第４４卷第２期 南 京 航 空航天大学学报 Ｖｏ１．４４ＮＯ．２ ２０１２年４月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎａｎｊｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ＆Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ Ａｐｒ．２０１２ 基于子空间算法的对称结构重频模态识别 张家滨 陈国平 （南京航空航天大学振动工程研究所，南京，２１００１６） 摘要：针对飞机等对称结构的重频模态较难识别的问题，在随机子空问算法的基础之上，利用空间投影的性质和 响应点位置间的几何关系，分离对称耦合模态，建立对称模态响应和反对称模态响应Ｈａｎｋｅｌ矩阵，实现单独利 用响应数据识别重频的对称和反对称模态 最后通过仿真算例表明，改进后的方法成功提取了重频模态的振型， 避免了传统算法识别结果的中的振型耦舍，同时提高了对称模态中固有频率和阻尼的识别精度。 关键词：环境激励；重频模态；随机子空间；模态分析 中图分类号：Ｏ３２４；ＴＵ３１１．３；Ｕ４４１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００５—２６１５（２０１２）０２—０１９１—０７ Ｍｏｄａｌ Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｗｉｔｈ Ｒｅｐｅａｔｅｄ Ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｓｕｂｓｐａｃｅ Ｍｅｔｈｏｄ Ｚｈａｎｇ ｄｉａｂｉｎ，Ｃｈｅｎ Ｇｕｏｐｉｎｇ （Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｒｅｓｅａｒｃｈ，Ｎａｎｊｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ＆ Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，Ｎａｎｊｉｎｇ，２１００１６，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｍｏｄａｌｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｗｉｔｈ ｒｅｐｅａｔｅｄ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ，ｓｕｃｈ ａｓ ａｉｒｃｒａｆｔ ｅｔｃ，ａｒｅ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｔｏ ｉｄｅｎｔｉｆｉｅｄ．Ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ，．ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｓｕｂｓｐａｃｅ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｉｓｏｌａｔｅｓ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｃｏｕｐｌｅｄ ｍｏｄｅｓ，ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｕｓｉｎｇ ｏｆ ｓｐａｃｅ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｏｆ ｔｅｓｔ ｐｏｉｎｔｓ，ａｎｄ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｓ Ｈａｎｋｅｌ ｍａｔｒｉｘ ｗｉｔｈ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｍｏｄａｌ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ａｎｄ ｔｈｅ ａｎｔｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｍｏｄａｌ ｒｅ— ｓｐｏｎｓｅ，ｔｈｕｓ ａｃｈｉｅｖｉｎｇ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ａｎｄ ａｎｔｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｍｏｄａｌ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｒｅｐｅａｔｅｄ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ ｕｓｉｎｇ ｏｕｔｐｕｔ ｄａｔａ ｏｎｌｙ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｌｙ ｅｘｔｒａｃｔｓ ｍｏｄｅ ｓｈａｐｅｓ ｗｉｔｈ ｒｅｐｅａｔｅｄ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ，ａｖｏｉｄｓ ｔｈｅ ｍｏｄａｌ ｓｈａｐｅｓ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｍｅｔｈ— ｏｄｓ，ａｎｄ ｉｎｃｒｅａｓｅｓ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ａｎｄ ｄａｍｐｉｎｇ ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｔｉｍｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ａｍｂｉｅｎｔ；ｍｏｄｅ ｗｉｔｈ ｒｅｐｅａｔｅｄ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ；ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｓｕｂｓｐａｃｅ；ｍｏｄａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ 传统的模态识别方法利用频响函数和脉冲响 而且对于操作人员的工程经验要求较高。特别是一 应函数进行参数识别，但是对称结构的重频模态一 些工程结构无法施加人工激励的条件下，单独利用 直困扰识别精度的难题，很容易产生模态遗漏或者 响应数据进行识别更是难以区分耦合模态。 是振型的混淆。尤其是飞机等对称结构，对称和反 时域算法与频域算法不同，未经过ＦＦＴ变换， 对称振型对应的固有频率很容易重合，利用频响函 原始数据同时包含了所有的模态响应，利用多通道 数很难有效提取对应的两阶模态，通过快速傅里叶 的数据同步采集，理论上存在实现耦合模态参数识 变换（Ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｔｏｒｍ，ＦＦｔ），两阶模态只留 别的可能，但是利用传统的随机子空间等时域算法 下一个峰值或者间隙很小，几乎完全耦合在一起， 识别得到的振型为耦合模态振型的线性组合，很难 给识别带来了困难。大型的工程实验一般通过纯模 得到原始的模态振型。对此本文通过解析子空间算 态的方法进行单模态的逐个识别，但是工作量较大 法的投影过程，利用投影空间的过滤特征，实现对 收稿日期：２０１１－０３—１７；修订日期：２０１２—０１—１２ 通讯作者：陈国平，男，教授，博士生导师，Ｅ—ｍａｉｌ：ｇｐｃｈｅｎ＠ｎｕａａ．ｅｄｕ．ｃｎ。 １９２ 南京航空航天大学学报 第４４卷 称重频模态的参数识别工作，避免了大量的重复性 实验以及纯模态实验，利用单次实验的数据就可以 得到模态参数的识别结果，因此具有较好的工程应 用价值。 １随机子空间算法 随机子空间算法Ⅲ是以线性离散的状态空间 方程为基础的 ｆ （愚＋１）一Ａｘ（五）＋Ｗ（志） 【 （愚）一Ｃｘ（是）＋ （忌） 式中：Ｙ（五）∈ ，为采集的测量数据向量； （忌）∈ ，为离散的状态向量；Ｗ（是）∈Ｒ ，为过程噪声，主 要由噪声干扰和模型的不准确引起的，还包括未知 的输入信息；Ｖ（忌）∈Ｒｐ，为测量噪声，主要由传感 器测量误差引起的，还包括未知的输入信息；ｋ为 时刻；户为输出的个数； 为系统的阶数；Ａ，Ｃ分别 为系统状态矩阵和系统输出矩阵。 