固体物理答案第六章

第

六

章

自习题

1. 一金属体积为，电子总数为，以自由电子气模型 （1）在绝热条件下导出电子气的压强为 其中U0由

电

子

论

和

电

子

的

输

运

性

质VN30NEF. 5（2）证明电子气体的体积弹性模量 【解答】

（1）在绝热近似条件下，外场力对电子气作的功W等于系统内能的增加dU，即 式中

P是电子气的压强.由上式可得

在常温条件下，忽略掉温度对内能的影响，则由《固体物理教程》（6.5）式得 由此得到

（2）由《固体物理教程》（2.11）式可知，体积弹性模量K与压强P和体积V的关系为 将

代入体积弹性模量K与压强P和体积V的关系式，得到 2.二维电子气的能态密度 证明费米能

其中n为单位面积的电子数. 【解答】 由已知条件可得单位面积金属的电子总数 作变量变换 则有 即

1eEFkBT=en2mkBT. 由上式解得

3.金属膨胀时，价带顶能级发生移动 证明

【解答】 解法一： 金属中自由电子的费米能 可认为是能带顶，式中 当金属体积膨胀后，体积由V变成了费米能的变化量 与已知条件比较可得 解法二： 由《固体物理教程》（5.103）式可知，自由电子的能态密度 电子总数

金属膨胀后，能态密度增大，费密能级降低，但电子总数不变，即 由以上两式解得

4.由同种金属制做的两金属块，一个施加30个大气压，另一个承受一个大气压，设体积弹性模量为1011VVV，费米能变成了 Nm2，电子浓度为51028m3，

计算两金属块间的接触电势差.

【解答】两种金属在同一环境下，它们的费密能相同，之间是没有接触电势差的.但当体积发生变化，两金属的导电电子浓度不同，它们之间将出现接触电势差.设压强为0时金属的费密能为EF，金属1受到一个大气压后，费密能为EF1，金属2受到30个大气压后，费密能为EF2，则由《固体物理教程》（6.25）式可知，金属1与金属2间的接触电势差 由上边第3题可知

由《固体物理教程》（2.10）式可知，固体的体积变化所以

两金属的接触电势差 将

代入两金属的接触电势差式子，得

V与体积弹性模量K和压强P的关系为

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P/,P5.若磁场强度B沿z轴，电流密度沿x轴，金属中电子受到的碰撞阻力为是电子的动量，试从运动方程出发，求金属的霍尔系数.

【解答】

电子受的合力

dPPmvFvBvB.（1）

dt由于电子受的阻力与它的速度成正比，所以电场力与阻力平衡时的速度是最高平均速度，此时电子的加速度变为0，（1）式化成

evvB.（2）

m因为电流的方向沿x轴，平衡后，电子沿z轴方向和y轴的速度分量为0.因此，由（2）式得 vx0ex,（3） meeByvx.（4） mmeBx.（5） m由以上两式得 yBvx图6.3霍尔电场 将电流密度 称为霍耳电场，其方向与磁场和电流方向的关系如图6.3所示. jxx（6） 和（5）式一并代入霍耳系数 RH得到

yjxB（7） RHem（8） 将《固体物理教程》（6.85）式代入上式，并取m6.试证金属的热导率 m得 其中是费密面上电子的平均自由程. 【解答】 由《固体物理教程》（6.63）式可知，金属中导电是电子的弛豫时间l电子的波矢k在空间内的分布十分密集，上式可用积分表示 令 则W满足以下关系 E,d是能量为E的电子在单位时间内被散射到立体角 内的几率.如果散射是各向同性的，WE,与无关，则 上式说明，1就是能量为E的电子在单位时间内总的散射几率，也就是说是电子的平均自时间. 由《固体物理教程》（6.126）式可知，金属的热导率 式中F是费密面上的电子的平均自由时间.电子的平均自由时间F和平均速度vF与平均自由程的关系是 而平均速度由下式求得 于是得到

lk32mE7.设沿xy平面施加一电场，沿z轴加一磁场，试证，在一级近似下，磁场不改变电子的分布函数，并用经典力学解释这一现象.

012F2nl2kBT.

【解答】

在只有磁场和电场情况下，《固体物理教程》（6.47）式化成 由上式可解得

考虑到外界磁场和电场对电子的作用远小于原子对电子的作用，必有

kfkf0.

于是有相当好的近似

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因为 所以

可见在一级近似下，磁场对分布函数并无贡献.由经典理论可知，电子在磁场中运动受到一洛伦兹力evB，该力与电子的运动方向v垂直，它

8.

只改变电子的运动方向，并不增加电子的能量，即不改变电子的能态.也就是说，从经典理论看，磁场不改变电子的分布函数.

f0是平衡态电子分布函数，证明

【解答】

金属中导电电子处于平衡态时，其分布函数

f0令 则有

1eEEFkBT1.

