五年级上奥数试题——第8讲 数阵图与数字谜(含解析)人教版

数阵图与数字谜

教学目标

1. 熟悉数阵图与数字谜的题目特点； 2. 掌握数阵图与数字谜的解题思路。

精讲讲练

数阵图

数阵图是把一些数按照一定规则填在某一特定图形的规定位置上而来的图形，有时简称数阵。

【例1】 （2007年“希望杯”第二试）在右图所示○内填入不同的

数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A、B、C的

AB和为18，则三个顶点的三个数的和是__________。

C【分析】 由于每条边上的三个数的和都是12，所以把这三条边上的

三个数的和都加起来，总和应为12336，在其中，A、B、C各算了一次，三个顶点的三个数各算了两次，所以三个顶点的三个数的和为(3618)29。

【例2】 （2007年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛）将1:12这十二个自然数分别填入右图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为__________。

【分析】 由于每条直线上的四个数之和都相等，设这个相等的和为S，

把所有6条直线上的四个数之和相加，得到总和为6S；另一方面，在这样相加中，由于每个数都恰好在两条直线上，所以每个数都被计算了两遍。所以，6S(123L12)2，得到S26，即所求的相等的和为26。

【例3】 （2007年“走进美妙的数学花园”决赛）如右图所示，A，B，C，D，E，F，G，

H，I，J表示1:10这10个各不相同的数字。表中的数为所在行与列的对应字母的和，例如“GC14”。请将表中其它的数全部填好。

+ABCDE+ABCDE F5141187F514 G817141110G14 7H110743HI4教师版I 竞赛班 13107665 76第八讲 四升五 Page JJ71613109

【分析】 由于AF5，BF14，所以BA1459，所以A和B只能是0和9。因此

可以推出：A0，B9，C6，D3，E2，F5，G8，H1，I4，J7。可得右下图。

【例4】 （2007年“走进美妙的数学花园”初赛）从1、2、3…20这20个数中选出9个不同

的数放入33的方格表中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。这9个数中最多有__________个质数。

【分析】 1:20中的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，共8个。9195如果这8个质数都用上，无论另外一个数是奇数还是偶数，根据71115奇偶性分析，都无法满足题目的要求。所以8个质数不可能都用

17313上，最多只能用7个。若用7个，只有用3、5、7、11、13、17、

19这7个奇数，再加上两个奇数9和15时，恰好是9个连续奇数，方格表可以填出，如右图。故这9个数中最多有7个质数。

9[前铺] 在右图的每个空格中填入一个数字，使得每行、每列及每条对角线6上的三个数之和都等于24。

[分析] 我们知道1:9填图的幻方每行、每列及每条对角线上的三个数之和

1149都等于15，而本题中的幻方每行、每列及每条对角线上的三个数之

6810和都等于24，比1:9填图的幻方大了24159，相当于每个数都

7125大了933，所以只需要把1:9填图的幻方中的每个数都加3就可

以了。

[前铺] 将1、3、5、7、9、11、13、15、17填入33的方格内，使其构成一个幻方。

[分析] （法1）：中心数为9，然后将其余8个数分为4组，每组两个数的

7173和是18，把它们分别填入图中关于中心格对称的格子内，实验可

5913得结果，如右图。答案不唯一，仅供参考。

15111（法2）：其实会学习的小朋友知道利用已经学习过的一些典型题

目的结果加以变形得到新题的答案。事实上我们可以把本题中的幻方看作是1:9填图的幻方相应位置的数字乘以2再减1得来的。推广开来可以知道等差数列填图的三阶幻方几乎都具有相似的形式。

四升五 竞赛班 第八讲 教师版 Page 66

【例5】 在右图所示立方体的八个顶点上标出1:9中的八个，使得每

个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除。

【分析】 标出的八个数之和是每面四个数之和的2倍，是偶数，1:9的

和为45 ，因此未标出的数是一个奇数，只能是1、3、5、7、

9中的一个，并使余下八个数之和的一半不能被这个数整除，由于1、3、5、9都不满足这一条件，依此可知未标出的数是7。

下面用余下的8个数填图，每面四个数之和为：(457)219。如果已知某一面上四个数的和为19，那么与

其平行的面上的四数之和也必为19。因此我们只考虑有公共顶点的三个面即可。下面我们考虑以9为公共顶点的三个面，由于8，9不共面，因此8在顶点9的对顶点上，有公共点9的三个面上，每面其余三个数之和为10，且每两个面有一个公共顶点，由此试验易得三个面上的数分别为：(6,3,1)，(5,4,1)，(3,2,5)，填图如右下图。

