1.3 探索三角形全等的条件
一．选择题（共18小题）
1．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙
B．乙和丙
C．甲和丙
D．只有丙
2．如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（ ） A．a+c
B．b+c
C．a﹣b+c
D．a+b﹣c
3．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是（ ） A．
B．2
C．2
D．
4．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ） A．∠A＝∠D
B．∠ACB＝∠DBC
C．AC＝DB
D．AB＝DC
5．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ） A．∠B＝∠C
B．AD＝AE
C．BD＝CE
D．BE＝CD
6．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，
1 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ） A．AB＝DE
B．AC＝DF
C．∠A＝∠D
D．BF＝EC
7．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ） A．∠A＝∠D
B．BC＝EF
C．∠ACB＝∠F
D．AC＝DF
8．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为（ ） A．15
B．12.5
C．14.5
D．17
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，则∠ECA的度数为（ ） A．30°
B．35°
C．40°
D．45°
10．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10，BC＝15，MN＝3，则△ABC的周长是（ ） A．38
B．39
C．40
D．41
11．如图是5×5的正方形网络，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ） A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
12．在△ABC中，已知∠CAB＝60°，D，E分别是边AB，AC上的点，且∠AED＝60°，
2 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
ED+DB＝CE，∠CDB＝2∠CDE，则∠DCB＝（ ） A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
13．如下图所示，D在AB上，且∠B＝∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ） A．AD＝AE
B．∠AEB＝∠ADC
C．BE＝CD
D．AB＝AC
14．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD、BE分别是∠ACB，∠ABC的平分线，CD、BE相交于F点，连接DE，则图中全等的三角形有多少组（ ） A．3
B．4
C．5
D．6
15．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，AE＝FD，则图中的全等三角形有（ ） A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
16．如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上（且E，F不与端点重合），且DE⊥DF，则（ ） A．BE+CF＞EF B．BE+CF＝EF C．BE+CF＜EF
D．BE+CF与EF的大小关系不确定
17．在△ABC与△A′B′C′中，下列条件不能保证△ABC与△A′B′C′全等的是（ ） A．∠A＝∠A′，∠B＝B′，AC＝A′C′
3 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
B．AB＝A′C′，AC＝A′B′，∠B＝∠C′ C．AB＝A′C′，AC＝A′B′，∠A＝∠A′ D．∠A＝∠B′，∠B＝∠C′，AB＝B′C′
18．若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与△ACD全等的有（ ）
A．△BCE
B．△ADF
C．△ADE
D．△CDE
二．填空题（共10小题）
19．如图，AC＝BC，请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD＝BE．你所添加的条件是 ．
20．现有A、B两个大型储油罐，它们相距2km，计划修建一条笔直的输油管道，使得A、B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有 种．
21．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 ．
22．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）．
23．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC．若AC＝6，则四边形ABCD的面积为 ．
24．△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是 ． 25．如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件 ，使得△ABC≌△DEF．
4 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
26．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论： ①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC． 其中所有正确结论的序号是 ．
27．如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，AB＝AC+CD，∠C＝80°，那么∠B的度数是 ．
28．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC+DE＝2，则五边形ABCDE的面积为 ． 三．解答题（共12小题）
29．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BC＝BD．
30．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．
31．如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交于点G，H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．
5 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
32．如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE＝30°，则∠ADC＝ °．
33．已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，求证：AE∥FB．
34．如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：BC∥EF．
35．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF． （1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．
6 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
