式 1.速度公式：v＝v0＋at.
2.对公式的理解：做匀变速直线运动的物体，由于加速度a在数值上等于单位时间内速度的变化量，所以at就是t时间内速度的变化量；再加上运动开始时物体的速度v0，就得到t时刻物体的速度v. 解决学生疑难点
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一、对匀变速直线运动的认识 1.匀变速直线运动的特点 (1)加速度a恒定不变； (2)v-t图象是一条倾斜的直线. 2.分类
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匀加速直线运动：速度随着时间均匀增大，加速度a与速度v同向. 匀减速直线运动：速度随着时间均匀减小，加速度a与速度v反向. 例1 关于匀变速直线运动，下列说法中正确的是( ) A.匀变速直线运动的加速度是恒定的，不随时间而改变 B.匀变速直线运动的速度时间图象是一条倾斜的直线 C.速度不断随时间增加的运动，叫做匀加速直线运动 D.匀加速直线运动中，加速度一定为正值
解析 匀变速直线运动的加速度是恒定的，大小和方向都不随时间变化，其v-t图象是一条倾斜的直线，A、B均正确.如果速度随时间均匀增加，那么是匀加速直线运动；如果不是均匀增加，就不是匀加速直线运动，所以C错.加速运动中，加速度方向与速度方向相同即可，并v0<0，a<0，也做加速运动，D错误. 答案 AB
二、对速度公式的理解
1.公式v＝v0＋at中各量的物理意义
v0是开始计时时的瞬时速度，称为初速度；v是经时间t后的瞬时速度，称为末速度；at是在时间t内速度的变化量，即Δv＝at. 2.公式的适用条件：做匀变速直线运动的物体. 3.注意公式的矢量性
公式中的v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，一般取v0的方向为正方向，若物体做匀加速直线运动，a取正值；若物体做匀减速直线运动，a取负值. 4.特殊情况
(1)当v0＝0时，v＝at，即v∝t(由静止开始的匀变速直线运动). (2)当a＝0时，v＝v0(匀速直线运动). 例2 汽车以45km/h的速度匀速行驶.
(1)若汽车以0.6m/s2的加速度加速，则10s后速度能达到多少？ (2)若汽车刹车以0.6m/s2的加速度减速，则10s后速度能达到多少？ (3)若汽车刹车以3m/s2的加速度减速，则10s后速度为多少？
解析 (1)初速度v0＝45km/h＝12.5 m/s，加速度a＝0.6m/s2，时间t＝10 s.10 s后汽车的速度为v＝v0＋at＝(12.5＋0.6×10) m/s＝18.5m/s. (2)汽车匀减速运动，a1＝－0.6m/s2，减速到停止的时间 tm＝
0－v00－12.5
＝s≈20.83s＞10s a1－0.6
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所以10s后汽车的速度为v＝v0＋a1t＝(12.5－0.6×10) m/s＝6.5 m/s. v012.5
(3)汽车刹车所用时间t2＝＝s＜10s
a23
所以10s后汽车已经刹车完毕，则10s后汽车速度为零. 答案 (1)18.5m/s (2)6.5 m/s (3)0
借题发挥 对匀减速直线运动，要注意减速为零后停止，加速度变为零的实际情况，如刹车问题，注意题目给定的时间若大于“刹车”时间，则“刹车”时间以后的时间内车是静止的. 针对训练 质点在直线上做匀变速直线运动，如图2所示，若在A点时的速度是5m/s，经过3 s到达B点时的速度是14 m/s，若再经4s到达C点，则在C点时的速度多大？
图2
vB－vA14－5
解析 根据匀变速直线运动的速度时间公式有a＝＝m/s2＝3 m/s2，则vC＝vB
t3＋at′＝14＋3×4m/s＝26 m/s. 答案 26m/s
三、v-t图象的理解和应用 1.匀速直线运动的v-t图象
如图3甲所示，匀速直线运动的v-t图象是一条平行于时间轴的直线.从图象中可以直接读出速度的大小和方向.由图象知，A、B两物体的运动方向相反，且vA＜vB.