基于参考点的随机子空间识别（Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｓｕｂｓｐａｃｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ，ＳＳＩ）算法，建立Ｈａｎｋｅｌ矩 阵 日：ｊ－＿ ｒ … Ｊｒｅｆ—ｌ ｌＩ ｒｒｃｔ ； ｅｆ ｊ ； … ｉ ｌ；兰１ 罕１ … ｒ什ｅｆ —ｚ １Ｙｉ Ｙ ＋１ Ｙｆ＋１ … ｌＪ ｌ Ｙｆ＋ｉ １ Ｙ ｉ＋ ；１ Ｙｉ＋ ｊ２ … Ｌｙ２ｉ－１ Ｙ２ｉ Ｙ２ｉ … ［ ］一［ ｙｒｐｅｆ］ （２） ： 为ｉ时刻ｒ个参考点响应，Ｙ 表示 时刻所有 测点的响应。ｙ ：ｌ， 一 ，为Ｈａｎｋｅｌ矩阵的前ｉ＊ｒ 行，表示过去行空间，Ｙ／＝Ｙ㈠１ ２ｉ－１，为Ｈａｎｋｅｌ矩阵 的后ｉ行，表示将来行空间。 求响应的将来行空间到过去行空间的投影Ｌ２］ Ｏ 一ｙ，／ｒ７ 一Ｙ，（ｙ ） ・（Ｙ７ （ｒ７ ） ） Ｙ７‘（３） 式中：（・） 表示求广义逆；（・） 表示求转置。 由随机子空间识别理论，投影矩阵Ｄ 可以分 解为可观矩阵 和卡尔曼滤波状态向量 的乘 积。进而求得系统矩阵Ａ和ｃ，具体的过程可参考文 献［２３。 ２ 空间投影 投影矩阵表示为［。］ ＾ 一Ｙ，／ｙ ＝ ・ （４） ＾ 一ｒ ・０ —ｒ ・Ｙ，／ｒ７ （５） 根据式（４，５），从矩阵空间表示上看，状态向量 是由ｙ 展开得到的 ，即状态空间为参考点行 空间的子集 ｃ Ｙｐ；｛ ∈ ｆ，Ｙ∈ｙ ） 帅 （６） 识别对称模态的最大问题为模态重叠，从而导 致无法准确识别嘲。若能将参考点行空间ｙ 所包 含的对称模态分离，投影后得到的状态空间中只包 含对称模态中的一阶，这样就可以实现针对对称模 态参数的识别，避免系统矩阵的重根及振型的耦 合。 ３对称模态分离 参考点行空间必须包含各阶模态响应，这样才 能保证不遗漏模态。但是同时导致了对称重频模态 的识别困难 引，利用对称测量点，重新构建参考点 行空间，使得参考点行空间仅包含对称模态响应或 者仅包含反对称模态响应。 以图１简易飞机模型为例。飞机机翼为对称结 构，机翼弯曲模态均包含对称和反对称振型，且频 率较近很难区分，利用结构对称性，重新设定参考 点行空间。 图１简易飞机模型 ３．１采样点对称分布 在采样点和结构都完全对称的情况下利用几 何关系进行模态分离。 为机翼左侧ｉ时刻响应向 量， 为机翼右侧ｉ时刻响应向量。 令 一（ ＋ ）／２， 一（ 一 ）／２， 为对称模 态参考点ｉ时刻响应，ｄ 为反对称模态参考点ｉ时刻 响应。利用结构的几何关系，分别消去反对称模态 ． 第２期 张家滨，等：基于子空间算法的对称结构重频模态识别 １９３ 响应和对称模态响应， 和 为响应向量生成，依 对应整合后对称部位对称和反对称振型。 ３．２采样点非对称分布 然可以作为参考点使用。令 ：＝［ ｚＴ ］Ｔ ＝［ ］ （７） 对于质量完全对称分布的结构可以通过几何 式中： 为除去对称部位的响应后余下点的响应向 量； 包含了对称模态的所有响应信息； 包含了 反对称模态的所有响应信息。 利用 和 ， 和 重新构建参考点Ｈａｎｋｅｌ矩 阵 Ｈｓ一上 ｒ哦ｄ：ｄ … 一 ｌ ｄ ｄｌ … ｌ ｉ ； ； ｉ ： Ｉ ：：： ±三 ｌ Ｙ ＋１ ；＋２ … ＋ 一ｌ Ｉ ：＋ｌ ：＋２ ：＋３ … ；＋ Ｉ ． ． ． ． ． ： ： ： ： ： Ｌ）， 一１ ； ；ｆ＋ｌ … ；＋２ｆ一１ ｙ 一［ ］一嘲 （８） ＝ ｑ 广ｄ ｄ：ｄ； … 一 Ｊｌ ｄ ｄ＇ｚ ｄ； …ｄ； ； ； ； ｉ ｌ 一１ １ … ＋ 一２ Ｉ ３，Ｉ＋１ ａ＋２ … ＋｛一ｌ Ｉ｝ ａｉ＋ ｌ ｌｊ＋ ２ ．ｙａ；＋ ３ … ；； ；＋ Ｌ —ｌ ｆ ； ＋１ … ＋２ 一ｌ ｙ Ｈ＝［ ］一［ ］ 为对称模态参考点Ｈａｎｋｅｌ矩阵，日 为反对 称模态参考点Ｈａｎｋｅｌ矩阵。根据式（６）参考点行空 间和卡尔曼滤波状态空间之间的关系，利用 。得 到的识别结果中仅包含对称模态，利用 。得到的 识别结构中仅包含反对称对称模态，这样就避免了 重频给识别带来的影响，通过两次单独的识别得到 对称和反对称模态。