历年高考数学真题(全国卷)

2020年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(大纲全国卷)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2019大纲全国，理1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )．

A．3 B．4 C．5 D．6 2．(2019大纲全国，理2)(1+3i)＝( )．

A．－8 B．8 C．－8i D．8i 3．(2019大纲全国，理3)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )．

A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 4．(2019大纲全国，理4)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )．

3111,,12 C．(－1,0) D．2 A．(－1,1) B．5．(2019大纲全国，理5)函数f(x)＝log211－1

(x＞0)的反函数f(x)＝( )． x11xx

A．21(x＞0) B．21(x≠0) C．2x－1(x∈R) D．2x－1(x＞0)

6．(2019大纲全国，理6)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝( )．

4，则{an}的前10项和等于31A．－6(1－3－10) B．9(1－310) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)

7．(2019大纲全国，理7)(1＋x)(1＋y)的展开式中xy的系数是( )．

A．56 B．84 C．112 D．168

8

4

22

x2y=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且8．(2019大纲全国，理8)椭圆C：43直线PA2斜率的取值围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值围是( )．

2133313,,,1,1A．24 B．84 C．2 D．4

9．(2019大纲全国，理9)若函数f(x)＝x＋ax＋

2

11在,是增函数，则a的取值围是x2( )．

A．[－1,0] B．[－1，＋∞) C．[0,3] D．[3，＋∞)

10．(2019大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )．

2321A．3 B．3 C．3 D．3

11．(2019大纲全国，理11)已知抛物线C：y＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k2

的直线与C交于A，B两点．若MAMB0，则k＝( )．

21A．2 B．2 C．2 D．2

12．(2019大纲全国，理12)已知函数f(x)＝cos xsin 2x，下列结论中错误的是( )．

x=A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称 B．y＝f(x)的图像关于直线

π2对称

3C．f(x)的最大值为2 D．f(x)既是奇函数，又是期函数

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2019大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝1，则cot α＝__________. 314．(2019大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)

x0,15．(2019大纲全国，理15)记不等式组x3y4,所表示的平面区域为D.若直线y＝

3xy4a(x＋1)与D有公共点，则a的取值围是__________．

16．(2019大纲全国，理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝

等于__________．

3，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(2019大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．

18．(2019大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (1)求B； (2)若sin Asin C＝231，求C 419．(2019大纲全国，理19)(本小题满分12分)

如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．

(1)证明：PB⊥CD；

(2)求二面角A－PD－C的大小． 20．(2019大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一在下一局当裁判．设各局中双获胜的概率均为

1，各局比赛的结果相互独2立，第1局甲当裁判．

(1)求第4局甲当裁判的概率；

(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．

x2y221．(2019大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：22=1(a＞0，b＞0)的

ab左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为6. (1)求a，b；

(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．

x1x22．(2019大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(1+x).

1x(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；

1111(2)设数列{an}的通项an=1+，证明：a2n－an＋＞ln 2.

23n4n2019年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(大纲全国卷)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．

答案：B

解析：由题意知x＝a＋b，a∈A，b∈B，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素．故选B. 2．

答案：A

解析：(1+3i)=133i+3(3i)+(3i)=8.故选A. 3．

答案：B

2222

解析：由(m＋n)⊥(m－n)⇒|m|－|n|＝0⇒(λ＋1)＋1－[(λ＋2)＋4]＝0⇒λ＝－3.故选B. 4． 答案：B

解析：由题意知－1＜2x＋1＜0，则－1＜x＜5．

答案：A

解析：由题意知1+因此f(x)＝6．

答案：C

解析：∵3an＋1＋an＝0，∴an＋1＝an.∴数列{an}是以∴a1＝4.

－1

3231.故选B. 211y＝2⇒x＝y(y＞0)，

21x1

(x＞0)．故选A. 2x1

1314为公比的等比数列．∵a2＝，33110413＝3(1－3－10)．故选C. ∴S10＝

1137．

答案：D

2解析：因为(1＋x)的展开式中x的系数为C8，(1＋y)的展开式中y的系数为C24，所以xy8

2

4

2

22

22的系数为C8C4168.故选D.

8． 答案：B

x02y02=1， 解析：设P点坐标为(x0，y0)，则43kPA2y0y0，kPA1，于是kPA1kPA2x02x0232x0y0342. 22x02x04423故kPA＝－131. 4kPA2∵kPA2∈[－2，－1]， ∴kPA1,.故选B.

849．

答案：D

331111,,≥0在上恒成立，即在a2x上222x2x1111恒成立．∵函数y22x在,上为减函数，∴ymax<23.∴a≥3.故22x212解析：由条件知f′(x)＝2x＋a－

选D. 10． 答案：A

解析：如下图，连结AC交BD于点O，连结C1O，过C作CH⊥C1O于点H.

BD平面ACC1A1∵BDAA1CH平面ACCA11ACAA1ACHBDCHC1OCH⊥平面C1BD， BDC1O=O∴∠HDC为CD与平面BDC1所成的角． 设AA1＝2AB＝2，则OC=BDAC

AC2=，2222932C1O=OC2CC122==2. 222由等面积法，得C1O·CH＝OC·CC1，即∴CH=322CH＝2， 222. 32HC32∴sin∠HDC＝==.故选A.

DC1311． 答案：D

2

解析：由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的程为y＝k(x－2)，将其代入y＝

2222

8x，得kx－4(k＋2)x＋4k＝0.

4k22设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4.①

k2y1kx12由

ykx222y1y2kx1x24k,① 2y1y2k[x1x22x1x24].②∵MAMB0，

∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0. ∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，

即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k＝2.故选D. 12． 答案：C

22

解析：由题意知f(x)＝2cosx·sin x＝2(1－sinx)sin x. 令t＝sin x，t∈[－1,1]，

23

则g(t)＝2(1－t)t＝2t－2t. 令g′(t)＝2－6t＝0，得t=2

3. 3当t＝±1时，函数值为0；

343时，函数值为；

93343当t时，函数值为.

3943∴g(t)max＝，

943即f(x)的最大值为.故选C.

9当t二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：22 解析：由题意知cos α＝1sin1故cot α＝

2122. 93cos=22. sin414．答案：480

解析：先排除甲、乙外的4人，法有A4种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有

242A5种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有A4A5480(种)．

15．答案：,4

2解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．

∵直线y＝a(x＋1)过定点C(－1,0)，由图并结合题意可知kBC11，2kAC＝4，

∴要使直线y＝a(x＋1)与平面区域D有公共点，

则

1≤a≤4. 216．答案：16π

解析：如下图，设MN为两圆的公共弦，E为MN的中点，

则OE⊥MN，KE⊥MN，结合题意可知∠OEK＝60°. 又MN＝R，∴△OMN为正三角形．∴OE＝又OK⊥EK，∴

3R. 2333R＝OE·sin 60°＝. 222∴R＝2.

2

∴S＝4πR＝16π.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：设{an}的公差为d.

由S3＝a2得3a2＝a2，故a2＝0或a2＝3. 由S1，S2，S4成等比数列得S22＝S1S4.

又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，

2

故(2a2－d)＝(a2－d)(4a2＋2d)．

22

若a2＝0，则d＝－2d，所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；

2

若a2＝3，则(6－d)＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2. 因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1. 18．

222

解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a＋c－b＝－ac.

22a2c2b21由余弦定理得cos B＝，

2ac2因此B＝120°.

(2)由(1)知A＋C＝60°，

所以cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C＝cos(A＋C)

＋2sin Asin C＝

1313+2， 242故A－C＝30°或A－C＝－30°，

因此C＝15°或C＝45°. 19．

(1)证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正形．

过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O. 连结OA，OB，OD，OE.

由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，

所以OA＝OB＝OD，即点O为正形ABED对角线的交点， 故OE⊥BD，从而PB⊥OE.

因为O是BD的中点，E是BC的中点， 所以OE∥CD.因此PB⊥CD.

(2)解法一：由(1)知CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P， 故CD⊥平面PBD.

又PD平面PBD，所以CD⊥PD.

取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，

则FG∥CD，FG⊥PD.

连结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD. 所以∠AFG为二面角A－PD－C的平面角． 连结AG，EG，则EG∥PB. 又PB⊥AE，所以EG⊥AE. 设AB＝2，则AE＝22，EG＝故AG＝1PB＝1， 2AE2EG2＝3.

1在△AFG中，FG＝CD2，AF3，AG＝3，

2FG2AF2AG26所以cos∠AFG＝. 2FGAF36因此二面角A－PD－C的大小为πarccos. 3解法二：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直．

以O为坐标原点，OE的向为x轴的正向建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.

设|AB|＝2，则A(2，0,0)，D(0，2，0)，C(22，2，0)，P(0,0，2)．

PC＝(22，2，2)，PD＝(0，2，2)．

AP＝(2，0，2)，AD＝(2，2，0)．

设平面PCD的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·PC＝(x，y，z)·(22，2，2)＝0，

n1·PD＝(x，y，z)·(0，2，2)＝0， 可得2x－y－z＝0，y＋z＝0.

