宜春九中（外国语学校）2023届高一下学期第一次月
考数学试卷
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 下列说法中，正确的是
或
A.若向量B.若
，
，则，则
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量 D.若
2. 在
，则中，若
则边
A.4
3. 在
中，
B.16
，
，
C.
，则
D.10
A.或 B. C.或 D.
4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的
大小是
A.
5. 在
中，若
B. C. D.
，则此三角形为
A.等边三角形 C.直角三角形
B.等腰三角形 D.等腰直角三角形
6. 如图在梯形ABCD中，
则
，，设，
A.B.
C.D.
7. 中，，，
，D为斜边AB的中点，则
A.1
8. 已知
B.C.2 D.
，则在方向上的投影为
A.B.1 C. D.
9. 已知的面积为2，其外接圆面积为，则的三边之积为
A.8 B.6 C.4 D.2
10. 如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔
区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得
米，
米，
米，大约为（）
，
，据
此可以估计天坛的最下面一层的直径（结果精确到1米）
参考数据：
，
，，
B.43米
C.49米
D.53米
，则
的
A.39米 11. 若O是
形状为
所在平面上一点，且满足
A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形
12. 平行四边形ABCD中，
值范围是
，，，点P在边CD上，则的取
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量14. 小明以每分钟
偏东
，，向量，则_______．
米的速度向东行走，他在A处看到一电视塔B在北
，
，行走1小时后，到达C处，看到这个电视塔在北偏西
则此时小明与电视塔的距离为________米．
15. 如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m
的值为______．
16. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且
，则
的周长的取值范围是__________．
的面积为
三、解答题（本大题共6小题，第一题10分，其余每题12分，共70分） 17. 已知向量与的夹角为18.
求求
的值．
中
分别是
的中点，
，的值；
，
．
19.
20. 如图所示，在
21.
22. 用表示向量
三点共线．
；
23. 求证：
24. 25.
求若
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的大小；
的面积为
，向量
且
，求；
的值．
．
26.
27. 已知向量
求实数x的值，使得
若，求与的夹角的余弦值．
28. 如图所示，在四边形ABCD中，，且，，．
29. 求的面积；若，求AB的长．
30.
31. 如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
求的大小；
若
积的最大值．
，点A、D在BC的异侧，，，求平面四边形ABDC面
数学答案
【答案】
1.C 8.C 13.
2.C 9.A
3.B 10.D
4.A 11.C
5.C 12.A
6.D
7.B
14.3600 15.
16.17.解：
，
，且
的夹角为
，
，
，
．
18.解：，分别是的中点，
，
，
；
由知，，
，
共线，又有公共点B，
故三点共线．
19.解：由题意知，， ，
，
由正弦定理得，
则由
得
，即
， ，则，
代入上式得，
又，则；
因为的面积为，所以，则，
由余弦定理得，，
则解得
．
，，，
，
，
，
20.解：
，
解可得，；
当，设
，
与的夹角为， ，
．
21.解：因为，，
所以因为
，所以
，
，
因为，，面积；
在所以因为
中，， ，
，
，
所以，
所以
因为
，由正弦定理可得
，
，故
，所以，即
． ，所以
，
，
，
，
22.解：
即所以又故因为
设由余弦定理
，则，
，
故平面四边形ABDC面积
，
当
即
时，
，
故平面四边形ABDC面积最大为．
【解析】
1.【分析】
本题考查平面向量的基本概念，属于基础题． 利用平面向量的相关概念逐个判断即可． 【解答】
解：向量是既有大小又有方向的量，大小相等，但方向不一定相同或相反，故A不正确 当
时，与不一定平行，故B不正确
由平行向量的定义知C正确．
尽管两个向量的模有大小之分，但两个向量是不能比较大小的，故D也不正确 故选C．
2.【分析】
本题考查余弦定理，考查计算求解能力，属于基础题目． 直接利用余弦定理求解即可． 【解答】解：由余弦定理可得
，
．
故选C．
3.解：，，，
由正弦定理可得，，
，
且，
则
，
故选：B．
由已知结合正弦定理及三角形的大边对大角即可求解．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．
4.【分析】
本题主要考查了余弦定理，属于基础题． 由公式求得cosB，从而求出B的值． 【解答】解：由已知得所以又故选A．
，所以
．
， ．
