江苏省苏北四市2017届高三数学上学期期末联考试题(有答案)

2017届上学期期末联考试题

高三数学

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1、已知集合A2,0,B2,3，则AB ．

2、已知复数z满足(1i)z2i，其中i为虚数单位，则z的模为 ． 3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个 分数的方差为 ． 3 4 4 2 4 6 5 2 8

4、根据如图所示的伪代码，则输出S的值为 ．

S0

I1

While I≤5

II1

SSI

End Whlie

Print S

5、从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率 为 ．

x2y21(a0)的右焦点，则实数a的值为 6、若抛物线y8x的焦点恰好是双曲线2a32 ．

7、已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为 ． 8、若函数f(x)sin(x

9、已知等比数列an的前n项和为Sn，若S22a23,S32a33，则公比q的值为 ．

x10、已知函数f(x)是定义R在上的奇函数，当x0时，f(x)23，则不等式

11)(0)的最小正周期为，则f()的值为 ． 653f(x)≤5 的解集为 ．

13111、若实数x,y满足xy3x3(0x)，则的最小值为 ．

2xy3

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12、已知非零向量a,b满足abab，则a与2ab夹角的余弦值为 ． 13、已知A,B是圆C1:x2y21上的动点，AB3，P是圆C2:(x3)2(y4)21 上的动点，则PAPB的取值范围为 ．

x1sinx,，若函数f(x)的图象与直线yx有三 32x9x25xa,x≥1个不同的公共点，则实数a的取值集合为 ．

14、已知函数f(x)二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）

15、在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知2cosA(bcosCccosB)a． （1）求角A的值； （2）若cosB3，求sin(BC)的值． 5

16、如图，在四棱锥EABCD中，平面EAB平面ABCD，四边形ABCD为矩形，

EAEB，点M,N分别是AE,CD的中点．

求证：（1）直线MN∥平面EBC；（2）直线EA平面EBC．

17、如图，已知A,B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的

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3,BCN．现计划铺设一条电缆联通A,B两镇，有 44两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地 下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、 4万元∕km．

（1）求A,B两镇间的距离；

正西方向1km处，tanBAN（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？

x2y218、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:221(ab0)的离心率为

ab2，且右焦点F到左准线的距离为62． 2（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点 M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．

1（ⅰ）当直线的PA斜率为时，求FMN的外接圆的方程；

2（ⅱ）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ的面积的最大值．

x2ax,g(x)lnxax,aR． 19、已知函数f(x)2e

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（1）解关于x(xR)的不等式f(x)≤0； （2）证明：f(x)≥g(x)；

（3）是否存在常数a,b，使得f(x)≥axb≥g(x)对任意的x0恒成立？若存在，求 出a,b的值；若不存在，请说明理由．

20、已知正项数列an的前n项和为Sn，且a1a,(an1)(an11)6(Snn)，nN．

（1）求数列an的通项公式；

（2）若对于nN ，都有Sn≤n(3n1)成立，求实数a取值范围；

（3）当a2时，将数列an中的部分项按原来的顺序构成数列bn，且b1a2，证明： 存在无数个满足条件的无穷等比数列bn．

苏北四市2016-2017学年度高三年级联考试题

数学II(附加题)

21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.【选修4-1:几何证明选讲】（本小题满分10分)

如图，AB为半圆O的直径，D为弧BC的中点，E为BC的中点， 求证：AB·BC=2AD·BD． B．【选修4-2:矩阵与变换】（本小题满分10分） 已知矩阵A=

的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a=

，

求实数a，b的值.