19465382

数字谜

数字谜，顾名思义就是猜数字，它是与数字有关的一类有趣的数学问题。

【例6】 （湖北省“创新杯”初赛）如右图，加法算式中，

七个方格中的数字之和等于__________。

+

【分析】 由加法算式中的百位要向千位进位知百位的数字和

为19，但两个加数的百位之和最大为9918，由

于十位最多向百位进1，这说明两个加数的百位数字都是9。同理可知两个加数的十位数字都是9，且个位之和向十位进1，所以这两个加数的个位数字之和为14。所以七个方格中的数字之和为1941451。

【例7】 （“我爱数学夏令营”）右图加法算式中相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示

不同的数字，那么汉字“我爱夏令营”表示的5位数是

我爱夏令营__________。

+数学夏令营

数学夏令营好【分析】 两个五位数相加得到一个六位数，由于这两个五位数均小

于100000，所以它们的和小于200000，所以图中的“数”小于2，故“数”1。由于“我爱夏令营”“数学夏令营好”“数学夏令营”9“数学夏令营”“好”，所以“我”9。而图中加法算式的千位最多向万位进1，所以“学”只能为1或0。由于“学”与“数”不同，所以“学”不能为1，只能是0。图中算式可简化为“爱夏令营”“夏令营”“夏令营好”，即1000“爱”“夏令营”“夏令营”10“夏令营”“好”。得1000“爱”8“夏令营”“好”，所以“好”是8的倍

994 四升五 竞赛班 第八讲 教师版 Page 67 数。由于“好”不能是0，所以“好”8，“夏令营”125“爱”1。由于“爱”、“夏”、“令”、“营”均不能为0、1、8、9，经试验只有当“爱”5时，“夏令营”

624符合条件。所以“我爱夏令营”表示的5位数是95624。

[前铺] （“走进美妙的数学花园”决赛）如右图所示，相同的汉字代

美妙表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。“美妙数学花园”数学代表的6位数最小为__________。 +花园 好好好好[分析] 本题中4个数的和是一个各个数位上的数字都相同的四位数，

由于加法算式中百位上没有进位，所以和的千位上只能是2，因此“好”2。要使“美妙数学花园”代表的6位数最小，则“美”、“妙”都要尽可能小。“美妙”“数学”“花园”22222007215，由于“数学”“花园”最大只能为908076183，所以“美妙”不小于21518332。但是“妙”不能与“好”和“美”相同，所以“美妙”最小为34，此时“数学”最小为85，“花园”为96，所以这个六位数最小为348596。

【例8】 （“走进美妙的数学花园”初赛）请在右图每个方框中填入一个数字，使乘法竖式成立。

0W，【分析】 设被乘数为abc，，乘数为de2。由于abc2W所以b5，且c4（这是因为c22007最多向十位进1，而0是一个偶数，从而c2不向十位进位）。

7W且c4知d为奇数又由a5cdW（若d为偶数，那么cd的十位数字为7，但c4，

这是不可能的），那么cd向十位进2，所以d最小为5，又显然d小于7（若d大于等a只能为1。于7，那么a5cd将是四位数），于是d5。这时c只能为4，所以abc154。

0W知e只能为2。再由154eW所以这个乘法算式的被2乘数与乘数分别为154和522，乘法竖式如图所示。 【例9】 （香港圣公会数学竞赛）在右图中的除法算式中，只知 四升五 竞赛班 第八讲 教师版 Page 68 0 道2、0两个数字，其余残缺的数字都用□表示。补上残缺的数字后，那么被除数是__________。

【分析】 这个除法算式从相除的过程可以看出，商数的十位和千位均为0；除数的2倍是一个三

位数，而除数与商的万位相乘，积为两位数，可知万位数字为1，同样可知商的个位数字也为1，即商为10201；又一个两位数的两倍必小于200，故第一次剩余（即被除数的前三位与除数之差）为1。而一个三位数与一个两位数之差为1，只能是100991，故被除数前三位为“100”，而除数为99，由此可知，被除数为99102011009899。