图3
2.匀变速直线运动的v-t图象
(1)如图3乙所示，匀变速直线运动的v-t图象是一条倾斜的直线，直线a为匀加速直线运动的图象，直线b为匀减速直线运动的图象.
(2)如果某时间段内v-t图象一段在t轴上方，另一段在t轴下方，但仍是直线，只是说明运动方向发生了改变，但加速度是恒定的，全过程可以看成统一的匀变速直线运动，如图乙中的c所示.
3.斜率：斜率表示加速度，斜率的大小表示加速度的大小；斜率的正负表示加速度的方向. 4.截距：纵截距表示初速度，横截距表示速度为零的时刻.
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5.交点：交点表示同一时刻两物体具有相同的速度.
图4
例3 如图4所示是某物体运动的v-t图象，下列说法正确的是( ) A.该物体的加速度一直不变 B.3s末物体加速度开始改变 C.0～8s物体一直做匀减速运动 D.t＝0时和t＝6s时物体的速率相等
解析 图线斜率不变，加速度就不变，A正确，B错误.物体先做匀减速运动，再做匀加速运动，C错误.t＝0时和t＝6s时物体的速率都为30m/s，D正确. 答案 AD
对匀变速直线运动的理解
1.如图所示的四个图象中，表示物体做匀加速直线运动的图象是( )
解析 做匀加速直线运动的物体速度随时间均匀增大，其图线远离时间轴，故选A、D. 答案 AD
对速度公式的理解
2.一辆以12m/s的速度沿平直公路行驶的汽车，因发现前方有险情而紧急刹车，刹车后获得大小为4 m/s2的加速度，汽车刹车后5s末的速度为( ) A.8m/s C.0
B.14 m/s D.32m/s
v－v00m/s－12m/s
解析 汽车减速到零的时间为t＝＝＝3s,5s＞3s，汽车在5s时已经停止，
a－4m/s2速度为零，故选C. 答案 C
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3.某机车原来的速度是36km/h，在一段下坡路上加速度为0.2 m/s2.机车行驶到下坡末端，速度增加到54km/h，求机车通过这段下坡路所用的时间.
解析 初速度v0＝36km/h＝10 m/s，末速度v＝54km/h＝15 m/s，加速度a＝0.2m/s2. v－v015－10
由v＝v0＋at得：t＝＝s＝25s.
a0.2故机车通过这段下坡路所用的时间为25s. 答案 25s
v-t图象的理解和应用
4.如图5所示，某物体做直线运动的v-t图象，由图象可知，下列说法中正确的是( )
图5
A.物体在0～10s内做匀速直线运动 B.物体在0～10s内做匀加速直线运动 C.物体运动的初速度为10m/s
D.物体在0～10s内的加速度为2.5m/s2
解析 由题图知，物体的速度均匀增大，图象的斜率一定，说明该物体做匀加速直线运动，A错误，B正确.物体运动的初速度即t＝0时刻的速度，由题图知初速度为10m/s，C正确.v－v025－10
物体在0～10s内的加速度为a＝＝m/s2＝1.5 m/s2，D错误.故选B、C.