取y＝－1，得x＝0，z＝1，故n1＝(0，－1,1)．

设平面PAD的法向量为n2＝(m，p，q)，则n2·AP＝(m，p，q)·(2，0，2)＝0，n2·AD＝(m，p，q)·(2，2，0)＝0，可得m＋q＝0，m－p＝0. 取m＝1，得p＝1，q＝－1，故n2＝(1,1，－1)． 于是cos〈n1，n2〉＝

n1·n26. |n1||n2|3由于〈n1，n2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以二面角A－PD－C的大小为

πarccos6. 320．

解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，

A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”． 则A＝A1·A2.

P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝

1. 4(2)X的可能取值为0,1,2.

记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．

11，P(X＝2)＝P(B1·B3)＝P(B1)P(B3)＝，P(X＝1)841159＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1，EX＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝.

8488则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)·P(A3)＝21．

a2b2c22

(1)解：由题设知＝3，即＝9，故b＝8a. 2aa所以C的程为8x－y＝8a. 将y＝2代入上式，求得xa2由题设知，2a22

2

2

1. 216，解得a2＝1. 2所以a＝1，b＝22.

(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的程为8x－y＝8.①

由题意可设l的程为y＝k(x－3)，k<22，代入①并化简得(k－8)x－6kx＋9k＋8＝0.

2

2

2

2

2

2

9k286k2

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝2，x1·x2＝2.

k8k8

于是|AF1|＝x13y1 ＝x138x18＝－(3x1＋1)， |BF1|＝x23y2

＝x238x28＝3x2＋1.

由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝222222222. 36k22419，解得k2＝，从而x1·x2＝. 故2k8359由于|AF2|＝x13y1 ＝x138x18＝1－3x1， |BF2|＝x23y2

＝x238x28＝3x2－1，

故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.

2

因而|AF2|·|BF2|＝|AB|，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列． 22．

2222222212xx2(1)解：由已知f(0)＝0，f′(x)＝，f′(0)＝0. 21x1

若，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.

21若，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.

21综上，λ的最小值是.

2(2)证明：令即

1

.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0， 2

x2xln(1x)．

22x12k1k1取x，则. >ln2kk1kk12n111于是a2nan

4nkn2k2(k1)2n12n12k1k1ln＝

2kk1kknkn＝ln 2n－ln n＝ln 2. 所以a2nan1ln2. 4n

2019年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(全国新课标卷I)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2019课标全国Ⅰ，理1)已知集合A＝{x|x－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )． A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．BA D．AB

2．(2019课标全国Ⅰ，理2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )．

2

44A．－4 B．5 C．4 D．5

3．(2019课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样法中，最合理的抽样法是( )．

A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样

5x2y24．(2019课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C：22=1(a＞0，b＞0)的离心率为，2ab则C的渐近线程为( )．

111xxxA．y＝4 B．y＝3 C．y＝2 D．y＝±x

5．(2019课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．

A．[－3,4] B．[－5,2]

C．[－4,3] D．[－2,5]

6．(2019课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．

500π866πA．3cm3 B．3cm3 1372π2048πC．3cm3 D．3cm3

7．(2019课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )．

A．3 B．4 C．5 D．6

8．(2019课标全国Ⅰ，理8)某几体的三视图如图所示，则该几体的体积为( )．

A．16＋8π B．8＋8π

C．16＋16π D．8＋16π

2m9．(2019课标全国Ⅰ，理9)设m为正整数，(x＋y)展开式的二项式系数的最大值为a，(x2m＋1

＋y)展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )．

A．5 B．6 C．7 D．8

x2y210．(2019课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E：22=1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点Fab的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的程为( )．

x2y2x2y2x2y2x2y2=1=1=1=1271845363627189A． B． C． D．

x22x，x0，11．(2019课标全国Ⅰ，理11)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值围

ln(x1)，x0.是( )．

A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0] 12．(2019课标全国Ⅰ，理12)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝

cnanban，＋1＝n，则( )． 22A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列

C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2019课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.

21Snan33，则{an}的通项公式14．(2019课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和

是an＝_______.

15．(2019课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.

16．(2019课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(2019课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC一点，∠BPC＝90°. (1)若PB＝

1，求PA； 2(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.

18．(2019课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C；

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．

19．(2019课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为

1，且各件产品是2否为优质品相互独立．

(1)求这批产品通过检验的概率；

(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．

222

20．(2019课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)＋y＝1，圆N：(x－1)2

＋y＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N切，圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的程；

(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

2

21．(2019课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2. (1)求a，b，c，d的值；

(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值围．

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的框涂黑． 22．(2019课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D. (1)证明：DB＝DC；

(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

23．(2019课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数程 已知曲线C1的参数程为x45cost,(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极

y55sint轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标程为ρ＝2sin θ. (1)把C1的参数程化为极坐标程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 24．(2019课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.

(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；

(2)设a＞－1，且当x∈a1,时，f(x)≤g(x)，求a的取值围． 222019年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(全国卷I新课标)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．

答案：B

解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2. ∴集合A与B可用图象表示为：

由图象可以看出A∪B＝R，故选B. 2． 答案：D

解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，

55(34i)34i. 34i(34i)(34i)554故z的虚部为，选D.

5∴z3．

答案：C

解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样． 4．

答案：C

c5c2a2b252解析：∵e，∴e2.

a2aa24b122

∴a＝4b，=.

a2b1∴渐近线程为yxx.

a2

5．

答案：A

解析：若t∈[－1,1)，则执行s＝3t，故s∈[－3,3)．

2

若t∈[1,3]，则执行s＝4t－t，其对称轴为t＝2.

故当t＝2时，s取得最大值4.当t＝1或3时，s取得最小值3，则s∈[3,4]． 综上可知，输出的s∈[－3,4]．故选A. 6．

答案：A

解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．

BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，

222

由R＝(R－2)＋4，得R＝5， 所以球的体积为7．

43500π5π(cm3)，故选A. 33答案：C

解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，

∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3. ∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.

mm1m1×1＝0，∴a1. 22m1又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴m3.

2∵Sm＝ma1＋

∴m＝5.故选C. 8．

答案：A

解析：由三视图可知该几体为半圆柱上放一个长体，由图中数据可知圆柱底面半径r＝2，长为4，在长体中，长为4，宽为2，高为2，所以几体的体积为πr×4×16.故选A. 9．

答案：B

解析：由题意可知，a＝C2m，b＝C2m1， 又∵13a＝7b，∴13即

mm2

1＋4×2×2＝8π＋22m!2m1!=7， m!m!m!m1!132m1.解得m＝6.故选B. 7m110． 答案：D

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，

x12y121,①a2b2∴

22x2y21,②a2b2①－②，得

x1x2x1x2y1y2y1y2=0，

a2b2yy2y1y2b2即2=1， ax1x2x1x2∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，

011y1y2b21=，∴2=. 而＝kAB＝

x1x2a2312又∵a－b＝9，∴a＝18，b＝9.

2

2

2

2

x2y2∴椭圆E的程为=1.故选D.

18911． 答案：D

解析：由y＝|f(x)|的图象知：

①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，C.

②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x＋2x|＝x－2x.

2

故由|f(x)|≥ax得x－2x≥ax.

当x＝0时，不等式为0≥0成立． 当x＜0时，不等式等价于x－2≤a. ∵x－2＜－2，∴a≥－2. 综上可知：a∈[－2,0]． 12． 答案：B

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2

解析：∵c＝ta＋(1－t)b，

2

∴b·c＝ta·b＋(1－t)|b|.

又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c， ∴0＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)， 0＝

22

1t＋1－t. 2∴t＝2.

n－1

14．答案：(－2)

21an，① 3321∴当n≥2时，Sn1an1.②

3322①－②，得ananan1，

33a即n＝－2. an121∵a1＝S1＝a1，

33解析：∵Sn∴a1＝1.

n－1

∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2). 15．答案：25 5解析：f(x)＝sin x－2cos x

21sinxcosx，

5512令cos α＝，sin α＝，

55则f(x)＝5sin(α＋x)，

π当x＝2kπ＋－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值5，

2π即θ＝2kπ＋－α(k∈Z)，

2＝5所以cos θ＝cos2kπ+π225π＝cos＝sin α＝. 225516．答案：16

解析：∵函数f(x)的图像关于直线x＝－2对称， ∴f(x)满足f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，

b15164ab,

0893ab,a8,解得

b15.即∴f(x)＝－x－8x－14x＋8x＋15.

32

由f′(x)＝－4x－24x－28x＋8＝0， 得x1＝－2－5，x2＝－2，x3＝－2＋5. 易知，f(x)在(－∞，－2－5)上为增函数，在(－2－5，－2)上为减函数，在(－2，－2＋

4

3

2

5)上为增函数，在(－2＋5，＋∞)上为减函数．

∴f(－2－5)＝[1－(－2－5)][(－2－5)＋8(－2－5)＋15] ＝(－8－45)(8－45) ＝80－64＝16.

f(－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15] ＝－3(4－16＋15) ＝－9.

2

2

f(－2＋5)＝[1－(－2＋5)2][(－2＋5)2＋8(－2＋5)＋15]

＝(－8＋45)(8＋45) ＝80－64＝16.