【例10】 （北京“数学解题能力展示”读者评选活动决赛）将数字1:9填入下面方框，每个数

字恰用一次，使得下列等式成立：

现在“2”、“4”已经填入，当把其他数字都填入后，算式中唯一的减数（●处）是__________。

【分析】 首先可以估算四位数的取值范围。四位数不大于(2007913)428010，不小于

(2007198)427638，所以四位数的首位数字只能是7。

再由四位数与2的和能被4整除，可以确定四位数的个位数字一定是偶数，只能是6或8。若为6，那么四位数与2的和的个位数字为8，所以十位数字必须为偶数，只能是8。这个四位数要大于7638，只能是7986，而(79862)41997，与2007相差10。但此时剩下的三个数字为1、3、5，无法用这三个数字凑出10。所以四位数的个位数字不能是6。四位数的个位数字是8时，十位数字为奇数，只能是1、3、5或9。

当四位数的十位数字为1时，四位数只能是7918，而(79182)41980，与2007相差

27。但剩下的三个数字3、5、6不能凑出27；

当四位数的十位数字为3时，四位数只能是7938，而(79382)41985，与2007相差

22。但剩下的三个数字1、5、6不能凑出22；

当四位数的十位数字为5时，四位数可能是7658或7958。若为7958，则由(79582)41990，与2007相差17，但剩下的三个数字1、3、6不能凑出17；若为7658，有(76582)49312007；

当四位数的十位数字为9时，四位数只能是7698，而(76982)41925，与2007相差82。但剩下的三个数字1、3、5不能凑出82。

综上可知本题只有唯一答案(76582)49312007。算式中唯一的减数是1。

【例11】 (ABC)n表示n进制中的一个三位数，请解决如右所示n进制

中的数字谜（不同的字母表示不同的数）。请确定A,B,C,D,n的值，并带入下式进行计算：

（注：此时的结果请写成十进 ABCDn__________。

制的）。

四升五 竞赛班 第八讲 教师版 Page 69 ( ABC)n+(BDC)nBDCD 【分析】 在n进制中，由于个位的CC最多向十位进1，十位的B,D互不相同，它们最大分

别为n－1和n－2，所以BD1n1n21p2n，所以十位最多向百位进1，同理可知百位最多向千位进1，所以B只能为1。由于A最大为n－1，则AB1n111n1，即百位向千位进1后最多还剩下1，即D最大为1，又因为不同的字母表示不同的数，D不能B与相同，所以D只能为0。而C不能为0、1，所以CCn，101C，即C2，n4，An13，所以 ABCDn3120410。

附加题目

2

0【附1】 （北京“数学解题能力展示”读者评选活动初赛）在

0右图除法竖式的每个方格中填入适当的数字使竖式成

7立，并使商尽量大。那么，商的最小值是__________。

0【分析】 如果商的个位数字为1，那么除数为700多。由于除数

乘以商的千位数字得到一个四位数，且这个四位数的百位数字为2，所以商的千位数至少是3才可满足这一条件（如果是1，那么乘积为3位数；如果是2，那么乘积在1400与

。 1600之间，百位数字不可能是2）

如果商的个位数字为2，则除数不小于350，不大于399，同上分析可知，商的千位数至少是6才可满足式中条件。

如果商的个位数字大于等于3，由于除数与商的千位数字之积是一个四位数，比除数与商的个位数字之积（700多）要大，所以商的千位数字大于个位数字，所以此时商的千位数字至少为4。

由以上分析可知，当商的个位数字为1时，商的千位数字可以为3，此时商的千位数字最小，故商也最小。

当商的千位数字为3时，由于十位数字为0，个位数字为1，此时除数为700多，商的百位数字与除数的乘积也是四位数，而且这个四位数的百位数字为0，所以商的百位数字不能是0、1、2、3，至少为4才能满足式中条件。所以商的最小值不小于3401。 另外，25541517513401满足式中条件，所以商的最小值为3401。

2【附2】 （首届全国数学资优生思维能力测试）在右图的除法算式

0中，只知道2、0、0、6四个数字，补上残缺的数字后，

那么被除数是__________。 0 6【分析】 设商的百位数字为A，十位为B。由于A与除数之积的十

位为0，所以A只可能为2、4、7、9；由于B与除数之积的个位为6，所以B只可能为3、8。

0取A为2时，除数只能为52。若取B为8，竖式谜中第五

行数为416，那么竖式的第四行与第五行的十位数字之差只可能为8或9（第四行的十位数字需向百位数字借位），这样第七行的百位数字为8或9，而除数52与一位数的乘积的百位数字最大只能为4。矛盾。所以此时B不能为8。若B为3，则竖式的第五行为156，此时竖式的第四行与第五行的十位数字之差至少为4，所以商的个位数只能为8 四升五 竞赛班 第八讲 教师版 Page 70 或9。试验可知1242852239满足条件。

