双成教育
2013年陕西省中考数学试卷
一、选择题
1、下列四个数中最小的数是（ ） A．-2
B．0
C．-
D．5
2、如图，下面的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，则它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3、如图，AB∥CD，∠CED=90°，∠AEC=35°，则∠D的大小为（ ）
A．65°
B．55° C．45° D．35°
4、不等式组的解集为（ ）
A．x＞
B．x＜-1
C．-1＜x＜ D．x＞-
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5、我省某市五月份第二周连续七天的空气质量指数分别为：111、96、47、68、70、77、105，则这七天空气质量指数的平均数是（ ） A．71.8
B．77 C．82 D．95.7
6、如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，3），那么一定有（ ） A．m＞0，n＞0
B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0
7、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对
B．2对 C．3对 D．4对
8、根据表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（ ）
x y
-2 3
0 p
1 0
A．1
B．-1 C．3 D．-3
9、如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、
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DN．若四边形MBND是菱形，则等于（ ）
A．
B． C． D．
10、已知两点A（-5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（ ） A．x0＞-5
B．x0＞-1 C．-5＜x0＜-1 D．-2＜x0＜3
二、填空题
11、计算：（-2）3+（
-1）0= __________ ．
12、一元二次方程x2-3x=0的根是 __________ ．
13、请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分． A、在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（-2，1）、B（1，3），将线段AB通过平移后得到线段A′B′，若点A的对应点为A′（3，2），则点B的对应点B′的坐标是 __________ ． B、比较大小：8cos31° __________
（填“＞”，“=”或“＜”）
14、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC．若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形ABCD的面积为 __________ ．（结果保留根号）
15、如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，那么（x2-x1）（y2-y1）的值为 __________ ．
16、如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F
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分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 __________ ．
三、解答题
17、解分式方程：
+
=1．
18、如图，∠AOB=90°，OA=OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D． 求证：AC=OD．
19、我省教育厅下发了《在全省中小学幼儿园广泛开展节约教育的通知》，通知中要求各学校全面持续开展“光盘行动”．某市教育局督导组为了调查学生对“节约教育”内容的了解程度（程度分为：“A--了解很多”、“B--了解较多”，“C--了解较少”，“D--不了解”），对本市一所中学的学生进行了抽样调查．我们将这次调查的结果绘制了以下两幅统计图．
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根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查了多少名学生？ （2）补全两幅统计图；
（3）若该中学共有1800名学生，请你估计这所中学的所有学生中，对“节约教育”内容“了解较多”的有多少名？
20、一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．
21、“五一节”期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象． （1）求他们出发半小时时，离家多少千米？ （2）求出AB段图象的函数表达式；
（3）他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？
22、甲、乙两人用手指玩游戏，规则如下：①每次游戏时，两人同时随机地各伸出一根手指；②两人伸出的手指中，大拇指只胜食指、食指只胜中指、中指只胜无名指、无名指只胜小拇指、小拇指只胜大拇指，否则不分胜负．依据上述规则，当
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甲、乙两人同时随机地各伸出一根手指时， （1）求甲伸出小拇指取胜的概率； （2）求乙取胜的概率．
23、如图，直线l与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE、AF，并分别延长交直线l于B、C两点． （1）求证：∠ABC+∠ACB=90°；
（2）当⊙O的半径R=5，BD=12时，求tan∠ACB的值．