36．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．
37．如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC． 求证：∠C＝∠E．
38．如图，AB与CD相交于点E，AE＝CE，DE＝BE．求证：∠A＝∠C．
39．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．求证：OB＝OC．
40．已知：如图，点A、D、C在同一条直线上，AB∥DE，AB＝AD，AC＝DE，求证：∠C＝∠E．
7 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
答案与解析
一．选择题（共18小题）
1．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙
B．乙和丙
C．甲和丙
D．只有丙
【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等． 【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS， 所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS， 所以丙和△ABC全等； 不能判定甲与△ABC全等； 故选：B．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2．如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（ ）
A．a+c
B．b+c
C．a﹣b+c D．a+b﹣c
【分析】只要证明△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，推出AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c；
8 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°， ∴∠A＝∠C，∵AB＝CD， ∴△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b， ∵EF＝c，
∴AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c， 故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
3．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是（ ）
A．
B．2
C．2
D．
【分析】根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE＝DC，就可以求出DE的值． 【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC+∠BCE＝90°． ∵∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE＝DC＝1，CE＝AD＝3．
9 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∴DE＝EC﹣CD＝3﹣1＝2 故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．
4．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A＝∠D
B．∠ACB＝∠DBC
C．AC＝DB
D．AB＝DC
【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可． 【解答】解：A、∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B、∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C、∠ABC＝∠DCB，AC＝BD，BC＝BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；
D、AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误； 故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS．
5．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
10 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A．∠B＝∠C
B．AD＝AE
C．BD＝CE
D．BE＝CD
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD； B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD； D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件． 故选：D．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．
6．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE
B．AC＝DF
C．∠A＝∠D
D．BF＝EC
【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．
【解答】解：选项A、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误； 选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误； 选项C、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
11 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
故选：C．
【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
7．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．∠A＝∠D
B．BC＝EF
C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF
【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案． 【解答】解：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，
∴添加∠A＝∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF； ∴添加BC＝EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF； ∴添加∠ACB＝∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF； 故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键．
8．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．15
B．12.5
C．14.5
D．17
【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE＝×5×5＝12.5，即可得出结论．
【解答】解：如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E， ∵∠DAB＝∠DCB＝90°，
12 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∴∠D+∠ABC＝180°＝∠ABE+∠ABC， ∴∠D＝∠ABE，
