如何证明一个抽象函数在定于区间内可导,一般步骤是什么
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取x1=x2=1
则f(1*1)=f(1)+f(1)
故f(1)=0
取x1=x,x2=1/y
得f(x/y)=f(x)+f(1/y)
而f(y*1/y)=f(y)+f(1/y)=f(1)=0
故f(1/y)=-f(y)
故得f(x)-f(y)=f(x/y)
以上都是为下面做准备,主要得出了f(1)=0和f(x)-f(y)=f(x/y)两个结论
由f'(1)=1,即lim(h->0) [f(1+h)-f(1)]/h=lim(h->0) f(1+h)/h = 1
而f'(x)=lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h=lim(h->0) f(1 + h/x)/h = (1/x) * lim(h->0) f(1+h/x)/(h/x)=1/x
所以f(x)在(0，+无穷)上可导,而f'(x)=1/x
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由归纳法易得f(x^a)=af(x),a为实数，f(1)=0
f'(x)=lim[f(x+h)-f(x)/h]=lim[f(1+h/x)]/h=lim[f(1+h/x)^(x/h)]/x=f(e)/x
因为f'(1)=lim[f(1+h)-f(1)]/h=limf[(1+h)^(1/h)]=f(e)=1
所以f'(x)=1/x