5.【分析】
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题． 由已知以及正弦定理可知范围可求【解答】 解：在
中，由
，
以及正弦定理可知，
，从而得解．
，化简可得
，结合B的
即
，，
， ．
．
所以三角形为直角三角形． 故选C．
6.【分析】
本题考查的是向量的运算以及平面向量基本定理的应用，属于基础题，难度不大． 本题利用三角形法则，将所求向量通过转化最后用已知向量表示出来即可． 【解答】
解：取BC中点F，连接FA， 因为在梯形ABCD中，所以
，
，
，所以四边形ADCF是平行四边形，
则
．
故选D．
7.解：由题意，建立如图所示的平面直角坐标系：
在
中，
，
，
，D为斜边
AB的中点，
，
，
，
，
，．
．
故选：B．
如图所示，由题意可得：
，
，
，
，利用向量的坐标运算及其数
量积运算即可得出．
本题考查了向量的坐标运算及其数量积运算，属于基础题．
8.【分析】
本题考查向量的数量积，考查向量的投影，属于基础题．
通过向量的垂直得到向量的数量积的值，然后求解在方向上的投影． 【解答】 解：因为所以
，，所以
． ，且
，
，
则在方向上的投影为
故选：C．
9.【分析】
本题考查正弦定理及三角形面积公式，简单题． 【解答】
解：三角形面积为2，外接圆面积为，
absinC，，
解得，sinC，
ab，
解得．
故选A．
10.【分析】
本题主要考查解三角形的实际应用，余弦定理的运用，属于基础题． 根据题意得到【解答】 解：在在
中，中，
，
，
，所以
，
，
进而得到
即可．
所以故选D．
米．
11.【分析】
本题考查三角形的形状判断，着重考查平面向量的数量积及应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
利用向量的运算法则将等式中的向量的关系，得出三角形的形状． 【解答】
，，用三角形的各边对应的向量表示，得到边
解：
，
为等腰三角形．
故选C．
12.【分析】
本题考查了向量的数量积定义和向量数量积的坐标表示和函数的最值问题，关键是建立坐标系，属于中档题．
先根据向量的数量积的运算，求出
，再建立坐标系，得到
，利用函数的单调性求出
函数的最值，问题得以解决． 【解答】 解：由题意得
，解得
．
以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系， 则
，
，
，
，
因为点P在边CD上，所以不妨设点P的坐标为
，
则当故选A．
时，
取得最小值
，当
时，
取得最大值8，
，则
13.【分析】
本题主要考查了向量的坐标运算，向量的模，属于基础题． 【解答】 解：向量则故答案为
．
，
．
，向量
，
14.【分析】
本题考查了解三角形的实际应用，根据题意分别得到AC长，用正弦定理，得到结果． 【解答】 解：依题意，
，
，
在
中，依正弦定理：
， 米，
，利
，
．
故答案为3600．
15.解：；
；
又
；
；
，P，D三点共线；
；
．
故答案为：．
根据即可得出，代入即可得到，
这样再根据B，P，D三点共线即可得出，解出m即可．
考查向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，以及三点共线的充要条件．
16.【分析】
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角恒等变换与三角函数图象和性质的应用问题，是中档题． 根据
的面积公式和余弦定理，列方程组求出锐角C的值，由正弦定理与三角形内角和
的取值范围，以及
的周长
定理，根据角的取值范围和三角恒等变换，即可求出
取值范围． 【解答】 解：
的面积为
，
即；
又，
，
化简得又C为锐角，
；
；
又，由正弦定理得，
，
，，
又，且A、B为锐角，
，
且；
，
，
，
，
，
，
即
的周长取值范围是
．
．
故答案为：
17.本题考查向量的数量积的运算，向量的夹角公式，向量的模，考查计算能力，属于基础
题． 先求出
，再根据向量的数量积计算即可，
先平方，再根据向量的数量积运算即可．
18.本题考查平面向量的基本定理的应用，以及三点共线的判断，属于基础题．
由题意，直接根据平面向量的线性运算计算即可； 由
知
，
，得
与
共线，又
，
有公共点B，得三点
共线．
19.由正弦定理化简，由两角和的正弦公式和诱导公式求出
cosA，由内角的范围求出A；
由三角形面积公式和题意求出bc，由余弦定理和整体代换求出的值．
本题考查正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和的正弦公式和诱导公式，以及整体代换，属于中档题．
20.本题主要考查了向量平行的坐标表示及向量数量积的性质的坐标表示，属于基础试题．
由已知可求当
，
，然后根据向量平行的坐标表示可求x ，
的坐标，然后代入向量的夹角公式可求
时，先求出
21.本题主要考查二倍角公式三角形面积公式以及正余弦定理，属于中档题．
由
，可得
，从而求得
，从而求得面积S；
在中，由余弦定理，求得AC，再由正弦定理求得AB．
22.本题考查两角和与差的三角函数、正弦定理、余弦定理、面积公式的应用，属中档题．
由正弦定理得到易得
，设
，所以，则
，故
；
，由余弦定理
，故平面四边形ABDC面积
时，平面四边形ABDC面积最大．
，当
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