导数的综合应用

1.曲线的切线方程

点P(x0,f(x0))在曲线y=f(x)上,且f(x)在(x0,f(x0))处存在导数,曲线y=f(x)在点P处的切线方程为_____________________. 2.函数的单调性

(1)用导数的方法研究函数的单调性往往很简便, 但要注意规范步骤.求函数单调区间的基本步骤是: ①确定函数f(x)的定义域; ②求导数f′(x);

③由f′(x)>0(或f′(x)<0),解出相应的x的范围.当 f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是______;当f′(x) <0时,f(x)在相应的区间上是_______.

还可以通过列表,写出函数的单调区间.

(2)在利用导数研究函数的单调性时,我们往往应用以下的充分条件：设函数f(x)在(a，b)内可导，若 f′(x)>0(或f′(x)<0),则函数f(x)在区间(a,b)内为增函数(或减函数);若函数在闭区间［a,b］上连续,则单调区间可扩大到闭区间［a,b］上. 3.函数的极值 求可导函数极值的步骤

求导数f′(x)→求方程________的根→检验f′(x)在方程根左右值的符号,求出极值(若左正右负,则f(x)在这个根处取极大值;若左负右正,则f(x)在这个根处取极小值). 4.函数的最值

求可导函数在［a,b］上的最值的步骤: 求f(x)在(a,b)内的极值→求f(a)、f(b)的值→比较f(a)、f(b)的值和_____的大小.

5.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关 系式y=f(x);

(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;

(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值 的大小,最大(小)者为最大(小)值. 基础自测

1.已知曲线C:y=2x2-x3,点P(0,-4),直线l过点P且与曲线C相切于点Q,则点Q的横坐标为 ( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2

2.函数f(x)=xcos x的导函数f′(x)在区间[-π,π]上的图象大致是 ( )

3.已知函数f(x)=xm+ax的导数f′(x)=2x+1,则数列 { } (n∈N*)的前n项和为 ( )

1f(n)nn1nn2 A.Β.C.D. n1nn1n14.a、b为实数，且b-a=2，若多项式函数f(x)在区间 (a,b)上的导函数f′(x)满足f′(x)<0,则以下式子中一定成立的关系式是 ( )

13 A.f(a)f(b- ) C.f(a+1)>f(b-1) D.f(a+1)>f(b- )

225.函数y=f(x)在其定义域 (  ,3) 内可导,其图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f′(x)，则不等式 f′(x)

2≤0的解集为__________. 题型分类 深度剖析

题型一 函数的极值与导数

【例1】已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1, -6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称. (1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间;

(2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极 值.

知能迁移1 设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8,其中a∈R. (1)若f(x)在x＝3处取得极值，求常数a的值； (2)若f(x)在(－∞,0)上为增函数，求a的取值范围．

题型二 函数的最值与导数

【例2】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b,问是否存在实数a、b使f(x)在[－1，2]上取得最大值3，最小值－29,若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．

a 知能迁移2 已知函数f(x)＝ln x－x. (1)求函数f(x)的单调增区间； (2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值． 2

题型三 导数与方程的解

【例3】 已知函数f(x)＝x2－aln x在(1,2]是增函数， g(x)＝x－ax在(0,1)为减函数．

(1)求f(x)、g(x)的解析式；

(2)求证：当x>0时，方程f(x)＝g(x)＋2有唯一解．

3知能迁移3 已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.

(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性． (2)若方程f(x)＝g(x)在区间[2，e]上有两个不等解，求a的取值范围．

题型四 导数与不等问题 【例4】 设函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R),其中a，b∈R. (1)当a＝－10时，讨论函数f(x)的单调性； 3

(2)若函数f(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围；

(3)若对于任意的a∈[－2,2],不等式f(x)≤1在[－1,0]上恒成立,求b的取值范围．

知能迁移4 设函数f(x)＝x2－mln x，h(x)＝x2－x＋a. (1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，

(1)求实数m的取值范围； (2)当m＝2时，若函数k(x)=f(x)－h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．

一、选择题 1．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 ( ) (－2,2) B．[－2,2] C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) A． a>2,则函数f(x)＝1x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有 ( ) 2．若3

A．0个零点 B．1个零点 C．2个零点 D．3个零点

ln a＋ln x3．已知函数f(x)＝在[1,＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是 ( ) x 1A．04．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a),若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是 ( )

A ．(－1,0) B．(2，＋∞) C．(0,1) D．(－∞，－3) 325．方程 x－6x＋9x－4＝0的实根的个数为 ( ) A． 0 B．1 C．2 D．3 6．已知对任意x∈R，恒有f(－x)＝－f(x),g(－x)＝g(x),且当x>0时, f′(x)>0, g′(x)>0,则当x<0时有 ( )

A． f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0 C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0 二、填空题

x2＋a

7．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝_____. x＋1

8．已知函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是__________．

9．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈ [－1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为_____．

三、解答题 32310．已知函数f(x)＝x－ax＋b(a,b为实数,且a>1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－2. 2(1)求f(x )的解析式； (2)若函数 g(x)＝f(x)－mx在区间[－2,2]上为减函数，求实数m的取值范围．

111．设函数f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋b(01 x－ln x(x>)212 ．已知函数f(x)＝1x2＋2x＋a－1(x≤) 2 (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)求函数f(x)的零点．