9.立方晶系金属，电流密度

j与电场和磁场B的关系是

j0BB•BB2,

试把此关系改写成 【解答】 立方晶系金属的电流密度j与电场对大多数金属来说，F因此电流密度的主项 也即电场的主项 式中

和磁场B的关系是 1014秒，如果取mm，则有 为立方晶系金属的电阻率.由立方晶系金属的电流密度将电场的主项代入上式右端的其中

10.有两种金属，价电子的能带分别为 其中

j与电场和磁场B的关系解得 中，得到 AB，并已测得他们的费米能相等. （2）在费米面上的电子的弛豫时间相等的情况下，哪种金属的电导率大？ 【解答】 （1）已知（1）它们的费米速度哪个大？ A金属与B金属的费米能相等 所以

金属中电子的费米半径kF、费米速度vF和有效质量m的关系是 mvF=kF. A金属电子的有效质量 B金属电子的有效质量 于是 因为

AB，所以A金属电子的费米速度大.

（2）如果外电场沿x方向，则x方向的电场

x与电流密度jx的关系（参见《固体物理教程》6.84式）为

上式积分沿费米面进行.将上式与 比较，可得立方晶系金属的电导率 在费米面是一球面的情况下，上式积分为 其中利用了

kEv.将关系式

代入电导率式得

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于是 可见

B金属的电导率大.

11.求出一维金属中自由电子的能态密度、费米能级、电子的平均动能及一个电子对比热的贡献. 【解答】

设一维一价金属有N个导电电子，晶格常数为图6.4一维金属中自由电子的能带

.如图6.4所示，在EEdE

能量区间波矢数目为

利用自由电子的能量于波矢的关系 可得EEdE能量区间的量子态数目

由此得到能态密度

在绝对零度时费米能级以下的量子态全被电子占据，所以有 由上式即可求得电子的费米能 平均一个电子所具有的能量 其中

fE是电子费米分布函数.利用分布积分，得到 3222EkTF. B8EF利用《固体物理教程》（6.7）和（6.10）两式得 2a2mE3平均一个电子对热容量的贡献为 其中利用了费米能与费米温度的关系 EFkBTF. 12.对于二维金属，重复上述问题. 【解答】 如图6.5所示，在绝对零度时，二维金属中的导电电子（设为自由电子）在波矢平面内充满一费米圆.自由电子的能量E2k22m，所以能量

EEdE区间的电子占据图中dk的范围.在此范围内的波矢数目为 图6.5二维波矢空间 其中

是二维金属中导电电子的波矢密度，S是金属面积.由E能量E2k22m得 EdE区间的量子态数目则为 能量密度 在绝对零度时，费米能级以下的量子态全被电子占据，所以有 由上式可得 其中n是金属中导电电子的密度.可见二维金属中导电电子的费米半径为 平均一个电子所具有的能量 利用分布积分，得到

利用《固体物理教程》（6.7）和（6.10）两式得 平均一个电子对热容量的贡献为

13.证明热发射电子垂直于金属表面运动的平均动能为kBT，平行于表面运动的平均动能也是kBT. 【解答】

当无外加电场，温度也不太高时，金属中的价电子是不会脱离金属的，因为金属中的价电子被原子实紧紧的吸引着，电子处于深度为E0一势阱中.

如图6.6所示，要使最低能级上的电子逃离金属，它至少要从外界获得E0的能量.要使费米面上的电子逃离金属，它至少要从外界获得的能量.

E0EF 来源网络

为方便计，取一单位体积的金属.在k空间内dk范围内的电子数目

图6.6深度为E0势阱

其中

转换成速度空间，则在v式中利用了关系

对于能脱离金属的热发射电子，其能量E必满足式中已取 于是

设金属表面垂直于z轴，热发射电子沿z轴方向脱离金属，则要求 而速度分量vx、vy可取任意值.所以在区间vz利用积分公式 得到

垂直于金属表面的速度分量为的电子在单位时间内逃出金属表面的数目为 于是，热发射电子垂直于金属表面运动的平均能量 利用积分公式 得到

vdv区间内的电子数目

EEF对大多数金属来说,kBT，所以必有

vzdvz的热发射电子数目 E0是金属中的电子脱离原子实的吸引所需要的最低能量，在克服原子实的吸引脱离金属的过程中，这部分能量已消耗掉了.因此脱离金属的电子垂直于金属表面运动的平均动能为 因为在vvdv速度区间内的电子，在单位时间内逃出金属表面的数目为 所以，热发射电子平行于金属表面运动的平均动能 利用积分公式 得到热发射电子平行于金属表面运动的平均动能为 14.证明，当kBT其中