故f(x)的最大值为16.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．

解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°. 在△PBA中，由余弦定理得PA＝32

11723cos 30. 424故PA＝7. 2(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α. 在△PBA中，由正弦定理得化简得3cos α＝4sin α. 所以tan α＝3sin， sin150sin(30)33，即tan∠PBA＝. 4418．

(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形， 所以OA1⊥AB.

因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.

又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C. (2)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.

又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB， 所以OC⊥平面AA1B1B，

故OA，OA1，OC两两相互垂直．

以O为坐标原点，OA的向为x轴的正向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.

由题设知A(1,0,0)，A1(0，3，0)，C(0,0，3)，B(－1,0,0)．

3，3)． 则BC＝(1,0，3)，BB1＝AA1＝(－1，3，0)，AC1＝(0，

设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，

nBC0,x3z0,则即可取n＝(3，1，－1)． nBB10,x3y0.故cos〈n，AC1〉＝

nA1CnA1C＝10. 510. 5所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为19．

解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以

P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)

＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2) ＝

41113. 161616264(2)X可能的取值为400,500,800，并且

P(X＝400)＝1411111，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝. 161616164X P 400 500 800 所以X的分布列为 11 161 161 4EX＝4001111+500+800＝506.25. 1616420．

解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3. 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.

(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭x2y2圆(左顶点除外)，其程为=1(x≠－2)．

43(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，

所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.

22

所以当圆P的半径最长时，其程为(x－2)＋y＝4. 若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝23. 若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)． 由l与圆M相切得解得k＝|QP|R，

|QM|r1|3k|1k2=1，

2. 422x2y2x2代入=1， 当k＝时，将y4443并整理得7x＋8x－8＝0， 解得x1,2＝

2

462. 72所以|AB|＝1k|x2x1|当k18. 7218时，由图形的对称性可知|AB|＝. 4718综上，|AB|＝23或|AB|＝.

721．

解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.

x而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e(cx＋d＋c)， 故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4. 从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.

2x(2)由(1)知，f(x)＝x＋4x＋2，g(x)＝2e(x＋1)．

x2

设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2ke(x＋1)－x－4x－2，

xx则F′(x)＝2ke(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(ke－1)． 由题设可得F(0)≥0，即k≥1. 令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.

2

①若1≤k＜e，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)． 而F(x1)＝2x1＋2－x12－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.

故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．

22x－2

②若k＝e，则F′(x)＝2e(x＋2)(e－e)．

从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增． 而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．

2－2－22

③若k＞e，则F(－2)＝－2ke＋2＝－2e(k－e)＜0. 从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．

2

综上，k的取值围是[1，e]．

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的框涂黑． 22．

(1)证明：连结DE，交BC于点G.

由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.

而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.

又因为DB⊥BE，

所以DE为直径，∠DCE＝90°， 由勾股定理可得DB＝DC.

(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC， 故DG是BC的中垂线，所以BG＝3. 2设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°. 从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°， 所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于23． 解：(1)将2

3. 2x45cost,22

消去参数t，化为普通程(x－4)＋(y－5)＝25，

y55sint2

即C1：x＋y－8x－10y＋16＝0.

xcos,22将代入x＋y－8x－10y＋16＝0得 ysinρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的极坐标程为

ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

22

(2)C2的普通程为x＋y－2y＝0.

x2y28x10y160,由2 2xy2y0x1,x0,解得或

y1y2.所以C1与C2交点的极坐标分别为2,ππ，2,. 42

24．

解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，

15x,x,21则y＝x2,x1,

23x6,x1.其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0. 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．

(2)当x∈a1,时，f(x)＝1＋a. 22不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.

a1,都成立． 22a4故≥a－2，即a.

324从而a的取值围是1,.

3所以x≥a－2对x∈2019年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(全国新课标卷II)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2019课标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝( )．

A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3} 2．(2019课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )．

A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i

3．(2019课标全国Ⅱ，理3)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )．

2

1111A．3 B．3 C．9 D．9

4．(2019课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，

l⊥n，lα，lβ，则( )．

A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l

52

5．(2019课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)的展开式中x的系数为5，则a＝( )．

A．－4 B．－3 C．－2 D．－1

6．(2019课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( )．

111+A．231+B．

110 110!

112!3!111+C．231+112!3!111 111!

D．

7．(2019课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．

8．(2019课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．

A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c

x1,9．(2019课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件xy3,若z＝2x＋y的最

yax3.小值为1，则a＝( )．

11A．4 B．2 C．1 D．2

32

10．(2019课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c，下列结论中错误的是( )． A．x0∈R，f(x0)＝0

B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形

C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0

2

11．(2019课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的程为( )．

A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 12．(2019课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值围是( )．

2121111,1,,2223 C． D．32 A．(0,1) B．第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2019课标全国Ⅱ，理13)已知正形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD＝__________.

14．(2019课标全国Ⅱ，理14)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为

1，则n＝__________. 14π1，则sin θ＋cos θ4215．(2019课标全国Ⅱ，理15)设θ为第二象限角，若tan＝__________.

16．(2019课标全国Ⅱ，理16)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(2019课标全国Ⅱ，理17)(本小题满分12分)△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，

c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B；

(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．

18．(2019课标全国Ⅱ，理18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝2AB. 2(1)证明：BC1∥平面A1CD；

(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．

19．(2019课标全国Ⅱ，理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度市场需求量的频率分布直图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示

下一个销售季度的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度经销该农产品的利润． (1)将T表示为X的函数；

(2)根据直图估计利润T不少于57 000元的概率；

(3)在直图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．

20．(2019课标全国Ⅱ，理20)(本小题满分12分)平面

x2y2直角坐标系xOy中，过椭圆M：22=1(a＞b＞

ab0)右焦点的直线xy30交M于A，B两点，P1为AB的中点，且OP的斜率为.

2(1)求M的程；

(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

x21．(2019课标全国Ⅱ，理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e－ln(x＋m)． (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)＞0.

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22．(2019课标全国Ⅱ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几证明选讲

如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆． (1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；

(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．

23．(2019课标全国Ⅱ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数程已知动点P，

Q都在曲线C：x2cost,(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为

y2sintPQ的中点．

(1)求M的轨迹的参数程；

(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

24．(2019课标全国Ⅱ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：

a2b2c211. (1)ab＋bc＋ac≤；(2)

bca32019年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(全国新课标卷II)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．

答案：A

2

解析：解不等式(x－1)＜4，得－1＜x＜3，即M＝{x|－1＜x＜3}．而N＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{0,1,2}，故选A. 2．

答案：A 解析：z=2i2i1i22i＝＝－1＋i. 1i1i1i23．

答案：C

解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.

a1(1q3)∵q≠1时，S3＝＝a1·q＋10a1，

1q1q32∴＝q＋10，整理得q＝9. 1q14

∵a5＝a1·q＝9，即81a1＝9，∴a1＝.

94．

答案：D

解析：因为m⊥α，l⊥m，lα，所以l∥α.同理可得l∥β.

又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D. 5．

答案：D

解析：因为(1＋x)的二项展开式的通项为C5x(0≤r≤5，r∈Z)，则含x的项为C5x＋ax·C15x5

2

rr22＝(10＋5a)x，所以10＋5a＝5，a＝－1. 6．

答案：B

解析：由程序框图知，当k＝1，S＝0，T＝1时，T＝1，S＝1；

2

11，S=1+； 22111当k＝3时，T，S1+；

232231111当k＝4时，T，S1+；…； 2342232341111当k＝10时，T，S1+，k增加1变为11，满足k234102!3!10!当k＝2时，T＞N，输出S，所以B正确．

7．

答案：A

解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为下图：

则它在平面zOx上的投影即正视图为8．

答案：D

解析：根据公式变形，a，故选A.

lg6lg2lg10lg2lg14lg21，b，c，因11lg3lg3lg5lg5lg7lg7lg2lg2lg2为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以，即c＜b＜a.故选D. lg7lg5lg39．

答案：B

解析：由题意作出x1,所表示的区域如图阴影部分所示，

xy31，2

作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得a所以a1. 210． 答案：C

解析：∵x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．

11． 答案：C

解析：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋则x0＝5－

p＝5，2p. 2pp,0，所以以MF为直径的圆的程为(x－x0)x＋(y－y0)y＝0.

22又点F的坐标为y02将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.

2p由y02＝2px0，得162p5，解之得p＝2，或p＝8.

2所以C的程为y＝4x或y＝16x.故选C.

12． 答案：B

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2

解析：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(2,0)，点D的坐标为(0,2)，点E的坐标为(1,2)，则AE＝(1,2)，BD＝(－2,2)，所以AEBD2.

14．答案：8

解析：从1,2，…，n中任取两个不同的数共有C2n种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以

2

2

21241，即，解得nn1C214nn114n2n＝8.

10 5

π1tan111，得tan θ＝，即sin θ＝cos θ. 解析：由tan41tan23310222将其代入sinθ＋cosθ＝1，得cos1.

93101010因为θ为第二象限角，所以cos θ＝，sin θ＝，sin θ＋cos θ＝.

5101015．答案：16．答案：－49

解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝10a1＋109d＝10a1＋45d＝0，① 21514d＝15a1＋105d＝25.② 22联立①②，得a1＝－3，d，

3n(n1)21210nn. 所以Sn＝3n233313102202n. 令f(n)＝nSn，则f(n)nn，f'(n)n33320令f′(n)＝0，得n＝0或n.

