2017年高中数学竞赛A题

通过卫星遥感技术测量地球

1.背景

地球是人类赖以生存的家园，对其形状和各种物理现象的精细化认识一直是人们追求的目标。众所周知，地球形状近似椭球体，但其表面实际是一个凹凸不平的不规则体，有海洋、高山、平原、丘陵、沙漠等。精确测量地球的真实形状和大小是卫星遥感技术的主要应用方向之一。

2.说明

根据开普勒定律，卫星是在一个围绕地球的椭圆轨道上运动，这个椭圆轨道可以用六个轨道要素（也叫轨道根数）描述。如图1所示，以不转动地心赤道坐标系XYZ为参考，六个轨道要素是：半长轴α,偏心率e,轨道倾角i,近地角点距ω,升交点赤经Ω,过近地点时刻τ。轨道上的卫星位置可以用这六个参数确定。

(1)轨道倾角i:卫星轨道平面与地球赤道平面之间的夹角。

(2)半长轴α:确定轨道大小的参数。圆轨道而言，就是圆的半径；对于椭圆轨道而

言，就是椭圆的半长轴。

(3)偏心率e:确定轨道形状的参数。e=0时，轨道为圆，0（卫星由南半球至北半球穿过赤道平面的点）之间的角度。(5)过近地点时刻τ:卫星运行中通过近地点的时刻。

(6)近地角点距ω:沿着卫星运动的方向，从轨道升交点度量至近心点的角度，也就是

交点线与近地点矢径延长线之间的夹角。

（更详细的卫星轨道根数介绍，可参考:?iiTb,ff2MXrBFBT2/B󰀜XQ`;frBFBfP`#Bi󰀜Hn2H2K2Mib)

雷达高度计（Altimeter，ALT）是遥感卫星的一种重要传感器设备，可以测量卫星与其在地球表面投影点（称星下点）之间的距离，也就是卫星在地球表面上方的高度。卫星高度计最初的成果就是测量地球形状及大地水准面，进而计算全球重力场。通过卫星高度计获取的数据已广泛地应用于海洋学、大地测量学、地球物理学、气候学、水文地理学

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Z近地点卫星赤道面rτ过近地点时刻赤道面春分点地心Ω升交点赤经ω近地点角距i轨道倾角升交点YX轨道椭圆中心长半径e轨道偏心率图1.卫星轨道

和海洋生物学等领域的研究。尤其是在海洋学研究方面，卫星高度计为研究全球海平面、海洋环流及其随时间的变化提供了一种强有力的工具。中国的天宫二号空间站以及多颗遥感卫星上都装载了这种设备。

卫星雷达高度计的基本原理是通过向星下点发射无线电脉冲并测量从地球表面返回的回波的时间间隔，来测量卫星到反射表面之间的距离，如果时间间隔是∆T，则高度H=c·∆T/2，其中c是光速，如图2所示，由于雷达高度计天线尺寸较小，其发射的无线电信号是在一个锥形空间里向下传播的，锥角θ一般是1°∼2°，照射到地

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球表面的范围近似是一个圆形（称为足印Footprint）。高度计的测量值实际是卫星与星下点间的距离，但简单起见，可近似认为这个圆形区域内的地球表面离卫星的距离相同。另外，雷达高度计以很快的重复频率发射脉冲，相邻的足印区隔得很近，这些圆形的足印区连在一起就形成了一个带状的观测区。（更详细的卫星高度计介绍，可参考?iiTb,ff2MXrBFBT2/B󰀜XQ`;frBFBf_󰀜/󰀜`n󰀜HiBK2i2`以及?iiTb,ff2MXrBFBT2/B󰀜XQ`;frBFBf󰀛HiBK2i2`Oa󰀜i2HHBi2b

图2.卫星高度计原理

3.问题

(1)根据卫星轨道的简单模型，建立用雷达高度计测量数据推算地球表面形状的数学

模型。

(2)对于一颗给定轨道参数及其雷达高度计锥角（或足印区大小）的卫星，建模分析

最少需要多长时间才能把地球尽可能完整、均匀地测量一遍？选择一颗在轨的遥感卫星，将其参数代入所建立的模型，计算该卫星完整测量地球所需的时间。(3)如果在一颗卫星上可以安装多个高度计，该卫星如何只利用这些高度计的测量数

据确定自己的空间位置？

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