t10答案 BC
5.物体运动的速度图象如图6所示，以下说法正确的是( )
图6
A.物体在0～2s做匀加速直线运动 B.物体在0～8s内一直做匀变速直线运动 C.物体在0～8s内一直朝一个方向运动
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D.物体在0～2s内和0～4s内加速度相同
解析 0～2s速度和加速度方向均为正方向，图线远离时间轴，做匀加速直线运动，A正确；全程加速度方向发生了变化，所以不能称为匀变速直线运动，B错误；物体速度的方向一直为正方向，表明物体一直朝正方向运动，物体在0～2s内和2～4s内加速度大小相等，方向相反. 答案 AC
(时间：60分钟)
题组一 对匀变速直线运动的认识
1.对于一个做匀减速直线运动的物体，在它静止前，下列说法中正确的是( ) A.速度越来越小 C.加速度越来越小
B.速度越来越大 D.加速度越来越大
解析 因为是匀减速直线运动，故物体运动的加速度a保持不变，由v＝v0＋at知，当a为负值时，v逐渐变小，所以B、C、D错误，A正确. 答案 A
2.下图表示匀变速直线运动的是( )
解析 v-t图象斜率保持不变，说明加速度恒定不变，物体做匀变速直线运动，故A对；at图象倾斜，斜率不变，说明加速度均匀增加，物体做变加速直线运动，故B错；at图象纵坐标保持不变，说明物体的加速度不变，物体做匀变速直线运动，故C对；D图象中斜率不断变化，所以物体做变速直线运动，故D错. 答案 AC
题组二 对速度公式的理解
3.一个做初速度为零的匀加速直线运动的物体，它在第1s末、第2s末、第3s末的瞬时速度之比是( ) A.1∶1∶1 C.12∶22∶32
B.1∶2∶3 D.1∶3∶5
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答案 B
解析 由v＝at得v1∶v2∶v3＝at1∶at2∶at3＝1∶2∶3，故选项B正确.
4.物体做匀加速直线运动，已知第1s末的速度是6m/s，第2 s末的速度是8 m/s，则下面结论正确的是( ) A.物体的加速度是2m/s2 B.物体零时刻的速度是3m/s C.物体零时刻的速度是4m/s D.任何1s内的速度变化量都是2m/s
解析 物体做匀加速直线运动，由已知可求出a＝2m/s2，A正确.由v1＝v0＋at得初速度v0＝4 m/s，B错误，C正确；任何1s内的速度变化量Δv＝at＝2m/s，D正确. 答案 ACD
5.一辆车由静止开始做匀变速直线运动，在第8s末开始刹车，经4s停下来，汽车刹车过程也在做匀变速直线运动，那么前后两段加速度的大小之比是( ) A.1∶4 C.2∶1
B.1∶2 D.4∶1
vv
解析 设前后两段加速度分别为a1、a2，则a1＝，a2＝，所以a1∶a2＝t2∶t1＝1∶2.
t1t2答案 B
6.a、b两个物体从同一地点同时出发，沿同一方向做匀变速直线运动.若初速度不同而加速度相同，则在运动过程中( ) A.a、b的速度之差保持不变 B.a、b的速度之差与时间成正比 C.a、b的速度之和与时间成正比 D.a、b的速度之差与时间的平方成正比
解析 设初速度分别为v0、v0′，则a、b的速度为va＝v0＋at，vb＝v0′＋at，则va－vb＝v0－v0′，va＋vb＝(v0＋v0′)＋2at.所以A正确. 答案 A
7.一物体做匀变速直线运动，初速度为20m/s，加速度大小为5 m/s2，则经3s后，其末速度大小( ) A.一定为35m/s C.不可能为35m/s
2
B.一定为5 m/s D.可能为5 m/s
v－20Δv
解析 若加速度为5m/s，由a＝可得，5＝，解得v＝35m/s，若加速度为－5 m/s2，
Δt3
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v－20Δv
由a＝可得－5＝，解得v＝5m/s.