又∵∠DAB＝∠CAE＝90°， ∴∠CAD＝∠EAB， 又∵AD＝AB， ∴△ACD≌△AEB，
∴AC＝AE，即△ACE是等腰直角三角形， ∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等， ∵S△ACE＝×5×5＝12.5， ∴四边形ABCD的面积为12.5， 故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，则∠ECA的度数为（ ）
A．30°
B．35°
C．40° D．45°
【分析】在BC上截取BF＝AB，连DF，可得△ABD≌△FBD，得出对应边、对应角相等，进而又得出△DCE≌△DCF，即可得出结论． 【解答】解：在BC上截取BF＝AB，连DF， 则有△ABD≌△FBD（SAS）， ∴DF＝DA＝DE，
13 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
又∵∠ACB＝∠ABC＝40°，∠DFC＝180°﹣∠A＝80°， ∴∠FDC＝60°，
∵∠EDC＝∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠A＝180°﹣20°﹣100°＝60°， ∴△DCE≌△DCF（SAS）， 故∠ECA＝∠DCB＝40°． 故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形内角和定理，能够掌握并进行一些简单的计算．
10．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10，BC＝15，MN＝3，则△ABC的周长是（ ）
A．38
B．39
C．40
D．41
【分析】可以延长BN交AC于点D，易证得Rt△ANB≌Rt△AND，可得N为BD的中点；由已知M是BC的中点可得MN是△BCD的中位线，可得CD的长，据AC＝AD+CD可得AC的长，即可得△ABC的周长． 【解答】解：如图，延长BN交AC于点D， ∵AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，
在Rt△ANB和Rt△AND中，∠BAN＝∠DAN，∠ANB＝∠AND，AN＝AN， ∴△ANB≌△AND（ASA）， ∴AD＝AB＝10，BN＝DN， 即N为BD的中点，
∵M是△ABC的边BC的中点， ∴CD＝2MN＝6，AC＝AD+CD＝10+6，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝10+（10+6）+15＝41．
14 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，涉及到三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
11．如图是5×5的正方形网络，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
【分析】观察图形可知：DE与AC是对应边，B点的对应点在DE上方两个，在DE下方两个共有4个满足要求的点，也就有四个全等三角形．
【解答】解：根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点． 故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要做到不重不漏．
12．在△ABC中，已知∠CAB＝60°，D，E分别是边AB，AC上的点，且∠AED＝60°，ED+DB＝CE，∠CDB＝2∠CDE，则∠DCB＝（ ） A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
【分析】此题要通过构造全等三角形来解；过B作DE的平行线，交AC于F；由于∠AED
15 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
＝∠CAB＝60°，因此△ADE是等边三角形，则∠BDE＝120°，联立∠CDB、∠CDE的倍数关系，即可求得∠CDE的度数；然后通过证△EDC≌△FCB，得到∠CDE＝∠DCB+∠DCE，联立由三角形的外角性质得到的∠CDE+∠DCE＝∠ADE＝60°，即可求得∠DCB的度数．
【解答】解：∠CAB＝60°，∠AED＝60°， ∴△ADE是正三角形． 作BF∥DE交AC于F， ∴△ABF∽△ADE， ∴△ABF是等边三角形， 则BD＝EF，
从而EC＝DE+BD＝AB＝BF，DE＝FC， 又∠1＝∠2＝120°， ∴△EDC≌△FCB， ∴θ+x＝φ；
∵∠CDB＝2φ，∠BDE＝120°， ∴φ＝40°， θ+x＝40°；
∵θ+φ＝θ+40°＝60° ∴θ＝20°， 得：x＝20°． 故选：B．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质等知识，正确画出图形，并构造出全等三角形是解决问题的关键．
13．如下图所示，D在AB上，且∠B＝∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）
16 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A．AD＝AE
B．∠AEB＝∠ADC
C．BE＝CD
D．AB＝AC
【分析】三角形中∠B＝∠C，∠A＝∠A，由全等三角形判定定理对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：添加A选项中条件可用AAS判定两个三角形全等； 添加B选项以后是AAA，无法证明三角形全等； 添加C选项中条件可用AAS判定两个三角形全等； 添加D选项中条件可用ASA判定两个三角形全等； 故选：B．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
14．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD、BE分别是∠ACB，∠ABC的平分线，CD、BE相交于F点，连接DE，则图中全等的三角形有多少组（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】首先根据已知条件，看能得出哪些边和角相等，然后再根据全等三角形的判定方法来判断有多少对全等三角形． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°；
∵CD、BE分别平分∠ABC、∠ACB，
17 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∴∠ABE＝∠ACD＝∠EBC＝∠DCB＝36°； 又∵AB＝AC，∠A＝∠A； ∴△ABE≌△ACD；（ASA）① ∴BE＝CD；
又∵BC＝BC，∠DCB＝∠EBC＝36°， ∴△DBC≌△ECB；（SAS）② ∵DE∥BC，
∴∠EDF＝∠DEF＝36°，
又∵∠DBE＝∠ECD＝36°，DE＝DE， ∴△DEB≌△EDC；（AAS）③ 由②得：DB＝EC，∠BDC＝∠CEB； 又∵∠DFB＝∠EFC， ∴△BFD≌△CFE．（AAS）④ ∵△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝
＝72°，
∵BE是∠ABC的平分线，CD是∠ACB的平分线， ∴∠EBC＝∠DBE＝36°， ∵∠ACB＝72°， ∴BE＝BC， ∵BC∥DE，
∴∠DEB＝∠EBC＝36°， ∴△BCF≌△BED，
同理可得，△BCF≌△DCE． 所以本题的全等三角形共6组； 故选：D．
【点评】此题主要考查的是全等三角形的判定方法．做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证，由易到难，不重不漏．
15．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，AE＝FD，则图中的全等三角形有（ ）
18 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