但是识别得到的振型为叠加振 型，根据整合的关系，将其分离，最后得到 ＝Ｉ 哆／２ ／２ ｌ ＝Ｊ ｌ／２ 一访／２ ｌ 其中： 对应该阶非对称部位响应点振型； 和弦 关系构建参考点向量，但是很多情况结构虽然是对 称的，质量分布会有一定差别，而且当采样点分布 不同的时候，如果继续利用测点位置几何关系进行 处理，达不到消除对称或反对称模态的效果。因此， 从对称结构的振型人手。 单独测试半边对称部位振型见图１，令枞一 ［ ’ … ｍ’］ 为机翼左侧重频模态振型， 一 ［ … ｍ ］ 为机翼右侧重频模态振型，ｍ为 单边测试点数。由于测量是分开进行的，而且振型 是相对量，必须按照同一尺度得到的振型才有意 义。因此，两边各取一点作为基准点（非节点），计算 功率谱，重合频率所对应的频谱幅值可以近似表示 为对称和反对称模态响应之和 Ｆｌ＝＝： （志１ ＋ｋ２ ） Ｆｒ＝＝： （点１ Ｆａ＋ｋ２ Ｆ１） 其中由于功率谱是不考虑数据相位的，因此两 侧测点频谱幅值之比值直接反应了结构对称部位 的振动幅值比，利用这个比值得到同一尺度下的振 型，然后利用振型数据分离响应点模态。令 一［１／，５ｉ。－’…１／ ｍ ］ ／（Ｔｈ・ ‘。 ， ：［１／ …ｌ／Ｃ－￣］ ／（ ・ ） “一 式中ｌ 和ｒ 分别代表两侧的基准采样点序号。 ｄ 一（ ：・ ：＋Ｊ， ・ ：）／２ ．． ｄ７＝（ ・ Ｉ— ：・ １）／２ 得到 和 分别为对称模态参考点ｉ时刻响应，反 对称模态参考点ｉ时刻响应，在此基础之上计算 和 ，Ｈａｎｋｅｌ矩阵的构建方法与式（８，９）相同。 ４理论证明 将Ｈａｎｋｅｌ矩阵的参考点行空间改变后，矩阵 的构成产生了变化，两点结论需要证明： （１）投影过程依然有效，数据改变后不影响整 个的识别计算过程。 （２）数据改变后，不影响系统矩阵Ａ和Ｃ矩阵 的识别。 证明定义矩阵 ｄｅｆ 厶 ：（Ａ卜 Ｇ Ａ卜 Ｇ … ＡＧ ６）∈ （１３） Ｇ：ＪＥ ‘］∈Ｒ 为协方差矩阵。 定义两个由输出数据协方差矩阵组成的块 １９４ 南京航空航天大学学报 第４４卷 Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵 ； 态，具体模型如图２所示。 ｕｓ … ＋５１ Ｃ７。＝ 。 ＋ｓ １ …… 以 。 一Ｐ ； ｉ ｉ ！ ； 销一 一 一 … 。 （１４） ～ 一 ～ 式中 ｓ＝Ｅ［ ＋ ．ｙ ］∈ ×ｒ为协方差矩阵 ； ｃｌｅｆ Ｌ； ＝ ∈尺 ＾ 。＝ＥＥｙｌ＂ Ｉ１５ ］∈ ，将式（１５）代入投影矩阵的 表达式，得到［７ Ｏ ＝：ｙ，／ｙ ＝Ｙｆ（ｙ ） ・（ｒ７（ｙ ） ） ｙ ＝ 。・（Ｌ ） ・ｙ ： ｒ ・ ・（ ）－１・ｙ 一ｒ （１６） 过程中Ｋａｌｍａｎ最佳估计 发生变化，由 式（６）投影过程中的空间关系，通过数据整合，改变 数据中模态响应的成分，得到仅包含对称模态响应 或者反对称模态响应的状态向量。 由状态空间方程，得 ＝ ＋ ， 式中 ， 为Ｋａｌｍａｎ滤波最佳估计的残差，由于 它们和 是相互独立的，利用新得到的状态向量 ，计算系统矩阵Ａ，由于状态向量中对称耦合模 态响应已经分离，因此避免了Ａ矩阵中特征值分解 中的重根问题。Ｃ矩阵为观测矩阵，建立输入和输 出直接的关系，由于 进行了数据整合处理，通过 ｃ矩阵得到的振型为新的响应向量的振型，通过反 向的处理得到系统的真实振型结果。 综上表明，通过数据间的运算重新构建参考点 行空间是可行的，计算过程不会影响识别过程，仅 仅改变了模态空间的组成，方便进行重频模态的识 别。 ５仿真算例 以有限元飞机模型作为仿真模型，左右机翼完 全对称，机翼的弯曲模态均包含对称和反对称模 ～ 图２对称机翼有限元模型 机身顶端固定约束全部自由度，飞机各阶模态 理论值见表１，其中飞机机翼一弯及二弯的对称和 反对称模态均为重频模态。 表１有限元模型模态理论值 在机翼左右两端各设置一个激励点，位置为机 翼根部１／３处，响应测量点分两种情况考虑，一种 机翼两边对称布点见图３，一种是机翼两边飞非对 称布点见图４。 主要考虑模型前五阶模态，对比对称模态的识 图３对称分布测量点位置 １ ｙ 图４非对称分布测量点位置 第２期 张家滨，等：基于子空间算法的对称结构重频模态识别 １９５ 别结果，设定采样率为１００ Ｈｚ，采样点数为６ ０００， 利用随机子空间算法和本文的方法进行识别，建立 识别结果稳定图。