交换群的这个定义是什么意思
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发布时间：2022-03-29 23:40
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时间：2022-03-30 01:09
交换群（阿贝尔群）
定义16.10 若群<G,*>中的运算“*”是可交换的运算，则称该群<G,*>是一个交换群（Commutative Group）（阿贝尔（Abel）群）。
例16.18 群<Z,+>，<R,+>，<Q,+>，<C,+>都是交换群。
定理16.16 设<G,*>是一个群，则<G,*>作成交换群的充分必要条件是：
对 a，b∈G，有(a*b)2 = a2*b2
证明 必要性：对 a，b∈G，由于运算“*”是可交换的，所以有
(a*b)2 = (a*b)*(a*b) = a*(b*a)*b
= a*(a*b)*b = (a*a)*(b*b) = a2*b2
充分性：对 a，b∈G，若有(a*b)2 = a2*b2，则
(a*b)*(a*b) = (a*a)*(b*b)
a*(b*a)*b = a*(a*b)*b
由消去律知：b*a = a*b
所以，运算“*”满足交换律，即群<G,*>是交换群。