3S15＝15a1当n202020时，f′(n)＞0,0三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．

解：(1)由已知及正弦定理得

sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．① 又A＝π－(B＋C)，故

sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．② 由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B， 又B∈(0，π)，所以B(2)△ABC的面积Sπ. 412acsin Bac. 24π22

由已知及余弦定理得4＝a＋c－2accos.

4422

又a＋c≥2ac，故ac，当且仅当a＝c时，等号成立．

22因此△ABC面积的最大值为2+1.

18．

解：(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点． 又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF. 因为DF⊂平面A1CD，BC1所以BC1∥平面A1CD. (2)由AC＝CB＝

平面A1CD，

2AB得，AC⊥BC. 2以C为坐标原点，CA的向为x轴正向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.

设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，CD＝(1,1,0)，CE＝(0,2,1)，CA1＝(2,0,2)． 设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，

nCD0,x1y10,则即 nCA10,2x12z10.可取n＝(1，－1，－1)．

同理，设m是平面A1CE的法向量，

mCE0,则可取m＝(2,1，－2)． mCA10,从而cos〈n，m〉＝故sin〈n，m〉＝

n·m3， |n||m|36. 3即二面角D－A1C－E的正弦值为6. 319．

解：(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000， 当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000. 所以T800X39000,100X130,

65000,130X150.(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.

由直图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.

(3)依题意可得T的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400. 20．

解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，

x22y22yy1x12y12=1， 则22=1，22=1，2x2x1ababb2x2x1yy由此可得221=1.

ay2y1x2x1y1因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，0，

x02所以a＝2b.

又由题意知，M的右焦点为(3，0)，故a－b＝3.

22

因此a＝6，b＝3.

2

2

2

2

x2y2所以M的程为=1.

63xy30,(2)由x2y2

1,3643x,x0,3或解得 y3.y3,3因此|AB|＝46. 3由题意可设直线CD的程为

y＝xn53n33，

设C(x3，y3)，D(x4，y4)．

yxn,22由x2y2得3x＋4nx＋2n－6＝0.

1632n29n2于是x3,4＝.

3因为直线CD的斜率为1，

49n2. 31869n2. 由已知，四边形ACBD的面积S|CD||AB|2986当n＝0时，S取得最大值，最大值为.

386所以四边形ACBD面积的最大值为.

3所以|CD|＝2|x4x3|21．

解：(1)f′(x)＝ex1. xmx由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.

于是f(x)＝e－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ex1. x1函数f′(x)＝ex1在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0. x1因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.

所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．

(2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0. 当m＝2时，函数f′(x)＝ex1在(－2，＋∞)单调递增． x2又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，

故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)． 当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；

当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值． 由f′(x0)＝0得e0＝

x1，ln(x0＋2)＝－x0， x021x012故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝＞0.

x02x02综上，当m≤2时，f(x)＞0.

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22．

解：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线， 所以∠DCB＝∠A，由题设知

BCDC， FAEA故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA. 因为B，E，F，C四点共圆， 所以∠CFE＝∠DBC， 故∠EFA＝∠CFE＝90°.

所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．

(2)连结CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.

而DC＝DB·DA＝3DB，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为23．

解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．

2

2

1. 2M的轨迹的参数程为xcoscos2,(α为参数，0＜α＜2π)．

ysinsin2(2)M点到坐标原点的距离

dx2y222cos(0＜α＜2π)．

当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．

24．

222222

解：(1)由a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca，

222

得a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.

2222

由题设得(a＋b＋c)＝1，即a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤

1. 3b2c2a2(2)因为b2a，c2b，a2c，

caba2b2c2(abc)≥2(a＋b＋c)， 故bcaa2b2c2≥a＋b＋c. 即

bcaa2b2c2≥1. 所以

bca参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P(AB)P(A)P(B) S4R2

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(AB)P(A)P(B) 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 V3R3 4n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

kkPn(k)Cnp(1p)nk(k0,1,2,…n)

2012年普通高等学校招生全国统一考试

一、

选择题 1、 复数

13i= 1im}，B＝{1，m} ,A

B＝A, 则m=

A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A＝{1.3.

A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的程为

x2y2x2y2A +=1 B +=1 1612128x2y2x2y2C +=1 D +=1

481244 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1=22 E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 A 2 B

3 C 2 D 1

（5）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列为 (A)

的前100项和

1009999101 (B) (C) (D) 101101100100a·b=0，|a|=1，|b|=2，则

（6）△ABC中，AB边的高为CD，若

(A) （B） (C) (D)

3（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=3，则cos2α=

-(A)

5555-3 （B）9 (C) 9 (D)3

（8）已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=

1334(A)4 （B）5 (C)4 (D)5

（9）已知x=lnπ，y=log52，z=e，则

(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x (10) 已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝ （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1

（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列法共有

（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种

127（12）正形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝3。动点P

从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正形的向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正形的边碰撞的次数为 （A）16（B）14（C）12(D)10

二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效）

（13）若x，y满足约束条件（14）当函数

则z=3x-y的最小值为_________。 取得最大值时，x=___________。

（15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系

数为_________。

（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c。

（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小。

19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双比分在10平前，一连续发球2次后，对再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜得1分，负得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； （Ⅱ）

表示开始第4次发球时乙的得分，求

的期望。

（20）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]。 （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值围。

21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）

y已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+(

12)2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处

两曲线的切线为同一直线l. （Ⅰ）求r；

（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。

22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效） ．．．．．．．．函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4,5）、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标。 （Ⅰ）证明：2 xn＜xn+1＜3； （Ⅱ）求数列{xn}的通项公式。

2011年高考数学(全国卷)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数z1i，z为z的共轭复数，则zzz1 (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i 2. 函数y2xx0的反函数为

x2x2 (A)yxR (B) yx0

44 (C)y4x2xR (D) y4x2x0

3.下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是

(A) ab1 (B) ab1 (C)a2b2 (D) a3b3

4.设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2,Sk2Sk24，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5

5.设函数fxcosx0，将yfx的图像向右平移图像与原图像重合，则的最小值等于 (A)

个单位长度后，所得的31 (B) 3 (C) 6 (D) 9 36.已知直二面角l，点A,ACl,C为垂足，B,BDl,D为垂足，若

AB2,ACBD1，则D到平面ABC的距离等于

(A)

236 (B) (C) (D) 1 2337.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送法共有

(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种

8.曲线ye2x1在点0,2处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为 (A)

112 (B) (C) (D) 1 323529.设fx是期为2的奇函数，当0x1时，fx2x1x，则f (A) 1111 (B)  (C) (D)

422410.已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A、B两点，则

cosAFB

4334 (A) (B) (C)  (D) 

555511.已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成60二面角的平面截该球面得圆N，脱该球面的半径为4.圆M的面积为4，则圆N的面积为 (A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13

12. 设向量a,b,c满足ab1,ab,ac,bc60，则c的最大值对于 (A) 2 (B)

123 (C) 2 (D) 1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的

位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. 1x20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为 .

14. 已知5,，sin，则tan2 .

52x2y215. 已知F1、F2分别为双曲线C:1的左、右焦点，点AC，点M的坐标为

9272,0，AM为F1AF2的角平分线，则

AF2 .

16. 已知点E、F分别在正体ABCDA1B1C1D1 的棱BB1、CC1上，且B1E2EB,

CF2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分10分）

ABC的角A、B、C的对边分别为a,b,c。已知AC90,ac2b，求C

18.（本小题满分12分）

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（Ⅱ）X表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD中，AB//CD,BCCD,侧面SAB为等边三角形， AB=BC=2，CD=SD=1. （Ⅰ）证明：SD平面SAB;

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小。

20.（本小题满分12分）

设数列an满足a10,111

1an11an （Ⅰ）求an的通项公式； （Ⅱ）设bn1an1n，记Snbk1nk，证明：Sn1。

21.（本小题满分12分）

y2已知O为坐标原点，F为椭圆C:x1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率

22为2的直线l与C交于A、B两点，点P满足

OAOBOP0.

（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一个圆上。

22.（本小题满分12分）

（Ⅰ）设函数fxln1x2x，证明：当x0时，fx0 x219 （Ⅱ）从编号1到100的100卡片中每次随机抽取一，然后放回，用这种式连续抽

19取20次，设抽到的20个互不相同的概率为p，证明：p2

e10

2010年普通高等学校招生全国统一考试

一．选择题 (1)复数

32i 23i(A)i (B)i (C)12-13i (D) 12+13i

(2)记cos(80)k,那么tan100

kk1k21k2A. B. - C. D. -

22kk1k1ky1, (3)若变量x,y满足约束条件xy0,则zx2y的最大值为

xy20,(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

（4）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则

a4a5a6=

(A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42 (5)(12x)3(13x)5的展开式中x的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

(7)正体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 A

2362 B C D 333312（8）设a=log32,b=In2,c=5,则

A a(9)已知F1、F2为双曲线C:x2y21的左、右焦点，点p在C上，∠F1pF2=600，则P到x轴的距离为 (A)

36 (B) (C) 3 (D) 226 （10）已知函数F(x)=|lgx|,若0（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么PA•PB的最小值为

(A) 42 (B)32 (C) 422 (D)322 （12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 (A)

234383 (B) (C) 23 (D) 333二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

(注意：在试题卷上作答无效)

(13)不等式2x21x1的解集是 .