24、在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点．
（1）写出这个二次函数图象的对称轴；
（2）设这个二次函数图象的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AC、DE和DB，当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式． [提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A（x1，0）、B（x2，0），那么它的表达式可表示为y=a（x-x1）（x-x2）]．
25、问题探究：
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由． 问题解决：
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如
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果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．
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2013年陕西省中考数学试卷的答案和解析
一、选择题
1、答案： A
试题分析：根据有理数的大小比较方法，找出最小的数即可． 试题解析：∵-2＜-＜0＜5， ∴四个数中最小的数是-2； 故选A．
2、答案： D
试题分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
试题解析：从上面看所得到的图形是一个长方形，中间有一个没有圆心的圆，与长方形的两边相切． 故选：D．
3、答案： B
试题分析：根据平角等于180°求出∠BED，再根据两直线平行，内错角相等解答． 试题解析：∵∠CED=90°，∠AEC=35°，
∴∠BED=180°-∠CED-∠AEC=180°-90°-35°=55°， ∵AB∥CD，
∴∠D=∠BED=55°． 故选B．
4、答案： A
试题分析：分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可． 试题解析：由①得：x＞， 由②得：x＞-1，
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，
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不等式组的解集为：x＞， 故选：A．
5、答案： C
试题分析：根据平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可． 试题解析：根据题意得：
（111+96+47+68+70+77+105）÷7=82； 故选C．
6、答案： D
试题分析：根据正比例函数图象所在象限，可判断出m、n的正负． 试题解析：A、m＞0，n＞0，A、B两点在同一象限，故A错误； B、m＞0，n＜0，A、B两点不在同一个正比例函数，故B错误； C、m＜0，n＞0，A、B两点不在同一个正比例函数，故C错误；
D、m＜0，n＜0，A、B两点在同一个正比例函数的不同象限，故D正确． 故选：D．
7、答案： C
试题分析：首先证明△ABC≌△ADC，根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，再证明△ABO≌△ADO，△BOC≌△DOC． ∵在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA， ∵在△ABO和△ADO中∴△ABO≌△ADO（SAS）， ∵在△BOC和△DOC中∴△BOC≌△DOC（SAS）， 故选：C．
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，
，
，
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8、答案： A
试题分析：设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），再把x=-2，y=3；x=1时，y=0代入即可得出k、b的值，故可得出一次函数的解析式，再把x=0代入即可求出p的值． 试题解析：一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵x=-2时y=3；x=1时y=0， ∴解得
， ，
∴一次函数的解析式为y=-x+1， ∴当x=0时，y=1，即p=1． 故选A．
9、答案： C
试题分析：首先由菱形的四条边都相等与矩形的四个角是直角，即可得到直角△ABM中三边的关系．
试题解析：∵四边形MBND是菱形， ∴MD=MB．
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°．
设AB=x，AM=y，则MB=2x-y，（x、y均为正数）． 在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即x2+y2=（2x-y）2， 解得x=y，
∴MD=MB=2x-y=y， ∴
=
=．
故选：C．
10、答案： B
试题分析：先判断出抛物线开口方向上，进而求出对称轴即可求解． 试题解析：∵点C（x0，y0）是抛物线的顶点，y1＞y2≥y0， ∴抛物线有最小值，函数图象开口向上， ∴a＞0；∴25a-5b+c＞9a+3b+c，
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∴∴-
＜1， ＞-1，
∴x0＞-1
∴x0的取值范围是x0＞-1． 故选：B．
二、填空题
11、答案：
试题分析：先分别根据有理数乘方的法则及0指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 试题解析：原式=-8+1 =-7．
故答案为：-7． 12、答案：
试题分析：首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解． 试题解析：x2-3x=0， x（x-3）=0， ∴x1=0，x2=3．