取频率识别误差小于１ ，阻尼小 标系见图２）。 从识别的结果中可以看出，对称布点的情况 下，改进后的算法避免了振型识别结果中重频模态 于５ ，振型ＭＡＣ值大于０．９９为稳定点，先针对采 样点对称分布的情况，分别采用传统的随机子空间 算法和本文方法，识别结果稳定图见图５。 振型、固有频率及阻尼识别结果见图６，７及表 ２（由于振型主要为机翼振型，振型图为ｚｚ平面，坐 加 ：２ 的耦合，大幅提高了振型的识别精度，同时频率和 阻尼的精度也有了明显的改善。为了进一步验证算 法的有效性和抗干扰的性能，在响应信号中分别加 入１ ，２ 和５ 的噪声，对比不同干扰下算法的识 别精度，其结果如表３所示。 ｍ 籁 鑫 籁 鑫 ｛ｌ ｆ｜№ ｌ｜№ （ａ）传统算法稳定图 （ｂ）对称模态识别稳定图 （ｃ）反对称模态识别稳定图 “口”表示稳定点，“＊”表示非稳定点 图５识别稳定图 ｇ 、 吕 ＼ ｘ／ｍ ／ｍ （ａ）第１阶振型（３．５５４ Ｈｚ） １Ｏ 鲁 ＼ ｇ ５ ０ －５ 一１５ —１Ｏ 一５ ０ ５ ／ｍ ｘ／ｍ （ｂ）第２阶振型（３．５５５ Ｈｚ） １Ｏ 吕 、 ｇ ５ ０ －Ｎ ５ 一１Ｏ 一５ ０ ５ ／ｍ ／Ｉｌｌ （Ｃ）第３阶振型（１３．６５０ ４ Ｈｚ） ｌ０ （Ｃ）第３阶振型０３．６５２ Ｈｚ） ｌＯ ｇ ５ ０ —吕５ ０ －５ １５ 一５ 一一ｌ０ —５ Ｏ ｌＯ 一５ Ｏ ５ ｘ｝ｍ ／ｍ （ｄ）第４阶振型（２１．８０６ ４ Ｈｚ） １Ｏ （ｄ）第４阶振型（２１．８ Ｈｚ） 吕５ ０ －ｇ ＼ ５ 一ｌＯ 一５ ０ ｘ／ｍ ｘ，ｍ （ｅ）第５阶振型（２２．０４８ ３ Ｈｚ） （ｃ）第５阶振型（２２．０６９ Ｈｚ） 图６随机子空间振型识别结果 图７改进后振型识别结果 １９６ 南京航空航天大学学报 第４４卷 在不同噪声干扰下，算法得到了较好识别结 果，具有一定的抗干扰特性。随着噪声的加大，识别 结果的误差略有增加，但幅度很小，较好地克服了 噪声对于信号的污染。 目 、 在采样点非对称分布的条件下，利用第２种方 法进行识别。对比随机子空间和改进后算法的识别 精度，振型、固有频率及阻尼识别结果见图８，９及 表４。 ｇ 、 Ｎ ｘ／ｍ ｘ，ｍ 吕 、 吕 、 ｘ／Ｙｎ ｘ｜ｍ （ｂ）第２阶振型（３．５８４ Ｈｚ） ｌＯ ｌＯ （ｂ）第２阶振型（３．５６５ Ｈｚ） 目５ ０ －目５ ０ －５ １５ 一一ｌＯ 一５ ０ ５ ５ 一１Ｏ 一５ ０ ５ ／ｎｌ ／ｍ （ｃ）第３阶振型（１３．６５４ Ｈｚ） １Ｏ ｌＯ （ｃ】第３阶振型（１３．６５５ Ｈｚ） 吕－蛊５ ０ －５ ０ ５ ｌ５ 一５ １５ 一—１Ｏ 一５ ０ ５ 一ｌＯ 一５ ０ ５ ｘ，ｍ １０ 吕 、 ／ｍ （ｄ）第４阶振型（２１．７５ Ｈｚ） 目５ ０ —Ｈ ５ 一ｌＯ 一５ Ｏ ５ ，ｍ ／ｍ （ｅ）第５阶振型（２２．１４３ Ｈｚ） （ｅ）第５阶振型（２２．１３９ ｎｚ） 图８随机子空间振型识别结果 图９改进后振型识别结果 表２对称分布采样点模态参数识别结果 阶数 理论值 随机子空间 改进后算法 固有频率／Ｈｚ 阻尼／ 固有频率／Ｈｚ 阻尼／％ 振型ＭＡＣ 固有频率／Ｈｚ 阻尼／ 振型ＭＡＣ 阶数 理论值 Ｈｚ ％Ｈｚ 加入１ 噪声 ＭＡＣ Ｈｚ 加入２％噪声 ＭＡＣ Ｈｚ 加入５％噪声 固有频率／阻尼／固有频率／ 阻尼／ 振型 固有频率／ 阻尼／ 振型 固有频率／ 阻尼／ 振型 ＭＡＣ 第２期 张家滨，等：基于子空间算法的对称结构重频模态识别 １９７ 表４非对称分布采样点模态参数识别结果 随机子空间 改进后算法 固有频率／阻尼／振型／固有频率／阻尼／ 振型 Ｈｚ ＭＡＣ Ｈｚ ％ ＭＡＣ 识别结果与均匀分布条件下类似，两种测试条 件、通用的随机子空间算法都可以得到对称耦合模 态频率，较为精确地识别固有频率。但是振型的识 别结果就受到了很大的干扰，左右两边的振型不对 称，而且很难分辨对称和反对称振型，振型之间发 生耦合，理论振型和实验结果振型之间的ＭＡＣ值 时产生了较大误差。改进后的算法有效地解决了振 型的识别误差，不管是在对称布点还是非对称布点 的情况下，都得到了比较好的振型识别结果，与理 论识别结果的误差很小，同时也提高了固有频率和 阻尼的识别精度。