(14)已知为第三象限的角，cos2,则tan(3542) .

(15)直线y1与曲线yx2xa有四个交点，则a的取值围是 . (16)已知F是椭圆C的一个焦点，线段BF的延长线交C于点D，B是短轴的一个端点，且BF2FD，则C的离心率为 .

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(17)已知ABC的角A，B及其对边a，b满足abacotAbcotB，求角C．

(18) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审． (I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．

（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .

（Ⅰ）证明：SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 . (20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作．．．．．．

答无效） ．．．

已知函数f(x)(x1)lnxx1.

（Ⅰ）若xf'(x)x2ax1，求a的取值围； （Ⅱ）证明：(x1)f(x)0 .

（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知抛物线C:y24x的焦点为F，过点K(1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D .

（Ⅰ）证明：点F在直线BD上； （Ⅱ）设FAFB8，求BDK的切圆M的程 . 9（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．已知数列an中，a11,an1c1 . an（Ⅰ）设c51,bn，求数列bn的通项公式； 2an2（Ⅱ）求使不等式anan13成立的c的取值围 .

2009年普通高等学校招生全国统一考试

一、选择题

(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A中的元素共有

（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个 （2）已知

B，则集合[u（A

B）

Z=2+I,则复数z= 1＋i（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i (3) 不等式

X1＜1的解集为 X1（A）｛x0x1xx1 (B)x0x1

（C）x1x0 (D)xx0

x2y22

(4)设双曲线221（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x+1相切，则该双曲线的

ab离心率等于

（A）3 （B）2 （C）5 （D）6

(5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 （A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种

（6）设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则ac•bc的最小值为 （A）2（B）22 （C）1 (D)12

（7）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为

BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为

（A）

3573（B） （C） (D) 44444，0中心对称，那么的最小值为 3（8）如果函数y＝3cos2x＋的图像关于点（A）

 （B） （C） (D) 6432 (9) 已知直线y=x+1与曲线yln(xa)相切，则α的值为 (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2

（10）已知二面角α-l-β为600 ，动点P、Q分别在面α、β，P到β的距离为3，Q到α的距离为23，则P、Q两点之间距离的最小值为 (A)2 (B)2 (C) 23 (D)4

（11）函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则 (A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数 (C) f(x)f(x2) (D) f(x3)是奇函数

x2（12）已知椭圆C: y21的又焦点为F，右准线为L，点AL,线段AF 交C与点

2B。若FA3FB,则AF=

(A)2 (B)2 (C)

3 (D)3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

(13) (xy)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 .

(14)设等差数列an的前n项和为sn.若s9=72,则a2a4a9= . (15)直三棱柱ABC-A1B1C1各顶点都在同一球面上.若ABACAA12,∠

BAC=120，则此球的表面积等于 .

(16)若

4＜X＜2,则函数ytan2xtan3x的最大值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．． 在ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c ，已知

a2c22b，且

sinAcosC3cosAsinC，求b.

18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=2，DC=SD=2.点M在侧棱SC上，∠ABM=600. (Ⅰ)证明：M是侧棱SC的中点； （Ⅱ）求二面角S—AM—B的大小。

(19)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）

．．．．．．．．．

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，

假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（2）设 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学期望。

（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

．．．．．．．．．

在数列an中， a1＝1’an＋1＝1＋1n＋1a＋. ’n2n设bn＝an，求数列bnn的通项公式；

求数列an的前n项和sn.

21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．如图，已知抛物线E:y2x与圆M:(x4)2y2r2(r＞0）相交于A、B、C、D四个点。

（I）求r的取值围： (II)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线

A、B、C、D的交点p的坐标。

22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

设函数f(x)x33bx23cx有两个极值点x1，x21，0，且x21,2. （Ⅰ）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面，画出满足这些条件的点（b，c）和区域；

(Ⅱ)证明：10≤f(x2)≤-1 2

2008年普通高等学校招生全国统一考试

一、选择题

1．函数yx(x1)x的定义域为（ ） A．x|x≥0 C．x|x≥1

B．x|x≥1 D．x|0≤x≤1

0 2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（ ）

s s s s O A．

t O B．

t O C．

t O D．

t

3．在△ABC中，ABc，ACb．若点D满足BD2DC，则AD（ ） A．bc

2313 B．c532b 3 C．

21bc 33 D．b132c 34．设aR，且(ai)2i为正实数，则a（ ） A．2

B．1

C．0

D．1

5．已知等差数列an满足a2a44，a3a510，则它的前10项的和S10（ ） A．

B．

C．95

D．23

6．若函数yf(x1)的图像与函数ylnx1的图像关于直线yx对称，则f(x)（ ） A．e2x1

B．e2x

C．e2x1

D．e2x2

7．设曲线yA．2

x1在点(3，2)处的切线与直线axy10垂直，则a（ ） x111B． C． D．2

22π的图像，只需将函数ysin2x的图像（ ） 3

B．向右平移

8．为得到函数ycos2xA．向左平移

5π个长度单位 125π个长度单位 12C．向左平移

5π个长度单位 6D．向右平移

5π个长度单位 6f(x)f(x)0的解

x9．设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式集为（ ） A．(1，0)(1，) (1，)

B．(，1)D．(1，0)(01)， (01)，

C．(，1)10．若直线

xy1通过点M(cos，sin)，则（ ） ab11A．a2b2≤1 B．a2b2≥1 C．22≤1

abD．

112≥1 2ab11．已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC的射影为

△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）

A．

13B．2 3 C．3 3 D．

2 312．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A．96 B．84 C．60 D．48

A D

C B 第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

xy≥0，13．13．若x，y满足约束条件xy3≥0，则z2xy的最大值为 ．

0≤x≤3，14．已知抛物线yax21的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ． 15．在△ABC中，ABBC，cosB7．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则18该椭圆的离心率e ．

16．等边三角形ABC与正形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为

3，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于 ． 3三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

设△ABC的角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosBbcosA（Ⅰ）求tanAcotB的值； （Ⅱ）求tan(AB)的最大值．

18．（本小题满分12分）

四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，BC2，

3c． 5CD2，ABAC．

（Ⅰ）证明：ADCE；

（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角CADE的大小． 19．（本小题满分12分）

已知函数f(x)xaxx1，aR． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；

32A B C D

E

是减函数，求a的取值围． （Ⅱ）设函数f(x)在区间， 20．（本小题满分12分）

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验法： 案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

（Ⅰ）求依案甲所需化验次数不少于依案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）表示依案乙所需化验次数，求的期望． 21．（本小题满分12分）

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直

2313AB、OB成等差数列，于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知OA、且BF与FA同

向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的程． 22．（本小题满分12分） 设函数f(x)xxlnx．数列an满足0a11，an1f(an)． （Ⅰ）证明：函数f(x)在区间(0，1)是增函数；

（Ⅱ）证明：anan11；

1)，整数k≥（Ⅲ）设b(a1，

a1b．证明：ak1b． a1lnb 2007年全国普通高考全国卷一（理）

一、选择题

5，则sin 121155A． B． C． D．

513135a1i2．设a是实数，且是实数，则a 1i213A． B．1 C． D．2

221．是第四象限角，tan3．已知向量a(5,6)，b(6,5)，则a与b

A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线程为

x2y2x2y2x2y2x2y2A．1 B．1 C．1 D．1

4121241066105．设a,bR，集合{1,ab,a}{0,,b}，则ba

A．1 B．1 C．2 D．2 6．下面给出的四个点中，到直线xy10的距离为的平面区域的点是

A．(1,1) B．(1,1) C．(1,1) D．(1,1) 7．如图，正棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为

A1D1B1C1baxy102，且位于表示2xy1012 5534C． D．

55A． B．

8．设a1，函数f(x)logax在区间[a,2a]上的最大值

DACB与最小值之差为

1，则a 2A．2 B．2 C．22 D．4 9．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)f(x)g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的

A．充要条件 B．充分而不必要的条件

C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 10．(x2)n的展开式中，常数项为15，则n=

A．3 B．4 C．5 D．6 11．抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则△AKF的面积是

A．4 B．33 C．43 D．8 12．函数f(x)cos2x2cos2A．(,1xx的一个单调增区间是 223) B．(,) C．(0,) D．(,) 362366二、填空题

13．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。（用数字作答） 14．函数yf(x)的图象与函数ylog3x(x0)的图象关于直线yx对称，则

f(x)____________。

15．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为______。

16．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为__________。 三、解答题

17．设锐角三角形ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsinA

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）求cosAsinC的取值围。 18．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为

 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润。 （Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率

P(A)；

（Ⅱ）求的分布列及期望E。 19．四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知ABC45，AB2，BC22，CDASBSASB3。

（Ⅰ）证明：SABC；

（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小。

20．设函数f(x)exex

（Ⅰ）证明：f(x)的导数f'(x)2；

（Ⅱ）若对所有x0都有f(x)ax，求a的取值围。

x2y221．已知椭圆1的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，

32过F2的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P x02y02（Ⅰ）设P点的坐标为(x0,y0)，证明：1；