故答案为：x1=0，x2=3． 13、答案：
试题分析：（1）比较A（-2，1）与A′（3，2）的横坐标、纵坐标，可知平移后横坐标加5，纵坐标加1，由于点A、B平移规律相同，坐标变化也相同，即可得B′的坐标； （2）8cos31°很接近4
，再比较即可．
试题解析：（1）由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同， 由点A到点A′可知，点的横坐标加5，纵坐标加1， 故点B′的坐标为（1+5，3+1），即（6，4）；
（2）∵8cos31°≈4∴4
＞
．
，
故答案为：（6，4）；＞． 14、答案：
试题分析：如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F．则通过解直角
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△AEO和直角△CFO求得AE=CF=，所以易求四边形ABCD的面积．
试题解析：如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作
CF⊥BD于点F． ∵BD平分AC，AC=6， ∴AO=CO=3． ∵∠BOC=120°， ∴∠AOE=60°， ∴AE=AO•sin60°=同理求得CF=
，
×8=12
．
．
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=BD•AE+BD•CF=2××故答案是：1215、答案：
．
试题分析：正比例函数与反比例函数y=的两交点坐标关于原点对称，依此可得x1=-x2，y1=-y2，将（x2-x1）（y2-y1）展开，依此关系即可求解．
试题解析：∵正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，关于原点对称，依此可得x1=-x2，y1=-y2， ∴（x2-x1）（y2-y1） =x2y2-x2y1-x1y2+x1y1 =x2y2+x2y2+x1y1+x1y1 =6×4 =24．
故答案为：24． 16、答案：
试题分析：由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EF=AB=3.5为定值，则GE+FH=GH-EF=GH-3.5，所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值14-3.5=10.5． 试题解析：当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值． 当GH为直径时，E点与O点重合， ∴AC也是直径，AC=14．
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∵∠ABC是直径上的圆周角， ∴∠ABC=90°， ∵∠C=30°， ∴AB=AC=7．
∵点E、F分别为AC、BC的中点， ∴EF=AB=3.5，
∴GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5． 故答案为：10.5．
三、解答题
17、答案：
试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
试题解析：去分母得：2+x（x+2）=x2-4， 解得：x=-3，
经检验x=-3是分式方程的解． 18、答案：
试题分析：根据同角的余角相等求出∠A=∠BOD，然后利用“角角边”证明△AOC和△OBD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 证明：∵∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90°， ∵AC⊥l，BD⊥l， ∴∠ACO=∠BDO=90°， ∴∠A+∠AOC=90°， ∴∠A=∠BOD， 在△AOC和△OBD中，∴△AOC≌△OBD（AAS）， ∴AC=OD． 19、答案：
，
试题分析：（1）由等级A的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生人数； （2）根据总人数减去A、C、D等级的人数求出等级B的人数，补全条形统计图；由
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C的人数除以总人数求出C的百分比，进而求出D的百分比，补全扇形统计图即可； （3）由1800乘以B的百分比，即可求出对“节约教育”内容“了解较多”的人数． 试题解析：（1）抽样调查的学生人数为36÷30%=120（名）； （2）B的人数为120×45%=54（名）， C的百分比为D的百分比为
×100%=20%， ×100%=5%；
补全统计图，如图所示：
（3）对“节约教育”内容“了解较多”的有1800×45%=810（名）． 20、答案：
试题分析：根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA得到MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可． 试题解析：设CD长为x米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA ∴MA∥CD∥BN ∴EC=CD=x ∴△ABN∽△ACD， ∴即
解得：x=6.125≈6.1．
经检验，x=6.125是原方程的解， ∴路灯高CD约为6.1米． 21、答案：
试题分析：（1）先运用待定系数法求出OA的解析式，再将x=0.5代入，求出y的值即可；
（2）设AB段图象的函数表达式为y=k′x+b，将A、B两点的坐标代入，运用待定系数
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法即可求解；
（3）先将x=2代入AB段图象的函数表达式，求出对应的y值，再用170减去y即可求解．
试题解析：（1）设OA段图象的函数表达式为y=kx． ∵当x=1.5时，y=90， ∴1.5k=90， ∴k=60．
∴y=60x（0≤x≤1.5）， ∴当x=0.5时，y=60×0.5=30． 故他们出发半小时时，离家30千米；