0NEF0EF时，电子数目每增加一个，则费密能变化 为费密能级处的能态密度. 【解答】 由《固体物理教程》（6.3）式可得 式中

当电子每增加一个，费密能的变化 因为导电电子数目很在，所以 于是

由《固体物理教程》（5.103）式可知，自由电子的能态密度 由此可得

0EF1,--- 0NEF15.每个原子占据的体积为a，绝对零度时价电子的费密半径为 计算每个原子电子数目. 【解答】

由《固体物理教程》（6.4）式可知，在绝对零度时导电电子的费密半径 现在已知一金属导电电子的费密半径 所以，该金属中导电电子的密度

3a3是一个原子占据的体积，由此可知，该金属的原子具有两个价电子. 来源网络

16.求出绝对零度时费密能EF、电子浓度n、能态密度N【解答】

绝对零度时电子的费密半径 电子浓度n与费密半径的关系是

0E0F及电子比热CV与费密半径kF的关系.

e0由《固体物理教程》（6.3）式可得到绝对零度时电子的费密能与费密半径的关系为 由《固体物理教程》（5.103）式可知，自由电子的能态密度是 由此可得

由《固体物理教程》（6.13）式可知平均一个电子对热容量的贡献为 因为

所以一个电子的热容与费密半径的关系为 17.经典理论认为,所有价电子都参与导电,电流密度已知铜的电子浓度n【解答】 j与所有电子的漂移速度vd的关系是 1029m3,j5104Am3,试比较费密速度vF和漂移速度vd. kF是费密面上电子的动量,电子的费密速度则为 将漂移速度 与费密速度比较,得 将

代入上式,得到 可见如果认为所有价电子都参与导电,则价电子的漂移速度将远小于费密面上电子的速度.这一点也不难理解,因为量子论认为,参与导电的电子只是费密面附近的少数电子.如果把费密面附近的电子对电流的贡献也粗略地写成 由于nn,所以vFvd. 18.电子漂移速度vd满足方程 试确定稳定态时交变电场下的电导率 【解答】 设交变电场 则电子漂移速度满足的方程变成 设上式的特解为 则

A满足的方程为 由上式的到 齐次方程 的通解为

tBe.

e0eit.

m1i电子漂移速度满足的方程的解为

vd=Bet当电子达到稳定态后，上式右端的第一项趋于0.于是

e0eit.

m1i按照经典理论，电流密度j与漂移速度vd，电导vd=和电场强度

的关系为

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j=nevd由上式得 其中 如果设电场为 则有

19.求出立方晶系金属的积分P2和P3 1、P【解答】

由《固体物理教程》（6.119），（6.120）和（6.123）三式得

以上三式中的面积分是在一个等能面上进行，对于等能面是球面的情况，面积分的值

自由电子的能量 ne20ite.

m1it2k2E2m， 所以面积分化成 因为vx是电子的平均速度在x方向的分量,所以 另外

于是（6.119），（6.120）和（6.123）三式化为 利用《固体物理教程》（6.7）和（6.10）两式进一步得到 20.利用上题结果,求出热导系数 【解答】 将上题P（6.125）式,得立方金属导电电子的热导率 2和P3的代入《固体物理教程》1、P将自由电子的费密能 代入立方金属导电电子的热导率,得 21.证明 【解答】 仅在x主向存在温度梯度的情况下,由《固体物理教程》（6.118）式可知,金属中的电流密度 设金属的左端温度保持为T1,右端温度保持为T2,T2>T1,定义x正方向由左向右,则温度梯度方向与x方向同向,电子由高温区向低温区扩散,方向与温

dn度梯度反向,电流的方向与温度梯度同向.扩散刚开始时,电子的浓度梯度和温差电场x都为0,电流与温度梯度的方向一致,则只有 dx当达到平衡后,电子的浓度梯度dn和温差电场x的方向都与x方向反向,电子浓度梯度引起的反向扩散电流 dx和温差电场引起的反向漂移电流 与正向温差电流 反向,条件 更不可少

其实此问题用6.19题的结果也可证明.忽略费密能随温度的变化,则

将6.19题的P1和P2代入上式,得

22.当金属中存在温度梯度时,电子分布函数

【解答】

fx可以看成是平衡分布函数f0的刚性平移,证明平移量为.

其中

v是电子的平均速度,n是电子浓度,当金属中存在温度梯度时,导电子的分布函数变成了（参见《固体物理教程》6.116式）

是温差电场.将

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代入上式得到 将上式与下式 比较得到

上式表明,当金属中存在温度梯度时,导电电子的分布函数

fk可看成平衡分布函数

f0k在波矢空间里的刚性平移,平移量为

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