32（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值。

22．已知数列{an}中，a12，an1(21)(an2)，n1,2,3,（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}中，b12，bn1

3bn4，n1,2,3,2bn3，证明：

2bna4n3，n1,2,3,

2009年普通高等招生全国统一考试

数学（理工农医类）

第I卷

一， 选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是

符合题目要求的。 （1） 已知集合A1,3,5,7,9,B0,3,6,9,12,则A (A) 1,5,7 (B) 3,5,7 (C) 1,3,9 (D) 1,2,3 解析：易有A(2) 复数

CNB

CNB1,5,7，选A

32i32i 23i23i（A）0 （B）2 （C）-2i (D)2 解析：

32i32i32i23i32i23i26i2i,选D 13131323i23i（3）对变量x, y 有观测数据理力争（x1，y1）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（u1，v1）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。

（A）变量x 与

y 正相关，u 与v 正相关 （B）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关

（C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 解析：由这两个散点图可以判断,变量x 与y 负相关，u 与v 正相关,选C

x2y2（4）双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为

412（A）23 （B）2 （C）3 （D）1

x2y2解析：双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线y3x的距离为d412A

（5）有四个关于三角函数的命题：

340223,选

p1：xR, sin2p3: x0,,其中假命题的是

x12x+cos= p2: x、yR, sin(x-y)=sinx-siny 2221cos2x=sinx p4: sinx=cosyx+y=

22（A）p1，p4 （B）p2，p4 （3）p1，p3 （4）p2，p4 解析：p1：xR, sin2x12x+cos=是假命题；p2是真命题，如x=y=0时成立；p3是

2221cos2xsin2xsinxsinx=sinx；p4是假2真命题，

x0,,sinx0，命题，如x=2,y=2时，sinx=cosy,但x+y2。选A.

2xy4（6）设x,y满足xy1,则zxy

x2y2（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值 （C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值

解析：画出可行域可知，当zxy过点（2，0）时，zmin2，但无最大值。选B. （7）等比数列an的前n项和为sn，且4a1，2a2，a3成等差数列。若a1=1，则s4= （A）7 （B）8 （3）15 （4）16 解

析

：

4

a1，2

a2，

a3成等差数列，

4a1a34a2,即4a1a1q24a1q,q24q40,q2，S415,选C.

（8） 如图，正体ABCDA1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上

有两个动点E，F，且EF （A）ACBE

2，则下列结论中错误的是 2 （B）EF//平面ABCD

（C）三棱锥ABEF的体积为定值 （D）异面直线AE,BF所成的角为定值

解析：A正确，易证AC平面D1DBB1，从而ACBE;B显然正确，

EF//BD,EF//平面ABCD易证；C正确，可用等积法求得；D错误。选D.

（9）已知O，N，P在ABC所在平面，且OAOBOC,NANBNC0，且

PA•PBPB•PCPC•PA，则点O，N，P依次是ABC的

（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 心

（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 心

（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） 解析

：

由OAOBOC知,O为ABC的外心；由NANBNC0知，O为ABC的重心; PA•PBPB•PC，PAPC•PB0，CA•PB0,CAPB,同理，APBC,P为ABC的垂心，选C.（10）如果执行右边的程序框图，输入x2,h0.5，那么输出的各个数的合等于

（A）3 （B） 3.5 （C） 4 （D）4.5 解析：选B.

（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm）为

（A）48+122 （B）48+242 （C）36+122 （D）36+242 解析：选A.

（12）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值

设f（x）=min{2, x+2,10-x} (x 0),则f（x）的最大值为

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 解析：选C 第II卷

二、填空题；本大题共4小题，每小题5分。

（13）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B

x2

两点。若AB的中点为（2，2），则直线的程为_____________. 解

析

：

抛

物

线

的

程

为

y24x，

2y14x1Ax1,y1,Bx2,y2,则有x1x2，2y24x2yy242两式相减得，y12y24x1x2，11

x1x2y1y2直线l的方程为y-2=x-2,即y=x答案：y=x

（14）已知函数y=sin（x+）（>0, -=________________ 解

析

：

由

图

可

知

<）的图像如图所示，则

，

T544,,把2,1代入y=sinx有：255

981=sin,105答案：

9 10

（15）7名志愿者中安排6人在六、日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排案共有________________种（用数字作答）。

33解析：C7C4140，答案：140

（16）等差数列{an}前n项和为Sn。已知am1+am1-a解

析

：

由

2m=0，S2m1=38,则m=_______

am1+

am1-

a2m=0得到

22amam0,am0,2又S2m12m1a1a2m122m1am38m10。

答案10

三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。

(17) 解：

案一：①需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角1,1；B点到M， N的俯角2,2；A，B的距离 d （如图） 所示） . ……….3分

②第一步：计算AM . 由正弦定理AMdsin2 ；

sin(12) 第二步：计算AN . 由正弦定理ANdsin2 ；

sin(21) 第三步：计算MN. 由余弦定理MN案二：①需要测量的数据有：

AM2AN22AMANcos(11) . A点到M，N点的俯角1，1；B点到M，N点的府角2，2；A，B的距离 d （如图所示）.

②第一步：计算BM . 由正弦定理BMdsin1 ；

sin(12) 第二步：计算BN . 由正弦定理BNdsin1 ；

sin(21) 第三步：计算MN . 由余弦定理MNBM2BN22BMBNcos(22) （18）（本小题满分12分）

某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样法（按A类、B类分二层）从该工厂的工

人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。 （I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人； （II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.

表1： 生产能力分组 人数 表2： 生产能力分组 人数 （i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直图直接回答结论）

100,110 4 110,120 120,130 130,140 140,150 8 x 5 3 110,120 6 120,130 y 130,140 36 140,150 18

（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (18) 解：

（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为

1，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互10独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为

p111 . 1010100 （Ⅱ）（i）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名. 故 48x525，得x5， 6y361875，得y15 . 频率分布直图如下

从直图可以判断：B类工人中个体间的关异程度更小 .

48553105115125135145123， 25252525256153618 xB115125135145133.8，

757575752575 x123133.8131.1

100100 （ii） xA A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力

的平均数的会计值分别为123，.8和131.1 .

（19）（本小题满分12分） 如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正形，每条侧棱的长都是地面边长的2倍，P为侧棱SD上的点。 （Ⅰ）求证：AC⊥SD；

（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小 （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值； 若不存在，试说明理由。 （19）解法一：

（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SOAC。在正形

ABCD中，ACBD，所以AC平面SBD,得ACSD. (Ⅱ)设正形边长a，则SD又OD2a。

2a，所以SOD600, 2 连OP，由（Ⅰ）知AC平面SBD,所以ACOP, 且ACOD,所以POD是二面角PACD的平面角。

由SD平面PAC,知SDOP,所以POD30, 即二面角PACD的大小为30。

（Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使BE//平面PAC

00由（Ⅱ）可得PD2a，故可在SP上取一点N,使PNPD,过N作PC的平行4线与SC的交点即为E。连BN。在BDN中知BN//PO，又由于NE//PC,故平面

BEN//平面PAC，得BE//平面PAC,由于SN：NP21,故SE：EC21. ：：解法二：

（Ⅰ）；连BD,设AC交于BD于O，由题意知SO平面ABCD.以O为坐标

OC，OS分别为x轴、y轴、z轴正向，建立坐标系Oxyz如图。 原点，OB， 设底面边长为a，则高SO6a。 2 于是

S(0,0,62a),D(a,0,0)22,

C(0,2a,0)2OC(0,262a,0,a) OCSD0故 OCSD a,0)SD(222从而 ACSD

(Ⅱ)由题设知，平面PAC的一个法向量DS(26a,0,a)，平面DAC的一个法22向量OS)0,0,6OSDS3a)，设所求二面角为，则cos,所求二面角的大小22OSDS为30

（Ⅲ）在棱SC上存在一点E使BE//平面PAC.由（Ⅱ）知DS是平面PAC的一个

0（法向量，且 DS2626a,0,a),CS(0,a,a)设 CEtCS, 2222则 BEBCCEBCtCS(226a,a(1t),at) 222而 BEDC0t1 3即当SE:EC2:1时，BEDS 而BE不在平面PAC，故BE//平面PAC

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. （Ⅰ）求椭圆C的程；

OP（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M

OM的轨迹程，并说明轨迹是什么曲线。（20）解:

(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得

ac1,解得a4,c3， ac7x2y2所以椭圆C的标准程为1

167（Ⅱ）设M(x,y)，其中x4,4。由已知

OPOM222及点P在椭圆C上可得

9x21122。 2216(xy)整理得(169)x16y112，其中x4,4。

2222（i）

32时。化简得9y112 4

所以点M的轨迹程为y47(4x4)，轨迹是两条平行于x轴的线段。 33（ii）时，程变形为

4x2y21，其中x4,4

1121121629162当0部分。

3时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足4x4的4当部分；

31时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足4x4的4当1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆；

（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)(x3xaxb)e

（I） （II）

如ab3，求f(x)的单调区间；

若f(x)在(,),(2,)单调增加，在(,2),(,)单调减少，证明

32x＜6.