【分析】分别利用SAS，SAS，SSS来判定△ABE≌△DCF，△BEF≌△CFE，△ABF≌△CDE．
【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠D， ∵AB＝CD，AE＝FD， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴BE＝CF，∠BEA＝∠CFD， ∴∠BEF＝∠CFE， ∵EF＝FE，
∴△BEF≌△CFE（SAS）， ∴BF＝CE， ∵AE＝DF， ∴AE+EF＝DF+EF， 即AF＝DE，
∴△ABF≌△CDE（SSS）， ∴全等三角形共有三对． 故选：C．
【点评】主要考查全等三角形的判定，常用的判定方法有AAS，SSS，SAS，HL等．做题时要根据已知结合判定方法，由易到难，循序渐进地找寻，做到不重不漏．
16．如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上（且E，F不与端点重合），且DE⊥DF，则（ ）
19 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A．BE+CF＞EF B．BE+CF＝EF C．BE+CF＜EF
D．BE+CF与EF的大小关系不确定
【分析】延长ED到G，使ED＝DG，连接CG，FG，则△BED≌△CGD，根据线段的等量代换，以及三边关系可求得 BE+CF＞EF．
【解答】解：延长ED到G，使DG＝ED，连接CG，FG， 在△BED与△CGD中， ∵
，
∴△BED≌△CGD（SAS）， ∴CG＝BE，ED＝DG， 又∵DE⊥DF
∴FD是EG的垂直平分线， ∴FG＝EF ∵GC+CF＞FG ∴BE+CF＞EF 故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质以及三边关系，关键知道两边之和大于第三边．
20 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
17．在△ABC与△A′B′C′中，下列条件不能保证△ABC与△A′B′C′全等的是（ ） A．∠A＝∠A′，∠B＝B′，AC＝A′C′
B．AB＝A′C′，AC＝A′B′，∠B＝∠C′ C．AB＝A′C′，AC＝A′B′，∠A＝∠A′ D．∠A＝∠B′，∠B＝∠C′，AB＝B′C′
【分析】根据全等三角形的判定方法，对各选项分别判断即可得解．
【解答】解：A、∠A＝∠A′，∠B＝B′，AC＝A′C′，根据AAS可判定△ABC和△A'B'C'全等；
B、AB＝A′C′，AC＝A′B′，∠B＝∠C′，不能判定△ABC和△A'B'C'一定全等； C、AB＝A′C′，AC＝A′B′，∠A＝∠A′，根据SAS可判定△ABC和△A'B'C'全等； D、∠A＝∠B′，∠B＝∠C′，AB＝B′C′，根据ASA可判定△ABC和△A'B'C'全等； 故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法，一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
18．若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与△ACD全等的有（ ）
A．△BCE
B．△ADF
C．△ADE
D．△CDE
【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）结合图形进行判断即可． 【解答】解：根据图象可知△ACD和△ADE全等，
理由是：∵根据图形可知AD＝AD，AE＝AC，DE＝DC， 在△ACD和△AED中，
21 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
，
∴△ACD≌△AED（SSS）， 故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 二．填空题（共10小题）
19．如图，AC＝BC，请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD＝BE．你所添加的条件是 ∠A＝∠B或∠ADC＝∠BEC或CE＝CD等 ．
【分析】根据全等三角形的判定解答即可．
【解答】解：因为AC＝BC，∠C＝∠C，所以添加∠A＝∠B或∠ADC＝∠BEC或CE＝CD，
可得△ADC与△BEC全等，利用全等三角形的性质得出AD＝BE， 故答案为：∠A＝∠B或∠ADC＝∠BEC或CE＝CD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
20．现有A、B两个大型储油罐，它们相距2km，计划修建一条笔直的输油管道，使得A、B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有 4 种．
【分析】根据点A、B的可以在直线的两侧或异侧两种情形讨论即可； 【解答】解：输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有4种，如图所示；
22 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
故答案为4．
【点评】本题考查整体﹣应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 AC＝BC ．
【分析】添加AC＝BC，根据三角形高的定义可得∠ADC＝∠BEC＝90°，再证明∠EBC＝∠DAC，然后再添加AC＝BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC． 【解答】解：添加AC＝BC， ∵△ABC的两条高AD，BE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠DAC+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°， ∴∠EBC＝∠DAC， 在△ADC和△BEC中∴△ADC≌△BEC（AAS）， 故答案为：AC＝BC．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
，
23 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
22．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 AB＝ED （只需写一个，不添加辅助线）．
【分析】根据等式的性质可得BC＝EF，根据平行线的性质可得∠B＝∠E，再添加AB＝ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF． 【解答】解：添加AB＝ED， ∵BF＝CE， ∴BF+FC＝CE+FC， 即BC＝EF， ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E， 在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）， 故答案为：AB＝ED．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
23．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC．若AC＝6，则四边形ABCD的面积为 18 ．
，
24 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
【分析】作辅助线；证明△ABM≌△ADN，得到AM＝AN，△ABM与△ADN的面积相等；求出正方形AMCN的面积即可解决问题．
【解答】解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N； ∵∠BAD＝∠BCD＝90°
∴四边形AMCN为矩形，∠MAN＝90°； ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN； 在△ABM与△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AM＝AN（设为λ）；△ABM与△ADN的面积相等； ∴四边形ABCD的面积＝正方形AMCN的面积； 由勾股定理得：AC2＝AM2+MC2，而AC＝6； ∴2λ2＝36，λ2＝18，