C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线

）=m（m∈R），圆C的参数方程为4圆心C到直线l的距离为2时，求m的值。

l：2ρsin（θ一

D．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知a，b,c为正实数，

（t为参数）．当

的最小值为m，解关于x的

不等式|x+l|- 2x【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22．（本小题满分10分）

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甲、乙、丙分别从A，B，C，D四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B题． (1)求甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率；

(2)设随机变量X表示D题被甲、乙、丙选做的次数，求X的概率分布和数学期望 E(X)．

23.（本小题满分10分） 已知等式

n

．

；

（1）求(1x)2n1的展开式中含x的项的系数，并化简：

(2)证明：

．

苏北四市2016—2017学年度高三年级联考试题

数学Ⅰ（必做题）参考答案与评分标准

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

111．{2,0,3} 2．2 3．14 4．20 5．6．1 7．5π 8．2 3

579．2 10．(,3] 11．8 12．13．[7,13] 14．{20,16}

14

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．

15．（1）由正弦定理可知，2cosA(sinBcosCsinCcosB)sinA， ………………2分

即2cosAsinAsinA，因为A(0,π)，所以sinA0， 所以2cosA1，即cosA又A(0,π)，所以A（2）因为cosB1， ………………………………………………4分 2π． ……………………………………………………6分 334，B(0,π)，所以sinB1cos2B，…………………8分 55247所以sin2B2sinBcosB，cos2B12sin2B， ……………10分

25252π2π所以sin(BC)sin[B(B)]sin(2B)

332π2π………………………………12分 sin2Bcoscos2Bsin3324173() 2522527324．…………………………………………………14分

50第 5 页 共 12 页

16．（1）取BE中点F，连结CF，MF，

1又M是AE的中点，所以MF∥AB，

2又N是矩形ABCD边CD的中点，

1所以NC∥NC， AB，所以MF∥2所以四边形MNCF是平行四边形，…4分 所以MN∥CF，

又MN平面EBC，CF平面EBC，

所以MN∥平面EBC．………………………………………………………7分 （2）在矩形ABCD中，BCAB，

又平面EAB平面ABCD，平面ABCD平面EABAB，BC平面ABCD， 所以BC平面EAB，………………………………………………………10分 又EA平面EAB，所以BCEA，

又EAEB，BCEBB，EB，BC平面EBC，

所以EA平面EBC．………………………………………………………14分

17．（1）过B作MN的垂线，垂足为D．

在Rt△ABD中，tanBADtanBAN所以ADBD3， AD44BD， 3BD1， CD在Rt△BCD中，tanBCDtanBCN所以CDBD．

41BDBDBD1，即BD3， 33所以CD3，AD4，

则ACADCD由勾股定理得，ABAD2BD25(km)．

所以A，B两镇间的距离为5km．……………………………………………4分 （2）方案①：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用为5420(万元)．………6分

方案②：设BPD，则(0,)，其中0BAN，

π2BD3BD3，BP， tantansinsin3所以AP4DP4．

tan6122cos则总铺设费用为2AP4BP8．………8分 86tansinsin在Rt△BDP中，DP

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sin2(2cos)cos12cos2cos设f()，则f'()，

sin2sin2sinπ

令f'()0，得，列表如下：

3ππππ (0,) (,) 3323f'() f()  0  ↘ 极小值 ↗ 所以f()的最小值为f()3．

所以方案②的总铺设费用最小为863(万元)，此时AP43． ……12分 而86320，

所以应选择方案②进行铺设，点P选在A的正西方向(43)km处，总铺设费用最低．…………………………………………………………………………14分

π3c2,a4,a218．（1）由题意，得 解得 则b22， 2ca62,c22,cx2y21． ………………………………………4分 所以椭圆C的标准方程为168（2）由题可设直线PA的方程为yk(x4)，k0，则M(0,4k)，