（21）解：

（Ⅰ）当ab3时，f(x)(x3x3x3)e，故

32x

f'(x)(x33x23x3)ex(3x26x3)ex

e(xx39x)

x x(x3)(x3)e

当x3或0x3时，f'(x)0; 当3x0或x3时，f'(x)0.

0），（3，）从而f(x)在(,3),(0,3)单调增加，在（3，单调减少.

(Ⅱ)f'(x)(x3xaxb)e332x(3x26xa)exex[x3(a6)xba].

由条件得：f'(2)0,即22(a6)ba0,故b4a,从而

f'(x)ex[x3(a6)x42a].

因为f'()f'()0,所以

x3(a6)x42a(x2)(x)(x)

(x2)(x()x). 将右边展开，与左边比较系数得，2,a2.故

2()24124a.

又(2)(2)0,即2()40.由此可得a6. 于是6.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

（22）本小题满分10分）选修4-1：几证明选讲

如图，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B60，F在AC上， 且AEAF。 （I） 证明：B,D,H,E四点共圆：

（II） 证明：CE平分DEF。

（22）解：

（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，

所以∠BAC+∠BCA=120°. 因为AD，CE是角平分线， 所以∠HAC+∠HCA=60°， 故∠AHC=120°.

于是∠EHD=∠AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=°， 所以B,D,H,E四点共圆.

（Ⅱ）连结BH,则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30° 由（Ⅰ）知B,D,H,E四点共圆， 所以∠CED=∠HBD=30°.

又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD， 可得∠CEF=30°. 所以CE平分∠DEF.

0（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数程。

x8cos,x4cost, 已知曲线C1： （t为参数）， C2：（为参数）。

y3sin,y3sint,（1）化C1，C2的程为普通程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线

x32t, （t为参数）距离的最小值。 C3:y2t（23）解：

x2y21. （Ⅰ）C1:(x4)(y3)1,C2:64922C1为圆心是（4,3)，半径是1的圆.

C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.

（Ⅱ）当t2时，P(4,4).Q(8cos,3sin),故M(24cos,23sin). 2C3为直线x2y70,M到C3的距离d5|4cos3sin13|. 5从而当cos8543. ,sin时，d取得最小值555（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和. （1）将y表示成x的函数；

（2）要使y的值不超过70，x 应该在什么围取值？

（24）解：

（Ⅰ）y4|x10|6|x20|,0x30. （Ⅱ）依题意，x满足

4|x10|6|x20|70,{0x30.

解不等式组，其解集为【9，23】

所以 x[9,23].

2010年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上

的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）作答，超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 参考公式：

样本数据x1,x2,xn的标准差 锥体体积公式

s1[(x1x)2(x2x)2n1(xnx)2] VSh

3其中x为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积，体积公式[来源:Z。xx。

4VSh S4R2 VR3

3其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A{|x|2,xR}},B{x|x4,xZ},则AB

(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}

(2)已知复数z3i，z是z的共轭复数，则z•z= 2(13i)11 B. C.1 D.2 42x(3)曲线y在点（-1，-1）处的切线程为

x2A.

（A）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2

(4)如图，质点P在半径为2的圆上逆时针运动，其初始位置为P0（2，-2），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为

（5）已知命题

p1：函数y2x2x在R为增函数， p2：函数y2x2x在R为减函数，

则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：p1p2和q4：p1p2中，真命题是

（A）q1，q3 （B）q2，q3 （C）q1，q4 （D）q2，q4

（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为

（A）100 （B）200 （C）300 （D）400 （7）如果执行右面的框图，输入N5，则输出的数等于

5 44（B）

5（A）

6 55（D）

6（C）

（8）设偶函数f(x)满足f(x)x8(x0)，则{x|f(x2)0}

(A) {x|x2或x4} (C) {x|x0或x6}

(B) {x|x0或x4} (D) {x|x2或x2}

3（9）若cos4，是第三象限的角，则5(C) 2

(D) -2

1tan1tan2

2(A) 11 (B) 22（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

(A) a (B)

272

a 3

(C)

112a (D) 5a2 3|lgx|,0x10,（11）已知函数f(x)1若a,b,c互不相等，且f(a)f(b)f(c),则

x6,x10.2abc的取值围是

(A) (1,10)

(B) (5,6)

(C) (10,12)

(D) (20,24)

（12）已知双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15),则E的程式为

x2y2x2y2(A) 1 (B) 1

3645x2y2(C) 1

63x2y2(D) 1

54第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）设yf(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0f(x)1，可以用随机模拟法近似计算积分

10f(x)dx，先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2,…xN和

y1,y2,…yN，由此得到N个点(x1,y1)(i1,2,…,N)，再数出其中满足y1f(x1)(i1,2,…,N)的点数N1，那么由随机模拟案可得积分f(x)dx的近似值

01为 。

（14）正视图为一个三角形的几体可以是______（写出三种）

（15）过点A(4,1)的圆C与直线x-y=0相切于点B（2,1），则圆C的程为____ (16)在△ABC中，D为边BC上一点，BD=为33，则BAC=_______

三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤 （17）（本小题满分12分）

2n1设数列an满足a12,an1an32

1DC，ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积2（1） 求数列an的通项公式； （2） 令bnnan，求数列的前n项和Sn (18)（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点

（1） 证明：PEBC

（2） 若APB=ADB=60°，求直线PA与平面

PEH所成角的正弦值

(19)(本小题12分)

为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 是否需要志愿 性别 需要 男 40 女 30 不需要 160 270 （1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2） 能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老

年人的比例？说明理由

附：

（20）（本小题满分12分）

x2y2设F1,F2分别是椭圆E:221(ab0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线i与

abE相交于A,B两点，且AF2,AB,BF2成等差数列。

（1）求E的离心率；

（2） 设点p(0,1)满足PAPB，求E的程 （21）（本小题满分12分）

设函数f(x)e1xax。 （1） 若a0，求f(x)的单调区间； （2） 若当x0时f(x)0，求a的取值围

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几证明选讲 如图，已经圆上的弧（Ⅰ）∠ACE=∠BCD； （Ⅱ）BC=BF×CD。

2

x2，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数程 已知直线C1（Ⅰ）当=

x1tcosxcos（t为参数），C2（为参数），

ytsinysin时，求C1与C2的交点坐标； 3（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数程，并指出它是什么

（24）（本小题满分10分）选修4-5，不等式选项 设函数f(x)2x4l1 （Ⅰ）画出函数yf(x)的图像

（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值围。

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理科数学试题参考答案

一、 选择题

（1）D （2）A （3）A （4）C （5）C （6）B （7）D （8）B （9）A （10）B （11）C （12）B 二、填空题 （13）

N1 （14）三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分） N22（15）(x3)y2 （16）60° 三、解答题 （17）解：

（Ⅰ）由已知，当n≥1时，

an1[(an1an)(anan1)3(22n122n32)2

(a2a1)]a1

22(n1)1。

而 a12,

2n1所以数列{an}的通项公式为an2。 2n1（Ⅱ）由bnnann2知

Sn12223325从而

n22n1 ①

2357 2Sn122232n22n1 ②

①-②得

235 (12)Sn22222n1n22n1 。

即 Sn（18）解：

1[(3n1)22n12] 9以H为原点，HA,HB,HP 分别为x,y,z轴，线段HA的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则A(1,0,0),B(0,1,0) （Ⅰ）设 C(m,0,0),P(0,0,n)(m则 D(0,m,0),E(,0,n0)

1m,0). 221m可得 PE(,,n),BC(m,1,0).

22mm因为PEBC00

22所以 PEBC

（Ⅱ）由已知条件可得 m

33,n1,故 C(,0,0) 33 D(0,313,0),E(,,0),P(0,0,1) 326 设 n(x,y,x)为平面PEH的法向量

1x3y0nHEo,26 则  即

nHPo,z0因此可以取n(1,3,0)， 由PA(1,0,1)，

可得 cosPA,n2 4所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为（19）解：

2 4（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为

27014% 500500(4027030160)29.967。 （2）K20030070430由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。 (III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样法比采用简单随机抽样法更好． （20.）解：

（I）由椭圆定义知AF2BF2AB4a，又2ABAF2BF2， 得AB4a 3l的程为yxc，其中ca2b2。

设Ax1,y1，Bx2,y2，则A、B两点坐标满足程组

yxc2 xy2221ab化简的a2b2x22a2cxa2c2b20

a2c2b22a2c则x1x22 ,x1x2222abab因为直线AB斜率为1，所以AB22x2x12x1x24x1x2

44ab222a2b得a2故 ,3ab2ca2b22所以E的离心率e aa2（II）设AB的中点为Nx0,y0，由（I）知

x1x2a2c2cx02c，。 yxc002ab233由PAPB，得kPN1， 即

y011 x0得c3，从而a32,b3

x2y2故椭圆E的程为1。

189（21）解：

（1）a0时，f(x)e1x，f'(x)e1.

当x(,0)时，f'(x)0；当x(0,)时，f'(x)0.故f(x)在(,0)单调减少，在(0,)单调增加

（II）f'(x)e12ax

由（I）知e1x，当且仅当x0时等号成立.故

xxxxf'(x)x2ax(12a)x，

1时，f'(x)0 (x0)，而f(0)0， 2从而当12a0，即a于是当x0时，f(x)0.