方法二：将三角形ADC绕点A顺时针旋转90度得到△ABC′，只要证明△ACC′是等腰直角三角形，然后面积可用AC×AC′来表示． 故答案为：18．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质、正方形的判定及其性质等几何知
25 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和正方形．
24．△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是 1＜m＜4 ．
【分析】作辅助线，构建△AEC，根据三角形三边关系得：EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，所以1＜m＜4．
【解答】解：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE，则AE＝2m， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD，
在△ADB和△EDC中， ∵
，
∴△ADB≌△EDC， ∴EC＝AB＝5，
在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC， 即5﹣3＜2m＜5+3， ∴1＜m＜4， 故答案为：1＜m＜4．
【点评】本题考查了三角形三边关系、三角形全等的性质和判定，属于基础题，辅助线的作法是关键．
25．如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件 AB＝DE或BC＝EF或AC＝DF或AD＝BE（只需添加一个即可） ，使得△ABC≌△DEF．
26 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A＝∠EDF，∠ABC＝∠E，故添加AB＝DE、BC＝EF或AC＝DF根据ASA、AAS即可解题． 【解答】解：∵BC∥EF， ∴∠ABC＝∠E， ∵AC∥DF， ∴∠A＝∠EDF， ∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF，
同理，BC＝EF或AC＝DF也可证△ABC≌△DEF．
故答案为AB＝DE或BC＝EF或AC＝DF或AD＝BE（只需添加一个即可）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
26．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论： ①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC． 其中所有正确结论的序号是 ①②③ ．
，
【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠BAO＝∠DAO，∠AOB＝∠AOD＝90°，OB＝OD，再根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，进而得出其它结论． 【解答】解：∵△ABO≌△ADO，
27 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∴AB＝AD，∠BAO＝∠DAO，∠AOB＝∠AOD＝90°，OB＝OD， ∴AC⊥BD，故①正确；
∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ∴∠COB＝∠COD＝90°， 在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），故③正确； ∴BC＝DC，故②正确． 故答案为：①②③．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，以及HL，是解题的关键．
27．如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，AB＝AC+CD，∠C＝80°，那么∠B的度数是 40° ．
【分析】在AB上截取AE＝AC，先根据角平分线的定义得∠BAD＝∠CAD，再根据“SAS”可判断△AED≌△ACD，则ED＝CD，∠AED＝∠C＝80°，由于AB＝AC+CD得到EB＝CD＝ED，即△EBD为等腰三角形，所以∠AED＝∠B+∠EDB，于是∠B＝∠AED＝40°．
【解答】解：在AB上截取AE＝AC，如图， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵在△AED和△ACD中
，
∴△AED≌△ACD（SAS）， ∴ED＝CD，∠AED＝∠C＝80°，
28 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∵AB＝AC+CD， ∴EB＝CD＝ED， ∴∠B＝∠EDB， ∵∠AED＝∠B+∠EDB， ∴∠B＝∠AED＝40°． 故答案为40°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等腰三角形的性质． 28．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC+DE＝2，则五边形ABCDE的面积为 4 ．
【分析】可延长DE至F，使EF＝BC，可得△ABC≌△AEF，连AC，AD，AF，可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求出结论． 【解答】解：延长DE至F，使EF＝BC，连AC，AD，AF， ∵AB＝CD＝AE＝BC+DE，∠ABC＝∠AED＝90°， 由题中条件可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD≌△AFD， ∴SABCDE＝2S△ADF＝2וDF•AE＝2××2×2＝4． 故答案为：4．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，注意对基础
29 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
知识的熟练掌握及综合运用． 三．解答题（共12小题）
29．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BC＝BD．
【分析】由∠3＝∠4可以得出∠ABD＝∠ABC，再利用ASA就可以得出△ADB≌△ACB，就可以得出结论．
【解答】证明：∵∠ABD+∠3＝180°∠ABC+∠4＝180°，且∠3＝∠4， ∴∠ABD＝∠ABC 在△ADB和△ACB中，
，
∴△ADB≌△ACB（ASA）， ∴BD＝BC．
【点评】本题考查了等角的补角相等的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
30．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．
【分析】根据ASA证明△ADE≌△ABC； 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∵∠DAC+∠1＝∠2+∠DAC ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中，
，
30 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∴△ADE≌△ABC（ASA） ∴BC＝DE，
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等
31．如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交于点G，H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．