（2）设AB段图象的函数表达式为y=k′x+b． ∵A（1.5，90），B（2.5，170）在AB上， ∴解得
， ，
∴y=80x-30（1.5≤x≤2.5）；
（3）∵当x=2时，y=80×2-30=130， ∴170-130=40．
故他们出发2小时，离目的地还有40千米． 22、答案：
试题分析：（1）首先根据题意画出表格，由表格求得所有等可能的结果，即可求出甲伸出小拇指取胜的概率；
（2）由（1）中所求即可得出乙取胜的概率；
试题解析：解；（1）设A，B，C，D，E分别表示大拇指、食指、中指、无名指、小拇指，列表如下：
甲 乙 A B C
A AA BA CA
B AB BB CB
C AC BC CC
D AD BD CD
E AE BE CE
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D E
DA EA
DB EB
DC EC
DD ED
DE EE
由表格可知，共有25种等可能的结果， 甲伸出小拇指取胜只有一种可能， 故P（甲伸出小拇指获胜）=
，；
（2）又上表可知，乙取胜有5种可能， 故P（乙获胜）=23、答案：
=．
试题分析：（1）由题意可知EF是圆的直径，所以∠EAF=90°，即∠ABC+∠ACB=90°； （2）连接OD，则OD⊥BD，过E作EH⊥BC于H，则四边形EODH是正方形，易求tan∠BEH=
=，再证明∠ACB=∠BEH即可．
试题解析：（1）证明：∵EF是圆的直径， ∴∠EAF=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°；
（2）连接OD，则OD⊥BD， 过E作EH⊥BC于H，
∴EH∥OD， 又∵EO∥HD，
∴四边形OEHD是矩形， 又∵OE=OD，
∴四边形EODH是正方形， ∴EH=HD=OD=5， 又∵BD=12， ∴BH=7，
在Rt△BEH中，tan∠BEH=∴∠ACB=∠BEH，
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=，
∵∠ABC+∠BEH=90°，∠ABC+∠ACB=90°，
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∴tan∠ACB=． 24、答案：
试题分析：（1）根据二次函数对称性得出对称轴即可；
（2）首先求出C，D点坐标，进而得出CO的长，利用当△AOC与△DEB相似时，根据①假设∠OCA=∠EBD，②假设∠OCA=∠EDB，分别求出即可．
试题解析：解；（1）∵二次函数的图象经过点A（1，0）、B
（3，0）两点，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=2；
（2）设二次函数的表达式为：y=a（x-1）（x-3）（a≠0）， 当x=0时，y=3a，当x=2时，y=-a，
∴点C坐标为：（0，3a），顶点D坐标为：（2，-a）， ∴OC=|3a|，
又∵A（1，0），E（2，0）， ∴AO=1，EB=1，DE=|-a|=|a|， 当△AOC与△DEB相似时， ①假设∠OCA=∠EBD， 可得即
=
=， 或a=-，
=
，
，
∴a=
②假设∠OCA=∠EDB，可得∴=
，此方程无解，
综上所述，所得二次函数的表达式为： y=
x2-x+或y=-x2+x-．
25、答案：
试题分析：（1）画出互相垂直的两直径即可；
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（2）连接AC、BD交于O，作直线OM，分别交AD于P，交BC于Q，过O作EF⊥OM交DC于F，交AB于E，则直线EF、OM将正方形的面积四等份，根据三角形的面积公式和正方形的性质求出即可；
（3）当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等份，连接BP并延长交CD的延长线于点E，证△ABP≌△DEP求出BP=EP，连接CP，求出S△BPC=S△EPC，作PF⊥CD，PG⊥BC，由BC=AB+CD=DE+CD=CE，求出S△BPC-S△CQP+S△ABP=S△CPE-S△DEP+S△CQP，即可得出S四边形ABQP=S四边形CDPQ即可． 试题解析：（1）如图1所示，
（2）连接AC、BD交于O，作直线OM，分别交AD于P，交BC于Q，过O作EF⊥OM交DC于F，交AB于E， 则直线EF、OM将正方形的面积四等份， 理由是：∵点O是正方形ABCD的对称中心， ∴AP=CQ，EB=DF， 在△AOP和△EOB中
∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE， ∴∠AOP=∠BOE，
∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°， ∴△AOP≌△EOB， ∴AP=BE=DF=CQ，
设O到正方形ABCD一边的距离是d，
则（AP+AE）d=（BE+BQ）d=（CQ+CF）d=（PD+DF）d， ∴S四边形AEOP=S四边形BEOQ=S四边形CQOF=S四边形DPOF， 直线EF、OM将正方形ABCD面积四等份；
（3）存在，当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等份， 理由是：如图③，连接BP并延长交CD的延长线于点E， ∵AB∥CD， ∴∠A=∠EDP， ∵在△ABP和△DEP中
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∴△ABP≌△DEP（ASA）， ∴BP=EP， 连接CP，
∵△BPC的边BP和△EPC的边EP上的高相等， 又∵BP=EP， ∴S△BPC=S△EPC，
作PF⊥CD，PG⊥BC，则BC=AB+CD=DE+CD=CE， 由三角形面积公式得：PF=PG，
在CB上截取CQ=DE=AB=a，则S△CQP=S△DEP=S△ABP ∴S△BPC-S△CQP+S△ABP=S△CPE-S△DEP+S△CQP 即：S四边形ABQP=S四边形CDPQ， ∵BC=AB+CD=a+b， ∴BQ=b，
∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分．
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