习
题
5.3
2.设函数f(t,x)在整个平面上都有定义,连续且有界,证明方程
dx
=f(t,x)dt
的任一解均可延拓到整个区间(−∞,+∞).证明:用反证法.若不然,不妨设初值问题:
dx
=f(t,x),x(t0)=x0dt
的解x=ϕ(t)向右只可以延拓到有限区间[t0,β),其中(t0,x0)为平面上任一点.则由解的延拓定理,当t→β时,x=ϕ(t)无界.但另一方面,由假设,存在M>0使得对任意的(t,x)都有|f(t,x)|≤M.从而∀t∈[t0,β)都有−M≤ϕ(t)≤M,在该不等式中从t0到t积分,得
−M(t−t0)≤ϕ(t)−ϕ(t0)≤M(t−t0),
t∈[t0,β).
故∀t∈[t0,β)都有|ϕ(t)|≤|ϕ(t0)|+M(β−t0),这表明当t→β时,x=ϕ(t)有界.这与当t→β时,x=ϕ(t)无界矛盾,因此原方程的任一解均可延拓到整个区间t∈(−∞,+∞).
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