综合练习试卷26(题后含答案及解析)_2

综合练习试卷26 (题后含答案及解析)

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正确答案： 涉及知识点：综合

5． 利用递推公式计算反常积分

正确答案： 涉及知识点：综合

6． 求下列初值问题的解:(1)y〞－2yyˊ＝0，y｜x＝0＝1，yˊ｜x＝0＝1；(2)y2y〞＋1＝0，y｜x＝1＝1，yˊ｜x＝1＝0；(3)y〞－2yˊ2＝0，y｜x＝0＝0，yˊ｜x＝0＝－1；(4)(1＋xx)y〞＝2xyˊ，y｜x＝0＝1，yˊ｜x＝0＝3；(5)；(6)yy〞＝2(yˊ2－yˊ)，y｜x＝0＝1，yˊ｜x＝0＝2．

正确答案： 涉及知识点：综合

7． 自点Po(xo，yo，zo)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标，进而求出Po到各坐标面和各坐标轴的距离．

正确答案：自点Po作各坐标面的垂线，垂足的坐标和Po到各坐标面的距离为： xOy面：(xo，yo，O)，d＝｜zo｜； yOz面：(0，yo，zo)，d＝｜xo｜； xOz面：(xo，0，zo)，d＝｜yo｜．点Po到作各坐标轴的垂线，垂足的坐标和Po到各坐标轴的距离为： 涉及知识点：综合

8．

正确答案： 涉及知识点：综合

9．

正确答案： 涉及知识点：综合

10． 求二元函数u＝x2－xy＋y2在点(1，1)沿方向的方向导数及梯度，并指出u在该点沿哪个方向减少的最快?沿哪个方向u的值不变化?

正确答案： 涉及知识点：综合

11． 在过点P(2，1，1／2)的所有平面中，哪一个平面与三个坐标面在第一卦限内围成的四面体体积最小?

正确答案： 涉及知识点：综合

12． 选用适当的坐标计算下列三次积分：

正确答案： 涉及知识点：综合

13． 计算，其中L为(1)半径为a，圆心在原点，按逆时针方向绕行的上半圆周(2)从点A(a，0)沿x轴到点B(－a，0)的直线．

正确答案： 涉及知识点：综合

14． 利用高斯公式推证阿基米德原理：浸没在液体中的物体所受液体的压力的合力(即浮力)的方向铅直向上，大小等于这物体所排开的液体的重量．

正确答案：取液面为xOy面，z轴垂直向下，设液体密度为ρ，在物体表面∑上的取元素dS，(x，y，z)为dS上一点，并设∑在点(x，y，z)处的外法线方向余弦为(cosα，cosβ，cosγ)则dS上点(x，y，z)处单位面积上所受液体的压力为：－ρzcosαi－ρzcosβj－ρzcosγk，因而dS上受液体的压力在三坐标轴上的分量分别为： dFx＝－ρzcosαdS dFy＝－ρzcosβdS dFz＝－ρzcosγdS∑上受压力在x，y，z上的分量分别为其中V为物体排开水的体积，所以液体中的物体所受液体的压力的合力(即浮力)方向铅直向上，大小等于ρV，即物体排开水的重量． 涉及知识点：综合

15． 设函数f(x)在区间(－R，R)内可展开成x的幂级数，证明：当f(x)是奇函数时，幂级数中不含x的偶次幂项；当f(x)是偶函数时，幂级数中不含x的奇次幂项．

正确答案：f(x)可在(－R，R)内展成x的幂级数，因此有(1)当f(x)为奇函数时，由于奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数，则有f(x)的奇数阶导为偶函数，偶数阶导为奇函数当n＝2k时，f(n)(x)为奇函数， 即f(n)(0)＝0，展开式中不含x的偶次项；(2)当f(x)为偶函数时，同理有f(x)的奇数阶导为奇函数，偶数阶导为偶函数 当n＝2k－1时，f(n)(x)为奇函数， 即f(n)(0)＝0，展开式中不含x的奇次项． 涉及知识点：综合