【分析】由AB∥CD、EC∥BF知四边形BFCE是平行四边形、∠A＝∠D，从而得出∠AEG＝∠DFH、BE＝CF，结合AB＝CD知AE＝DF，根据ASA可得△AEG≌△DFH，据此即可得证．
【解答】证明：∵AB∥CD、EC∥BF， ∴四边形BFCE是平行四边形，∠A＝∠D， ∴∠BEC＝∠BFC，BE＝CF， ∴∠AEG＝∠DFH， ∵AB＝CD， ∴AE＝DF，
在△AEG和△DFH中， ∵
，
∴△AEG≌△DFH（ASA）， ∴AG＝DH．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的性质与平行四边形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．
32．如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE＝30°，则∠ADC＝ 75 °．
31 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，BE＝CF，从而可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACF， 在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE＝30°， ∴∠BAE＝∠CAF＝30°， ∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠ADC＝故答案为：75．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
33．已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，求证：AE∥FB．
＝75°，
【分析】可证明△ACE≌△BDF，得出∠A＝∠B，即可得出AE∥BF； 【解答】证明：∵AD＝BC，∴AC＝BD，
32 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
在△ACE和△BDF中，∴△ACE≌△BDF（SSS） ∴∠A＝∠B， ∴AE∥BF；
，
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质以及平行线的判定问题，关键是SSS证明△ACE≌△BDF．
34．如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：BC∥EF．
【分析】由全等三角形的性质SAS判定△ABC≌△DEF，则对应角∠ACB＝∠DFE，故证得结论．
【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D， ∵AF＝DC， ∴AC＝DF．
∴在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB＝∠DFE， ∴BC∥EF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
35．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF． （1）求证：△ABC≌△DEF；
33 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．
【分析】（1）求出AC＝DF，根据SSS推出△ABC≌△DEF．
（2）由（1）中全等三角形的性质得到：∠A＝∠EDF，进而得出结论即可． 【解答】证明：（1）∵AC＝AD+DC，DF＝DC+CF，且AD＝CF ∴AC＝DF
在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS） （2）由（1）可知，∠F＝∠ACB ∵∠A＝55°，∠B＝88°
∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（55°+88°）＝37° ∴∠F＝∠ACB＝37°
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应角相等． 36．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．
【分析】连接BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得AB＝DE，依据AB∥DE，即可得出四边形ABDE是平行四边形，进而得到AD与BE互相平分． 【解答】证明：如图，连接BD，AE， ∵FB＝CE， ∴BC＝EF，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，
34 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB＝DE， 又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AD与BE互相平分．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结论．
37．如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC． 求证：∠C＝∠E．
【分析】由∠BAE＝∠DAC可得到∠BAC＝∠DAE，再根据“SAS”可判断△BAC≌△DAE，根据全等的性质即可得到∠C＝∠E． 【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE﹣∠CAE＝∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ∵
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
35 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∴∠C＝∠E．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．
38．如图，AB与CD相交于点E，AE＝CE，DE＝BE．求证：∠A＝∠C．
【分析】根据AE＝EC，DE＝BE，∠AED和∠CEB是对顶角，利用SAS证明△ADE≌△CBE即可．
【解答】证明：在△AED和△CEB中，
，
∴△AED≌△CEB（SAS），
∴∠A＝∠C（全等三角形对应角相等）．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，要求学生应熟练掌握．
39．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．求证：OB＝OC．
【分析】因为∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC＝BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以AB＝CD，证明△ABO与△CDO全等，所以有OB＝OC． 【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴BO＝CO．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性
36 / 37
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
质证明线段和角相等的重要工具．
40．已知：如图，点A、D、C在同一条直线上，AB∥DE，AB＝AD，AC＝DE，求证：∠C＝∠E．
【分析】根据平行线的性质和SAS证明△ABC与△ADE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠BAC＝∠ADE， 在△ABC与△ADE中
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠C＝∠E．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等．
37 / 37
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容