用上述方法类似分析其他情况，可知2282852439和5644872784也满足式中条件。

巩固练习

1. 在1:13这十三个自然数中选十二个填在图中的空格内，使每横

行四数之和相等，每竖行三数之和相等。

【分析】 首先由和的整除性质，确定使用哪十二个数填图。由于每横行四数之和相等，每竖行

三数之和相等，知这十二个数之和既是3的倍数也是4的倍数，因此是12的倍数，而123L1391，91127L7，由此可知不用填图的数字是7，所选十二个数之和为：91784，每横行四个数之和为：每竖行三个数之和为：84328，84421。由于竖行和为21，因此可知1，2，3，4在不同竖行，而5只能跟3或4在同一竖行，由此可确定竖行分组有如下两种情况：(1,8,12)，(2,9,10)，(3,5,13)，(4,6,11)或(1,9,11)，(2,6,13)，(3,8,10)，(4,5,12)。再根据横行和为28，易得如下两种结果：

11013489122563111131049685112312

2.

图中33的正方形的每一个方格内的字母都代表一个数，已知其每行、每列以及两条对角线上三个数之和都相等。若f19，g96。那么b是多少？

【分析】 由于gecghlbehcfl，所以

2gechlbfehcl，即bf2g，所以 b2gf173。 3.

agdbecflh右图中不同的汉字代表1:9中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是多少?

+中国新北京新奥运

【分析】 从图中可以看出，“新”9，因为要使“中国”尽量大，所以

可以假定“中”8。因为十位相加(含个位的进位)等于20，所以“北奥”在1:7中的取值有三种可能：(7,5)；(7,4)；(6,5)。再考虑到“国京运”的个位数字是8，

经试算，只有“北”、 “奥”等于7、5时满足，此时“国”、“京”、“运”等于1、3、4，“国”取其中最大的4，得到“中国”最大是84。

四升五 竞赛班 第八讲 教师版 Page 71 2008 4. 右面式中不同的汉字代表不同的数字，问：“数学好玩”表示的四位数是多少?

【分析】 由积的千位数知“数”1，由积的十位数知“学”0，由积的百位数知“玩”9。

竖式化简为下式。由于“1真”9“10好”，所以“真”2，“好”8，“啊”6。所以，“数学好玩”1089。

四升五 竞赛班 第八讲 教师版 Page 72 排球是一位名叫威廉·基·摩根的体育干事于１８９５年在美国发明的。半个多世纪后的１９６４年日本东京奥运会赛场上，男子排球和女子排球比赛同时亮相奥运会赛场。 至２００４年雅典奥运会，奥运会排球比赛的规模已由最初的１０支男队和６支女队发展到男女各１２支队伍。迄今为止，共有７支男队（苏联、日本、波兰、美国、巴西、荷兰、南斯拉夫）和４支女队（日本、苏联、中国、古巴）荣膺过奥运会排球冠军的殊荣。 排球１９０５年进入中国，并在新中国生长壮大，中国女排在１９８４年中国首次参加奥运会时便一鸣惊人，夺得桂冠，２０年后又在雅典重温奥运会冠军梦，将她们的世界冠军头衔增加到７个。 一个富有却很吝啬的人不幸将自己装有50万现金的公文包丢失了。他怎么找也找不见，着急得要命，于是，只好报警，并声称谁要拾到公文包并交还给他，他将奖给这个人5万元现金。 不久，便有人将公文包送到警察局，富人见到自己的公文包失而复得，心中又生悔意，不想付酬金给拾到公文包的人。因此便对警察谎称说：“包内应有55万现金，而现在只有50万!” 警察见包外密码锁并没有被开启的现象，其他地方也没有被破坏的痕迹。便对失主说：“你真的确定你的包内是55万元现金?” 吝啬的富人毫不犹豫地答道：“的确是的。” 警察于是说道：“如此说来，这个包原来不是你的，因为这里面只有50万。你还是先回去等消息吧。按照规定，如果6个月内，这个包无人认领的话，它就将归属于捡到它的那个人。”

1、失去诚信，就失去一切。 2、不要被金钱蒙蔽了双眼。

四升五 竞赛123班 第八讲 教师版 Page 73