由e1x(x0)可得e

xx1x(x0).从而当a1时， 2f'(x)ex12a(ex1)ex(ex1)(ex2a)，

故当x(0,ln2a)时，f'(x)0，而f(0)0，于是当x(0,ln2a)时，f(x)0.

综合得a的取值围为(,].

12（22）解：

（I）因为ACBC,

所以BCDABC.

又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC， 所以ACEBCD.

（II）因为ECBCDB,EBCBCD, 所以BDC∽ECB，故即BCBECD.

2BCCD， BEBC(23)解：

 （Ⅰ）当

3时，C1的普通程为y3(x1)，C2的普通程为x2y21。联立程组

13y3(x1)CC ，解得与的交点为（1,0）。 ，212222xy1（Ⅱ）C1的普通程为xsinycossin0。 A点坐标为sin2cossin， 故当变化时，P点轨迹的参数程为：

12xsin2为参数 1ysincos2112xy416。 P点轨迹的普通程为

0，半径为故P点轨迹是圆心为，（24） 解：

2141的圆。 42x5，x2f(x)2x3，x2则函数yf(x)的图像如图所示。 （Ⅰ）由于

（Ⅱ）由函数yf(x)与函数yax的图像可知，当且仅当

a12或a2时，函数

yf(x)与函数yax的图像有交点。故不等式f(x)ax的解集非空时，a的取值围为 2，1，2。

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)复数

2i的共轭复数是 12i（A）i （B）i （C）i （D）i （2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是

22（A）yx (B) yx1 （C）yx1 (D) y2x3535

（3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 （A）120 （B）720 （C）1440

（D）5040

（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A）

1123 （B） （C） （D） 3234（5）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则

cos2=

（A）4334 （B） （C） （D） 5555（6）在一个几体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，

则相应的侧视图可以为

（7）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为

（A）2 （B）3 （C）2 （D）3

a1（8）x2x的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为

xx（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40 （9）由曲线y（A）

5x，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为

1016 （B）4 （C） （D）6 33（10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题

2P:ab10,132P:ab1, 23P3:ab10, P4:ab1,

33其中的真命题是

（A）P1,P4 （B）P1,P3 （C）P2,P3 （D）P2,P4

（11）设函数f(x)sin(x)cos(x)(0,2)的最小正期为，且

单调3f(x)f(x)，则（A）f(x)在0,单调递减 （B）f(x)在,244递减（C）f(x)在0,(12)函数y单调递增 2（D）f(x)在3,44单调递增 1的图像与函数y2sinx(2x4)的图像所有焦点的横坐标之和等x1于（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 （13）若变量x,y满足约束条件32xy9,则zx2y的最小值为 。

6xy9,（14）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在 x轴上，离心率

为

2。过l的直线 交于A,B两点，且ABF2的长为16，那么C的程为 。 2（15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6,BC23,则棱锥OABCD的体积为 。

（16）在ABC中，B60,AC3，则AB2BC的最大值为 。 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

2等比数列an的各项均为正数，且2a13a21,a39a2a6.

求数列an的通项公式.

设 bnlog3a1log3a2......log3an,求数列(18)(本小题满分12分)

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四

1的前项和. bn边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD；

(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 （19）（本小题满分12分）

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配（分别称为A配和B配）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配的频数分布表 指标值分组 频数 指标值分组 频数 [90，94） 8 [90，94） 4 [94，98） 20 [94，98） 12 [98，102） 42 [98，102） 42 [102，106） 22 [102，106） 32 [106，110] 8 [106，110] 10 B配的频数分布表 （Ⅰ）分别估计用A配，B配生产的产品的优质品率；

（Ⅱ）已知用B配生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式

2,t94 y2,94t102

4,t102从用B配生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

（20）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA•AB = MB•BA，M点的轨迹为曲线C。 （Ⅰ）求C的程；

（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。 （21）（本小题满分12分） 已知函数f(x)alnxb，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线程为x2y30。 x1xlnxk，求k的取值围。 x1x（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x0，且x1时，f(x)请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请

写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几证明选讲

如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合。已知AE的长为n，AD，AB的长是关于x的程x14xmn0的两个根。

2

（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若A90，且m4,n6，求C，B，D，E所在圆的半径。

(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数程 在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数程为

x2cos（为参数） y22sinM是C1上的动点，P点满足OP2OM,P点的轨迹为曲线C2 (Ⅰ)求C2的程

(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB. (24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)xa3x,其中a0。

（Ⅰ）当a1时，求不等式f(x)3x2的解集

3与C1的异于极点的交

（Ⅱ）若不等式f(x)0的解集为x|x1

 ，求a的值。

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理科数学试卷参考答案

一、选择题

（1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D （7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D 二、填空题

x2y2（13）-6 （14）1 （15）83 （16）27 168三、解答题 （17）解：

232（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a39a2a6得a39a4所以q21。有条件可知a>0,9故q1。 311。故数列{an}的通项式为an=n。 33由2a13a21得2a13a2q1，所以a1（Ⅱ ）bnlog1a1log1a1...log1a1

(12...n)n(n1)2故

12112() bnn(n1)nn1111111112n...2((1)()...()) b1b2bn223nn1n1所以数列{(18)解：

（Ⅰ ）因为DAB60,AB2AD, 由余弦定理得BD3AD

12n}的前n项和为 bnn1从而BD+AD= AB，故BDAD 又PD底面ABCD，可得BDPD 所以BD平面PAD. 故PABD

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则

222

A1,0,0,B0，3,0,C1,3,0,P0,0,1。

AB(1,3,0),PB(0,3,1),BC(1,0,0)

设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则 即

x3y03yz0

因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC的法向量为m，则

mPB0mBC0

可取m=（0，-1，3） cosm,n427 727故二面角A-PB-C的余弦值为 （19）解

27 7（Ⅰ）由实验结果知，用A配生产的产品中优质的平率为产的产品的优质品率的估计值为0.3。

由实验结果知，用B配生产的产品中优质品的频率为的产品的优质品率的估计值为0.42

228=0.3，所以用A配生10032100.42，所以用B配生产100（Ⅱ）用B配生产的100件产品中，其质量指标值落入区间

90,94,94,102,102,110

的频率分别为0.04，,054,0.42，因此

P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即X的分布列为

X的数学期望值EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 (20）解：

(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA=（-x,-1-y）, MB=(0,-3-y),

AB=(x,-2).再由愿意得知（MA+MB）• AB=0,即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0.

所以曲线C的程式为y=

12x-2. 更多免费试卷下载w绿w色w.lsp圃jy.c中om小学教41211x-2上一点，因为y'=x,所以l的斜率为x0 422育网 分站www.fydaxue.

(Ⅱ)设P(x0,y0)为曲线C：y=

因此直线l的程为yy0则O点到l的距离d1x0(xx0)，即x0x2y2y0x20。 2.又y02|2y0x0|2x0412x02，所以 412x041422d(x04)2,

222x04x042当x0=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.

（21）解：

(（Ⅰ）f'(x)x1lnx)bx 22(x1)x

f(1)1,1由于直线x2y30的斜率为，且过点(1,1)，故1即

2f'(1),2

b1,a1

b,22 解得a1，b1。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

lnx1，所以 x1x

lnxk1(k1)(x21)f(x)()(2lnx)。

x1x1x2x(k1)(x21)2x(k1)(x21)考虑函数h(x)2lnx。 (x0)，则h'(x)x2xk(x21)(x1)2(i)设k0，由h'(x)知，当x1时，h'(x)0。而h(1)0，故 2x1h(x)0； 21x1当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0 21xlnxklnxk从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.

x1xx1x12

（ii）设00,故h’ （x）>0,而h（1）

1k11=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。 21k1x1’

（iii）设k1.此时h （x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得

1x2当x(0,1)时，h(x)0，可得h（x）<0,与题设矛盾。

综合得，k的取值围为（-，0]

（22）解： （I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中， AD×AB=mn=AE×AC, 即

ADAE.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB ACAB因此∠ADE=∠ACB

所以C,B,D,E四点共圆。

（Ⅱ）m=4, n=6时，程x-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.

故 AD=2，AB=12.

取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连

2

接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH. 由于∠A=90，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= 故C,B,D,E四点所在圆的半径为52 （23）解：

（I）设P(x,y),则由条件知M(

0

1(12-2)=5. 2XY

,).由于M点在C1上，所以 22

x2cos,2 即 y22sin2从而C2的参数程为x4cos y44sinx4cos（为参数）

y44sin（Ⅱ）曲线C1的极坐标程为4sin，曲线C2的极坐标程为8sin。 射线射线3与C1的交点A的极径为14sin与C2的交点B的极径为28sin3， 。

33所以|AB||21|23. （24）解：

（Ⅰ）当a1时，f(x)3x2可化为|x1|2。 由此可得 x3或x1。

故不等式f(x)3x2的解集为{x|x3或x1}。 ( Ⅱ) 由f(x)0的 xa3x0 此不等式化为不等式组

xaxa或 xa3x0ax3x0xaxaa即 x 或aa 42因为a0，所以不等式组的解集为x|x由题设可得

a2

a= 1，故a2 2