222(x22)，则N(0,)． 4kk11(i)当直线PA的斜率为，即k时，M(0,2)，N(0,4)，F(22,0)，

22因为MFFN，所以圆心为(0,1)，半径为3，

所以直线FN的方程为y所以△FMN的外接圆的方程为x2(y1)29．……………………………8分

yk(x4),(ii)联立x2y2 消去y并整理得，(12k2)x216k2x32k2160，

1,16848k248k28kP(,)，……………………10分 解得x14或x2，所以

12k212k212k28k248k1,)， 直线AN的方程为y(x4)，同理可得，Q(12k212k22k所以P，Q关于原点对称，即PQ过原点．

116k32所以△APQ的面积SOA(yPyQ)2≤82，……14分 21212k2kk 第 7 页 共 12 页

21，即k时，取“”．

2k所以△APQ的面积的最大值为82．…………………………………………16分

x219．（1）当a0时，f(x)，所以f(x)≤0的解集为{0}；

2ex当a0时，f(x)x(a)，

2e若a0，则f(x)≤0的解集为[0,2ea]；

当且仅当2k若a0，则f(x)≤0的解集为[2ea,0]． 综上所述，当a0时，f(x)≤0的解集为{0}；

当a0时，f(x)≤0的解集为[0,2ea]；

当a0时，f(x)≤0的解集为[2ea,0]． ……………………4分

x2x1x2elnx，则h'(x)（2）设h(x)f(x)g(x)． 2eexex令h'(x)0，得xe，列表如下： x h'(x) h(x) (0,e) e 0 (e,)   ↘ 极小值 ↗ 所以函数h(x)的最小值为h(e)0，

x2lnx≥0，即f(x)≥g(x)．…………………………………8分 所以h(x)2e（3）假设存在常数a，b使得f(x)≥axb≥g(x)对任意的x0恒成立，

x2即≥2axb≥lnx对任意的x0恒成立． 2ex2111而当xe时，lnx，所以≥2aeb≥，

2e22211所以2aeb，则b2ae，

22x2x21所以2axb2ax2ae≥0(*)恒成立，

2e2e21①当a≤0时，2ae0，所以(*)式在(0,)上不恒成立；

22112②当a0时，则4a2(2ae)≤0，即(2a)≤0，

e2e11所以a，则b．……………………………………………………12分

22e令(x)lnx11x，则'(x)2eex，令'(x)0，得xe， ex第 8 页 共 12 页

当0xe时，'(x)0，(x)在(0,e)上单调增；

当xe时，'(x)0，(x)在(e,)上单调减．

11所以(x)的最大值(e)0．所以lnxx≤0恒成立．

2e11所以存在a，b符合题意．………………………………………16分

22e20．（1）当n=1时，(a1+1)(a2+1)=6(S1+1)，故a2=5；

当n≥2时，(an-1+1)(an+1)=6(Sn-1+n-1)，

所以(an+1)(an+1+1）-(an-1+1)(an+1)=6(Sn+n)-6(Sn-1+n-1)， 即(an+1)(an+1-an-1)=6(an+1)，

又an>0，所以an+1-an-1=6，………………………………………………3分 所以a2k-1=a+6(k-1)=6k+a-6，a2k=5+6(k-1)=6k-1，kÎN*，

ì3n+a-3, n为奇数,n?N*,ï故an=ï …………………………………………5分 í*ïïî3n-1, n为偶数,n?N.（2）当n为奇数时，Sn=1(3n+a-2)(3n+3)-n， 63n2+3n+2由Sn≤n(3n+1)得，a≤恒成立，

n+13n2+9n+43n2+3n+2令f(n)=，则f(n+1)-f(n)=>0，

n+1(n+2)(n+1)所以a≤f(1)=4．……………………………………………………………8分

1?3n(3na+1)-n， 6由Sn≤n(3n+1)得，a≤3(n+1)恒成立，

当n为偶数时，Sn=所以a≤9．

又a1=a>0，所以实数a的取值范围是(0,4]．……………………………10分 （3）当a=2时，若n为奇数，则an=3n-1，所以an=3n-1．

解法1：令等比数列{bn}的公比q=4m(m?N*)，则bn=b1qn-1=5?4m(n-1)．

4k-12k-1设k=m(n-1)，因为1+4+4++4=，

3所以5?4m(n-1)5?[3(14+42+=3[5(1+4+42++4k-1)+1]，

+4k-1)+2]-1，…………………………14分

因为5(1+4+42++4k-1)+2为正整数，

所以数列{bn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，

因为公比q=4m(m?N*)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{bn}有无数个．………………………………………………16分