在加入噪声干扰情况下，算法体 现了较好的抗干扰能力，在５ 噪声干扰下依然得 到了较好的识别结果。 ６ 结束语 本文在随机子空间算法的基础上，通过重新构 建Ｈａｎｋｅｌ矩阵，利用投影空间的性质实现了对称 耦合模态的参数识别。通过仿真算例表明，在单次 利用响应数据的条件下，新的算法较好地解决了对 称模态的耦合问题，利用结构的几何关系或者单边 测试结果，有效地区分开对称和反对称振型，实现 了模态的解耦，同时避免了附加的实验过程，通过 数据块间的运算进行解耦，并且在算法的基础上可 以发展分组测试条件下的识别，适用于结构较为复 杂需多次测量的条件。 参考文献： ［１３ Ｒｅｙｎｄｅｒｓ Ｅ，Ｒｏｅｃｋ Ｇ Ｄ．Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ—ｂａｓｅｄ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｓｕｂ・ｓｐａｃｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ａｎｄ ｏｐｅｒａ— ｔｉｏｎａｌｍｏｄａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００８，２２（３）６１７－６３７． ［２ ３ Ｖａｎ Ｏｖｅｒｓｃｈｅｅ Ｐ，Ｄｅ Ｍｏｏｒ Ｂ．Ｓｕｂｓｐａｃｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａ— ｔｉｏｎ ｆｏｒ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ：ｔｈｅｏｒｙ，ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｄｏｒｄｒｅｃｈｔ（Ｎｅｔｈｅｒｌａｎｄｓ）：Ｋｌｕｗｅｒ Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，１９９６． ［３］Ｖａｎ Ｏｖｅｒｓｃｈｅｅ Ｐ，Ｄｅ Ｍｏｏｒ Ｂ．Ｓｕｂｓｐａｃｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉ０ｎ ｏｆ ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ— ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ，１ ９９４，３０（１）： ７５—９３． ［４３张贤达．矩阵分析与应用［Ｍ］．ｊＥ京：清华大学出版 社，２００４． Ｚｈａｎｇ ｘｉａｎｄａ．Ｍａｔｒｉｘ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］． Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｔｓｉｎｇｈｕａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，２００４． ［５］Ｖｉｂｅｒｇ Ｍ．Ｓｕｂｓｐａｃｅ—ｂａｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉ— ｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｔｉｍｅ—ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ＥＪ３．Ａｕｔｏｍａｔ— ｉｃａ ｌ９９５，３１：１８３５—１８５１． ［６］孙久厚，朱德懋．固有振动系统动力修改的近频耦合 模态子空间摄动法口］．航空学报，１９９２，１３（９）：４８０— ４８３． Ｓｕｎ Ｊｉｕｈｏｕ，Ｚｈｕ Ｄｅｍａｏ．Ｃｏｕｐｌｅｄ—ｍｏｄｅ ｓｕｂｓｐａｃｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｍｏｄｉｆｉｃａ— ｔｉｏｎ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃａ ｅｔ 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