Δt3答案 D
题组三 v-t图象的理解和应用
图1
8.如图1所示为甲、乙两物体在同一起跑线上同时向同一方向做直线运动时的v-t图象，则以下判断中正确的是( ) A.甲、乙均做匀速直线运动 B.在t1时刻甲、乙两物体相遇 C.在t1时刻之前甲的速度大
D.甲、乙均做匀加速直线运动，乙的加速度大
解析 由题图可知，甲、乙均做匀加速直线运动，且乙的加速度大，A错误，D正确；t1时刻之前，v甲>v乙，甲一直在乙的前方，C正确；t1时刻两物体没相遇，B错误. 答案 CD
9.物体从A点开始计时，沿水平直线移动，取向右的方向为运动的正方向，其v-t图象如图2所示，则物体在最初的4s内是( )
图2
A.前2s内物体做匀减速直线运动
B.前2s内物体向左运动，后2s内物体向右运动 C.t＝4s时刻，物体与A点距离最远 D.t＝4s时刻，物体又回到A点
解析 由题图可知，物体前2s内向左做匀减速直线运动，后2s内向右做匀加速直线运动.4s末物体回到出发点A，故A、B、D正确，C错误. 答案 ABD
10.质点做直线运动的v-t图象如图3所示，规定向右为正方向，则关于该质点在前8s内的
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运动，下列说法正确的是( )
图3
A.0～1s内的加速度最大且方向向右 B.t＝2s和t＝4s时加速度等大反向 C.3～5s内质点的加速度方向向右 D.5～8s内质点的加速度最小且方向向左
解析 0～1s内的加速度为a＝2m/s2，方向向右；1～5 s内质点的加速度相同都为a2＝－1 2
m/s2，方向向左；5～8s质点的加速度a3＝m/s2，方向向右，A正确，B、C、D错误.
3答案 A
题组四 综合应用
11.火车沿平直铁轨匀加速前进，通过某一路标时的速度为10.8km/h,1 min后变成了54 km/h，问需再经过多少时间，火车的速度才能达到64.8km/h? 答案 15s
解析 题中给出了火车在三个不同时刻的瞬时速度，分别设为v1、v2、v3.由v1、v2和时间t1可以算出火车的加速度a，再用速度公式就可算出t2. 解法一：三个不同时刻的速度分别为 v1＝10.8km/h＝3 m/s v2＝54km/h＝15 m/s v3＝64.8km/h＝18 m/s 时间t1＝1min＝60s
v2－v115－3
所以加速度a＝＝m/s2＝0.2 m/s2
t160v3－v218－15
则时间t2＝＝s＝15s
a0.2解法二：运动过程中加速度不变 v2－v1v3－v2Δv
由于a＝，所以a＝＝ Δtt1t2
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v3－v118－15
得所求时间t2＝t1＝×60s＝15s
v2－v115－3
12.磁悬浮列车由静止开始加速出站，加速度为0.6m/s2，2 min后列车速度为多大？列车匀速运动时速度为432 km/h，如果以0.8m/s2的加速度减速进站，求减速160s时速度为多大？ 答案 72m/s 0
解析 取列车运动方向为正方向. (1)v＝a1t1＝0.6×120m/s ＝72m/s
(2)列车减速进站时a2＝－0.8m/s2 v20＝432km/h＝120 m/s 从刹车到速度为0的时间 －v20－120
t0＝＝s＝150s
a2－0.8
所以160s时列车已经停止运动，速度为0.
13.发射卫星一般应用多级火箭，第一级火箭点火后，使卫星向上匀加速运动的加速度为50m/s2，燃烧30 s后第一级脱离；第二级火箭没有马上点火，所以卫星向上做加速度大小为10 m/s2的匀减速运动，10s后第二级火箭
启动，卫星向上的加速度为80m/s2，这样经过1分半钟第二级火箭脱离时，卫星的速度多大？ 答案 8600m/s
解析 整个过程中卫星运动不是匀变速直线运动，但可以分为三个匀变速直线运动处理： 第一级火箭燃烧完毕时的速度v1＝a1t1＝50×30m/s＝1 500 m/s，减速上升10s后的速度 v2＝v1－a2t2＝(1500－10×10) m/s＝1 400 m/s， 第二级火箭脱离时的速度
v3＝v2＋a3t3＝1400m/s＋80×90 m/s＝8600m/s.
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