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解法2：设b2=ak2=3k2-1(k2≥3)，所以公比q=因为等比数列{bn}的各项为整数，所以q为整数，

3k2-1． 5取k2=5m+2(m?N*)，则q=3m+1，故bn=5?(3m1)n-1， 由3kn-1=5?(3m1)n-1得，kn=而当n≥2时，kn-kn-1=1[5(3m+1)n-1+1](n?N*)， 35[(3m+1)n-1-(3m+1)n-2]=5m(3m+1)n-2， 3即kn=kn-1+5m(3m+1)n-2，…………………………………………………14分 又因为k1=2，5m(3m+1)n-2都是正整数，所以kn也都是正整数， 所以数列{bn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，

因为公比q=3m+1(m?N*)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{bn}有无数个．………………………………………………16分

数学Ⅱ(附加题) 参考答案与评分标准

21．[选做题]

A．因为D为弧BC的中点，所以DBCDAB，DCDB，

因为AB为半圆O的直径，所以ADB90， 又E为BC的中点，所以ECEB，所以DEBC，

A △ABD△BDE所以∽，

O C

E B D ABBD2BD所以，所以ABBC2ADBD．……………………………10分 ADBEBC

（第21(A)题）

1a222a4B．由条件知，A2，即，即2112b2，……………6分 1b2a4,a2,所以 解得

2b2,b4.

所以a，b的值分别为2，4．……………………………………………………10分

C．直线l的直角坐标方程为xym0，

圆C的普通方程为(x1)2(y2)29，…………………………………………5分

|1(2)m|2，解得m1或m5．…………10分 圆心C到直线l的距离2D．因为a，b，c0，所以

111111327abc≥327abca3b3c3a3b3c3

31327abc18，当且仅当abc3时，取“”， 27abc≥2abc3 abc 所以m18．…………………………………………………………………………6分

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所以不等式x12xm即x12x18，

所以2x18x12x18，解得x所以原不等式的解集为(19， 319,)．………………………………………………10分 3【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．

22．（1）设“甲选做D题，且乙、丙都不选做D题”为事件E．

2C3C1111甲选做D题的概率为1，乙，丙不选做D题的概率都是2．

C33C42则P(E)1111．

32212答：甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率为

1． …………………3分 12（2）X的所有可能取值为0，1，2，3． …………………………………………4分

1112P(X0)(1)，

32212111115， P(X1)()2(1)C1(1)()2323221211111242P(X2)C1(1)()(1)C(1)， 2232232121121P(X3)C2(1)． ……………………………………………8分 23212所以X的概率分布为

3 1 2 1151 P 63121215114X的数学期望E(X)0123． …………………10分

61231230 X 23．（1）(1x)2n1的展开式中含xn的项的系数为Cn2n-1，………………………………1分

1由(1+x)n-1(1+x)n=(C0n-1+Cn-1x+n-1n-11+Cn)(C0-1xn+Cnx+nn+Cnx)可知， n-11+Cn-1Cn．

n1n-1(1x)n1(1x)n的展开式中含xn的项的系数为C0+n-1Cn+Cn-1Cnn1n1所以C0n1CnCn1Cnn11nCn1CnC2n1．…………………………………4分 n!n!=k?（2）当kÎN*时，kCk nk!(n-k)!(k-1)!(n-k)!(n-1)!-1=n?nCkn-1．……………………………6分

(k-1)!(n-k)!所以(C)+2(C)+12n22n+n(C)=n2n邋[k(C)]=k2nk=1nnk=1(kCC)=knkn?n-1k(nCkn-1Cn)

k=1 第 11 页 共 12 页

=n邋(Ck=1nk-1n-1C)=nk=1nknn-kk(Cnn-1Cn)．………8分

由（1）知CCCC222所以(C1n)2(Cn)0n1nn1n1n1nCCCn1n11nn2n1-kkn，即å(Cnn-1Cn)=C2n-1，

k=1n2n(Cn)nCn2n1． …………………………………10分

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